không nhiều nên phần lớn các tia sáng chiếu qua bầu khí quyển chỉ gặp một hạt nước trên đường đi của nó. Sau khi đi vào bên trong giọt nước một phần của tia sáng này khúc xạ ra ngoài đi đến C, phần còn lại phản xạ trở lại rồi khúc xạ tiếp một lần nữa và đi đến B. Do chiết suất của nước đối với các ánh sáng có màu khác nhau là khác nhau nên các tia sáng chiếu đến B và đến C bị tách thành nhiều tia có màu khác nhau hợp với tia tới AI các góc khác nhau.
Phần lớn các tia sáng có cùng màu tập trung ở phương hợp với tia tới các góc lệch cực tiểu. Chính vì vậy nếu nhìn theo hướng CK và I’B ta sẽ thấy có các dải mầu sắp xếp có thứ tự đó chính là cầu vồng.
1. Giả sử chiết suất của nước là , chiết suất của ánh sáng tím lớn hơn chiết suất của ánh sáng đỏ một lượng . Hãy xác định a) Góc lệch cực trị giữa các tia và với tia .
b) Bề rộng góc và thứ tự sắp xếp của các màu ở các cầu vồng khi nhìn theo hướng và .
2. Liệu chúng ta có quan sát được cầu vồng theo hướng được không, giải thích?
3. Cầu vồng chỉ có thể xuất hiện vào những khoảng thời gian nào trong ngày?
4. Đôi khi quan sát cầu vồng chúng ta có thấy bên ngoài cầu vồng có một dải màu khác mờ hơn cầu vồng nhiều, dải màu này được gọi là cầu vồng tay vịn.
Giải thích sự tạo thành cầu vồng tay vịn này, nêu thứ tự sắp xếp các màu ở cầu vồng tay vịn.
Lời giải:
1. a) Sơ đồ đường đi của các tia sáng có dạng như hình vẽ. Từ đó ta có góc
lệch của các tia sáng ló ra ở là
Sử dụng định luật khúc xạ ánh sáng ta có
Hay
Từ đó ta có
Vì thế nên khi , điều này trái với giả thiết ( ) Tương tự ta có
Nên
Vì thế nên khi
b) Ta có
Tức là là hàm nghịch biến của vì vậy nếu tăng thì giảm, do đó độ rộng góc của các cầu vồng là
Dễ thấy là hàm nghịch biến của vì vậy nếu tăng thì giảm, do đó thứ tự mầu của các cầu vồng sắp xếp từ trên xuống là đỏ, cam, vàng, lục, lam, chàm, tím (thứ tự tăng của chiết suất).
2. Từ ý 1 ta thấy không tồn tại giá trị nào của để cực trị, do đó không
thể có cầu vồng theo phương .
3. Để có cầu vồng, nhất thiết phải có ánh sáng từ Mặt Trời rọi vào khí quyển
Trái Đất, do đó cầu vồng chỉ có thể xuất hiện sau và trước . Mặt khác dễ dàng nhận thấy rằng khi mặt Trời càng lên cao thì đỉnh cầu vồng càng bị hạ thấp xuống, do đó khi Mặt Trời cách đường chân trời trên thì ta sẽ không còn quan
sát thấy cầu vồng nữa. Chính vì thế thời điểm quan sát được cầu vồng là từ
đến khoảng và từ khoảng đến .
4. Cầu vồng tay vịn được tạo thành khi các tia sáng lọt vào bên trong các hạt nước sẽ phản xạ hai lần trước khi khúc xạ ra bên ngoài. Từ sơ đồ trên đây ta thấy góc lệch giữa tia ló và tia tới là
Với
Nên
Do đó đạt cực đại khi
Và
Vậy có một cầu vồng bậc xuất hiện bên ngoài cầu vồng bậc 1, đó là cầu vồng tay vịn. Ta lại có
Do đó ta có giảm theo chiết suất, hay nói cách khác màu cầu vồng tay vịn có thứ tự màu ngược lại với màu của cầu vồng thường.
2.2. Bài tập tự giải.
Bài 1: (Trích đề thi chọn ĐT Quốc gia tỉnh Nghệ An năm 2010) Một tia sáng SI đi từ không khí vào một
bản mặt song song có bề dày 0,3m với chiết suất thay đổi theo độ sâu x với quy
luật
0
1 4
x n x
= +
(hình 3), trong đó x0 = 0,1m. Xác định quỹ đạo của tia sáng trong bản mặt song song? Nó có thể đạt
tới độ sâu nào và bị lệch một khoảng bao nhiêu so với điểm tới? Cho biết góc tới α0 = 300, OI = 0,63 (m), chiết suất không khí bằng 1.
