I. Tiếp cận khái niệm
2. Con đường suy diễn
(i) (i) Gợi động cơ học tập định lí như ở con Gợi động cơ học tập định lí như ở con đường thứ nhất.
đường thứ nhất.
(ii) Xuất phát từ những tri thức Toán học (ii) Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dùng suy diễn lôgic dẫn tới định lí.
đã biết, dùng suy diễn lôgic dẫn tới định lí.
(iii)
(iii) Phát biểu định lí. Phát biểu định lí.
(iv) (iv) Vận dụng định lí, giống như ở con Vận dụng định lí, giống như ở con đường có khâu suy đoán.
đường có khâu suy đoán.
(v) Củng cố định lí, khâu này sẽ được (v) Củng cố định lí, khâu này sẽ được trình bày chung cho cả hai con đường trong trình bày chung cho cả hai con đường trong mục kế tiếp
mục kế tiếp
Dạy - học định lý, tính chất Dạy - học định lý, tính chất
Dạy - học định lý, tính chất
Dạy - học định lý, tính chất = Con đường có khâu suy = Con đường có khâu suy đoánđoán
1. Con đường có khâu suy đoán 1. Con đường có khâu suy đoán
(i) Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một (i) Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học.
Toán học.
(ii) Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những (ii) Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy nạp phương pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hoá, khái không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hoá, khái quát hoá một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy quát hoá một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên hệ và phụ thuộc,....
biến, xét mối liên hệ và phụ thuộc,....
(iii)
(iii) Chứng minh định lí, trong đó đặc biệt chú ý Chứng minh định lí, trong đó đặc biệt chú ý gợi động cơ chứng minh và gợi cho học sinh thực hiện gợi động cơ chứng minh và gợi cho học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phương pháp suy những hoạt động ăn khớp với những phương pháp suy luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc kết
luận lôgic thường dùng , những điều này sẽ được trình luận lôgic thường dùng , những điều này sẽ được trình bày chi tiết khi nghiên cứu tới mục 2.4. Tuỳ theo yêu bày chi tiết khi nghiên cứu tới mục 2.4. Tuỳ theo yêu cầu của chương trình, trong những trường hợp nhất cầu của chương trình, trong những trường hợp nhất định, việc chứng minh một số định lí có thể không đặt định, việc chứng minh một số định lí có thể không đặt ra trong chương trình phổ thông.
ra trong chương trình phổ thông.
Dạy - học định lý, tính chất
Dạy - học định lý, tính chất = Con đường có khâu suy = Con đường có khâu suy đoánđoán
iv) Vận dụng định lí vừa tìm được để giải quyết, khép iv) Vận dụng định lí vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi gợi động cơ.
kín vấn đề đặt ra khi gợi động cơ.
(v)(v) Củng cố định lí, khâu này sẽ được trình bày chung Củng cố định lí, khâu này sẽ được trình bày chung cho cả hai con đường trong mục 2.3.
cho cả hai con đường trong mục 2.3.
Mặc dù tốn nhiều thời gian, con đường có khâu suy đoán có Mặc dù tốn nhiều thời gian, con đường có khâu suy đoán có các ưu điểm sau đây:
các ưu điểm sau đây:
Khuyến khích tìm tòi dự đoán, phát hiện vấn đề trước Khuyến khích tìm tòi dự đoán, phát hiện vấn đề trước khi giải qyết vấn đề, khuyến khích học tập tri thức Toán học khi giải qyết vấn đề, khuyến khích học tập tri thức Toán học trong quá trình nó đang nảy sinh và phát triển chứ không trong quá trình nó đang nảy sinh và phát triển chứ không hạn chế ở việc trình bày lại tri thức Toán học có sẵn theo hạn chế ở việc trình bày lại tri thức Toán học có sẵn theo con đường suy diễn.
con đường suy diễn.
Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đoán và chứng minh.
hệ giữa suy đoán và chứng minh.
Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá,...
tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá,...
Con đường này luôn được sử dụng khi tồn tại một Con đường này luôn được sử dụng khi tồn tại một
cách tìm tòi, phát hiện định lí mà học sinh có thể hiểu được cách tìm tòi, phát hiện định lí mà học sinh có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện được tới mức độ thực hiện nhất và có thể tự mình thực hiện được tới mức độ thực hiện nhất định. Tuy nhiên, điều kiện đó không phải bao giờ cũng được định. Tuy nhiên, điều kiện đó không phải bao giờ cũng được thỏa mãn. Vì vậy, còn phải sử dụng cả con đường thứ hai thỏa mãn. Vì vậy, còn phải sử dụng cả con đường thứ hai dưới đây khi cần thiết
dưới đây khi cần thiết
Dạy - học định lý, tính chất
Dạy - học định lý, tính chất = Con đường suy diễn = Con đường suy diễn
Những nhược điểm của Những nhược điểm của con đường suy diễn lại
con đường suy diễn lại chính là sự đối lập của chính là sự đối lập của
những ưu điểm đã được những ưu điểm đã được
trình bày của con đường có trình bày của con đường có
khâu suy đóan.
khâu suy đóan.
Tuy nhiên, con đường suy Tuy nhiên, con đường suy
diễn có ưu điểm ngắn gọn diễn có ưu điểm ngắn gọn
và tạo cơ hội cho học sinh và tạo cơ hội cho học sinh
tập dượt tự học theo những tập dượt tự học theo những
sách báo Toán học. Trong sách báo Toán học. Trong
quá trình dạy học, nó quá trình dạy học, nó
thường được dùng khi chưa thường được dùng khi chưa
thiết kế được một cách dễ thiết kế được một cách dễ
hiểu để học sinh có thể tìm hiểu để học sinh có thể tìm
tòi, phát hiện định lí, hoặc tòi, phát hiện định lí, hoặc
khi quá trình suy diễn dẫn khi quá trình suy diễn dẫn
tới định lí là đơn giản và tới định lí là đơn giản và
ngắn gọn.
ngắn gọn.