Đáp số:
Hình 3
α0
0,3m
x O y
S I
x y
A
α
d B
+ Phương trình của tia sáng có dạng f(x)=− 0,64−(x+0,1)2 ; Quỹ đạo của tia sáng có dạng đường cung bán kính r = 0,8m.
+ Tia sáng đi sang mặt kia, độ lệch so với điểm tới: Δy ≈ 0,1009m.
Bài 2: Một chùm tia sáng hẹp tới đập vuông góc với một bản hai mặt song song ở điểm A (x=0), chiết suất của bản
biến đổi theo công thức x 1 A n n
x R
= − với nA
và R là những hằng số); chùm sáng rời bản ở điểm B theo góc α . hãy tính
1. Tìm chiết suất nB ở điểm B.
2. Tọa độ xB.
3. Bề dày d của bản.
Đáp số:
1. n2B =n2A +sin2α
2. B A
B
x R(1 n )
= − n
3. d2 =x (2R x )B − B
Bài 3: (Trích đề thi Olympic Vật lý châu Á năm 2004)
Một sợi quang học gồm một lõi hình trụ, bán kính a, làm bằng vật liệu trong suất có chiết suất biến thiên đều đặn từ gia trị n = n1 trên trục đến n = n2
(với 1 < n2 < n1) ở khoảng cách a đến trục theo công thức:
( ) 1 2 2
n n x= =n 1− α x , x là khoảng cách từ điểm có chiết suất n đến trục của lõi, α là hằng số. Lõi được bao bọc bởi một lớp vỏ bằng vật liệu có chiết suất n2 không đổi. Bên ngoài sợi quang học là không khí, chiết suất n0. Gọi Oz là trục một sợi quang học, với O là tâm của một đầu sợi. Cho n0 = 1,000; n1= 1,500; n2 = 1,460; a 25 m= à .
1. Một tia sáng đơn sắc được chiếu vào sợi dây quang học tại điểm O dưới góc tới θi, mặt phẳng tới là mặt phẳng xOz.
a) Hãy chỉ ra rằng tại một điểm trên đường đi của tia sáng trong sợi quang học chiết suất n và góc θ giữa tia sáng và trục Oz thoả mãn hệ thức n cosθ =C, với C là một hằng số. Tìm biểu thức của C theo n1 và θi.
b) Sử dụng kết quả câu 1.a và hệ thức lượng giác cosθ = +(1 tg2θ)−12, trong đó dx '
tg x
θ = dz = là độ dốc của đường tiếp tuyến của tia sáng tại điểm( x,z), hãy suy ra phương trình cho x’.
c) Tìm biểu thức đầy đủ của α theo n1, n2 và a. Bằng cách đạo hàm hai vế của phương trình này theo z, tìm phương trình cho đạo hàm bậc hai x’’. Tìm biểu thức của hằng số x theo z, tức là x = f(z), thoả mãn phương trình trên. Đó là phương trình đường đi của ánh sáng trong sợi quang học.
d) Vẽ phác một chu kì của quỹ đạo với các tia sáng đi vào cáp dưới hai góc tới θi khác nhau.
2. Sự truyền của ánh sáng trong sợi quang học.
a) Tìm góc tới cực đại θiM, dưới góc tới đó ánh sáng vẫn còn có thể lan truyền bên trong lõi của sợi quang.
b) Xác định biểu thức toạ độ z của giao điểm của tia sáng với trục Oz với θi
khác 0.
Chú ý:
1. Tính chất sóng ánh sáng không được xét đến trong bài toán này.
2. Bỏ qua sự tán sắc ánh sáng.
3. Vận tốc ánh sáng trong chân không là 2,998. 108m/s.
4. có thể dùng các công thức sau đây.
* Chiều dài của một cung nhỏ nguyên tốc ds trong mặt phẳng xOz là:
2
1
+
= dz
dz dx
ds *∫ a2dx−b2x2 = b1arcsinbxa
*
2 2 2 2 2
2 3
2 2 2
arcsin
2 2
a bx
x dx x a b x a
b b
a b x
= − − +
∫ −
* arsinx là hàm số ngược của sinx. Giá trị của nó là góc có sin bằng x. Nói khác đi, nếu y = arcsin x thì siny = x.
Đáp số:
1. a) n cosθ = n12−sin2θ = =i C const
b) ( )
2 2
'' 1 2
2 2 2
1 i
n n
x x 0
a n sin
+ − =
− θ
c)
2 2
i 1 2
2 2
2 3
1 i
1 2
a sin n n z
x sin
n sin a
n n
θ −
= − − θ ÷÷ (13)
d) Quỹ đạo của 2 tia sáng với góc tới khác nhau:
2. a) θ ≤ θ ≤i M Arsin( n12 −n22) =Arcsin 0,344 0,351rad 20,13= = 0 b)
2 2
1 i
2 2
1 2
k n sin
z k a
p n n
π − θ
= = π
− (θ ≠i 0)
Bài 5: Một khối trụ được làm bằng chất liệu trong suốt, nhưng chiết suất của nó giảm chậm khi tăng khoảng cách đến trục của khối trụ theo quy luật
( ) 0(1 )
n r =n −γr , trong đó n0 và γ là các hằng số đã biết. Hỏi cần phải tạo ra một chớp sáng ở cách trục khối trụ một khoảng bằng bao nhiêu để một số tia
sáng có thể lan truyền theo vòng tròn xung quanh một tâm nằm trên trục hình trụ.