Hoạt động
Hoạt động củng cố định lý củng cố định lý
Những hoạt động
Những hoạt động củng củng cố cố định lý
định lý
Việc dạy học một định lí Việc dạy học một định lí chưa kết thúc ngay khi phát chưa kết thúc ngay khi phát
biểu và chứng minh xong biểu và chứng minh xong
định lý đó. Một khâu rất định lý đó. Một khâu rất
quan trọng là củng cố định quan trọng là củng cố định
lí; khâu này thường được lí; khâu này thường được
thực hiện bằng các họat thực hiện bằng các họat
động sau đây:
động sau đây:
● ● Nhận dạng và thể hiện Nhận dạng và thể hiện định lí.
định lí.
● ● Hoạt động ngôn ngữ Hoạt động ngôn ngữ
● ● Khái quát hoá, đặc Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá biệt hoá và hệ thống hoá
những định lí.
những định lí.
Hoạt động c
Hoạt động củủng cố định lý - Nhận dạng thể hiệnng cố định lý - Nhận dạng thể hiện
Nhận dạng và thể hiện Nhận dạng và thể hiện định lí là hai dạng họat
định lí là hai dạng họat
động theo chiều hướng trái động theo chiều hướng trái
ngược nhau, có tác dụng ngược nhau, có tác dụng
củng cố định lí tạo tiền đề củng cố định lí tạo tiền đề
cho việc vận dụng định lí cho việc vận dụng định lí . .
- Nhận dạng một định lí - Nhận dạng một định lí là xem xét một tình huống là xem xét một tình huống
cho trước có ăn khớp với cho trước có ăn khớp với
định lí hay không, định lí hay không,
- Thể hiện một định lí là - Thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống
xây dựng một tình huống ăn khớp với định lí cho
ăn khớp với định lí cho trước.
trước.
VD: VD:
Hoạt động củng cố định lý - Hoạt động ngôn ngữ
2. Hoạt động ngôn ngữ
• Cho học sinh thực hiện những hoạt động ngôn ngữ dưới đây sẽ vừa có tác dụng củng cố định lí, lại vừa góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh, một nhiệm vụ bao trùm mà tất cả các bộ môn dạy
trong nhà trường đếu có trách nhiệm thực hiện:
• - Phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình và biết thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định lí dưới
những dạng ngôn ngữ khác nhau;
• - Phân tích, nêu bật những ý quan trọng chứa đựng trong định lí một cách tường minh hay ẩn tàng.
Hoạt động cũng cố định lý - Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá
3. Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá
Để củng cố định lí, thầy giáo còn cần thiết và có thể thực hiện nhiều hoạt động khác nữa, trước hết là:
- Khái quát hoá, chẳng hạn mở rộng công thức
Thành công thức:
- Đặc biệt hóa, ví dụ như trong hệ thức đối với một tam giác, thay để được định lý
Pitago trong tam giác vuông.
- Hệ thống hóa, chủ yếu là biết sắp xếp định lý mới vào hệ thống định lý đã học, nhận biết mối quan hệ giữa những định lý khác nhau trong một hệ thống định lí.
cosα
2 2 2
a =b +c - 2bc α = 90o
Dạy học quy tắc, phương pháp
1. Khái niệm về thuật giải và quy tắc tựa thuật giải
• Hàng ngày con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán từ đơn giản đến phức tạp. Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá trình giải.
• Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị và kết thúc sau một số hữu hạn bước nhằm biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán
thông tin ra (OUTPUT) mô tả lời giả của bài toán đó.
• Trên đây chưa phải là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu, giúp ta hình dung khái niệm thuật giải một cách trực giác. ở trường phổ thông, học sinh được làm việc với nhiều thuật giải như cộng, trừ, nhân, chia những số tự nhiên và số hữu tỉ, tìm ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của hai số, giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, giải phương trình bậc hai dưới dạng chuẩn,....
Dạy học quy tắc, phương pháp
Ta sẽ mô tả tỉ mỉ cách giải phương trình bậc hai dưới dạng chuẩn để minh hoạ cho khái niệm thuật giải.
Dạy học quy tắc, phương pháp
Trong dạy học, ta cũng thường gặp những quy tắc tựa thuật giải, trong đó không yêu cầu mọi chỉ dẫn đều phải thỏa mãn hai điều kiện:
- Chủ thể phải biết một quy tắc chính xác để thực hiện chỉ dẫn đó;
- Kết quả thực hiện chỉ dẫn phải duy nhất.
Như vậy trong một quy tắc tựa thuật giải, đối với mỗi chỉ dẫn, chủ thể dễ dàng tìm ra một cách nhưng không nhất thiết phải biết một quy tắc chính xác để thực hiện chỉ dẫn đó, và kết quả đạt được cũng có thể không duy
nhất. Tuy yêu cầu chỉ cần đến mức như vậy, nhưng những quy tắc tựa thuật giải cũng vẫn mang nhiều đặc điểm của thuật giải và có ích trong quá trình hoạt động và giải toán.
Dạy học quy tắc, phương pháp
• Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình – Bước 1: Chọn ẩn số; biểu thị những đại lượng chưa
biết khác qua ẩn số và những đại lượng đã biết;
– Bước 2: Lập phương trình biểu diễn một mối liên hệ giữa các đại lượng
– Bước 3: Giải phương trình;
– Bước 4: Kiểm tra kết quả và trả lời, trong đó có việc xét sự thích hợp của nghiệm phương trình đối với tình huống của bài toán.