Đáp số: 1
= 2
r γ
Bài 6: (Trích đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia năm 2010)
Tốc độ ánh sáng trong chất lỏng đứng yên là c/n với c là tốc độ ánh sáng trong chân không và n là chiết suất chất lỏng. Người ta thấy rằng tốc độ ánh sáng u (đối với phòng thí nghiệm) trong một dòng chất lỏng chuyển động với vận tốc v (đối với phòng thí nghiệm) có thể biểu diễn dưới dạng:
u c kv
= +n , trong đó k được gọi là hệ số kéo theo.
1. Năm 1851 Fizeau làm thí nghiệm với dòng nước (n = 4/3) và đo được k = 0,44. Từ công thức cộng vận tốc trong thuyết tương đối hãy xác định lại giá trị của k.
2. Nếu sử dụng nguồn ánh sáng đơn sắc có bước sóng λ và sự phụ thuộc của chiết suất chất lỏng vào bước sóng của ánh sáng theo quy luật 2
n( ) aλ = + b
λ (a và b là các hệ số phụ thuộc vào loại chất lỏng) thì hệ số k bằng bao nhiêu?
Coi v= c và (1 x)+ γ ≈ + γ1 xkhi | x | 1= . Đáp số:
a. k 0, 438≈
b. 2 2
1 2b k 1= −n +n
λ
Bài 7: (Trích đề thi thử HSG Quốc gia tỉnh Ninh Bình năm 2014)
Một lăng kính phản xạ toàn phần tại A có AC=AB=a, chiết suất của lăng kính là n.
1. Lăng kính đặt sao cho mặt BC tiếp xúc với một chất lỏng có chiết suất n’.
Chiếu một chùm tia đơn sắc SI tới mặt bên AB theo phương song song với BC tại I. Hỏi n và AI phải thoả mãn điều kiện gì để tia sáng sau khi khúc xạ ở mặt AB truyền tới BC bị phản xạ toàn phần ở mặt BC.
2. Đặt lăng kính ngoài không khí, thay cho tia SI là một chùm tia hẹp có bề dày dl song song với BC. Trong chùm tia SI có hai bức xạ đơn sắc λ1, λ2. Chiết suất của lăng kính đối với bức xạ λ1 là n, với λ2 là n+dn (với dn<<n).
Tìm điều kiện về dl để thu được hai dải sáng mầu tách biệt khi chùm sáng ló ra ở mặt AC của lăng kính và song song với BC.
Đáp số:
1. > 2 2 −1 n
AI a ; n≥ 2n'2 −2n2 +1
2. dl≤ 2an.dn 2n( 2 −1)−32
Bài 8: Một bản trong suốt có hai mặt song song (rất dài so với bề dày của nó), bề dày của bản là a = 2cm, đặt trong không khí. Chiếu một tia sáng đơn sắc tới gặp một trong hai mặt song song với góc tới α = 300. Xác định góc ló và độ dịch chuyển ngang của tia sáng sau khi qua bản mặt nếu:
1. Chiết suất của bản mặt không đổi n = 1,5.
2. Chiết suất thay đổi theo hướng pháp tuyến theo quy luật n = 1 + y
a . Đáp số:
1. 19 47' ; 0,39cm. 0 2. 20,560; 0,35cm.
Bài 9: (Chọn ĐT HSG Quốc gia tỉnh Nghệ An năm 2013) Một tia sáng chiếu từ không khí vuông góc lên mặt phẳng mặt ngăn cách môi trường có chiết suất n(y) phụ thuộc vào tọa độ y tại điểm A, với OA = a.
1. Tìm dạng hàm n(y) để tia sáng truyền trong môi trường này theo đường hình sin được mô tả bởi phương trình y = acos( )ωx , trong đó ω là hằng số.
Cho nA là chiết suất của môi trường tại A.
B A y
O x
2. Có thể tồn tại hàm n(y) chung cho hai tia sáng bất kì chiếu vuông góc đến mặt phân cách (ví dụ hai tia sáng A và B) như trên hình vẽ.
Đáp số:
1. ny =nA 1+ ω2(a2−y2) (− ≤ ≤a y a)
2. Tồn tại vô số tia sáng trong khoảng từ -a đến a đều có dạng đường đi là hàm sin.