Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải

I. Tiếp cận khái niệm

2. Dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải

có một số điều cần được lưu ý:

– Thứ nhất, nên cho học sinh biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc tạo điều kiện thuận lợi cho họ nắm vững nội dung từng bước của quy tắc đó.

Dạy học quy tắc, phương pháp

• Ví dụ: Giải phương trình bậc hai

• (i) Công thức

• Theo sách giáo khoa, phương pháp giải phương trình bậc hai dạng chuẩn đã được trình bày dưới dạng công thức.

• Trường hợp học sinh đã học sơ đồ khối và ngôn ngữ phỏng trình, ta còn có thể biểu

diễn phương pháp giải phương trình bậc hai nhờ các phương tiện đó.

• (ii) Sơ đồ khối (xem ví dụ ở 3.1.1)

• (iii) Ngôn ngữ phỏng trình thuật giải pt2

• Biến a, b, c, D, x1, x2: thực; y: văn bản;

Dạy học quy tắc, phương pháp

• Bắt đầu

• D = b*b - 4*a*c;

• ● Nếu D < 0 thì y:="pt vô nghiệm"

• ● Nếu D = 0 thì bắt đầu y:= "pt có nghiệm kép; x1:= -b/(2a); x2:= x1 kết thúc

• ● Nếu D>0 thì bắt đầu y:= "pt có 2 nghiệm phân biệt";

• kết thúc

Dạy học quy tắc, phương pháp

• Thứ hai, cần trình bày rõ các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ đồ nhất quán

trong một thời gian thích đáng.

• Cách trình bày này có thể được minh hoạ qua việ giả phương trình bậc hai như sau:

• (i) Xác định a, b, c: a = 3, b = -5, c =2

• (ii) Tính biệt số :

• D= b2-4ac=(-5)2-4.3.2=25-24=1

• (iii) Kết luận D > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt

•

• Biện pháp trên được sử dụng để cho quy tắc đọng lại dưới dạng đã được trị hoá theo một sơ đồ nhất quán trong cách trình bày của học sinh khi luyện tập và áp dụng trong một thời gian đủ dài để họ nắm vững và vận dụng tốt quy tắc đó

Dạy học quy tắc, phương pháp

• Thứ ba, cần luyện tập cho học sinh thực hiện tốt những chỉ dẫn nêu trong thuật giải hoặc trong quy tắc tựa

thuật giải. Nếu chủ thể không biết thực hiện những chỉ dẫn như vậy thì dù có học thuộc quy tắc tổng quát

cũng không thể áp dụng nó vào những trường hợp cụ thể. Chẳng hạn, trong ví dụ giải phương trình bậc hai, dù cho học sinh có thuộc công thức, nhưng nếu không nắm vững các phép tính trên số hữu tỉ thì có thể phạm sai lầm khi tính biệt số hoặc áp dụng các công thức

tính nghiệm và do đó không giải được bài toán đặt ra.

• Thứ tư, cầm làm cho học sinh ý thức được và biết sử dụng các cấu trúc điều khiển cơ bản: tuần tự, phân nhánh, lặp thì ở trường phổ thông, cấu trúc tuần tự được dùng một cách tự nhiên, cấu trúc lặp hiện nay mới được sử dụng tường minh khi lập trình cho máy tính, còn cấu trúc phân nhánh xuất hiện rõ nét và phổ biến. Trong khi dạy học những thuật giải và những quy tắc tựa thuật giải, dù cho chúng được biểu diễn dưới bất kì hình thức nào, cần đặc biệt nhấn mạnh, hướng dẫn cho học sinh sử dụng đúng cấu trúc này, kể cả

trường hợp có nhiều hành động phân nhánh lồng nhau (xem ví dụ về giải phương trình bậc hai ở trên,

Dạy học quy tắc, phương pháp

• Thứ năm, thông qua dạy học những thuật giải và quy tắc tựa thuật giải, cần có ý thức góp phần phát triển tư duy thuật giải cho học sinh.

• Phát triển tư duy thuật giải trong nhà trường phổ thông là cần thiết vì những lí do sau đây:

- Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được việc tự động hoá trong những lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăn cách giưa nhà trường và xã hội tự động hoá. Nó giúp học sinh thấy được nền tảng của việc tự động hoá, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần tuý máy móc của quá trình thực hiện thuật giải,đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chức năng của con người cho máy thực hiện.

- Tư duy thuật giải giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giải bài toán bằng MTĐT. Thật vậy, thiết kế thuật giải là một khâu rất cơ bản của việc lập trình.

- Tư duy thuật giải tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốt khâu đó.

Dạy học quy tắc, phương pháp

• Tư duy thuật giải giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trường phổ thông, rõ nét nhất là môn Toán.

Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo khi học các phép tính trên những tập hợp số, giải phương trình bậc nhất,

bậc hai v.v...

• - Tư duy thuật giải cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, khái quát hoá...và hình thành những phẩm chất của người lao động mới như tính ngăn nắp, kỉ luật, tính phê phán và thói quen tự kiểm tra v.v...

• Tư duy thuật giải liên hệ chặt chẽ với khái niệm thuật giải đã được trình bày ở 3.1.1. Phương thức tư duy này thể hiện ở những hoạt động sau đây:

• - Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với một thuật giải cho trước.

• - Phân tích một hoạt động thành những thao tác thành phần được thực hiện theo một trình tự xác định.

• - Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động.

Dạy học quy tắc, phương pháp

- Khái quát hoá một hoạt động trên những đối

tượng riêng lẻ thành một hoạt động trên một lớp đối tượng .

- So sánh những con đường khác nhau cùng thực hiện một công việc và phát hiện con đường tối ưu.

• Thành phần đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật giải có sẵn.

• Bốn thành phần sau thể hiện khả năng xây dựng thuật giải mới (ít nhất là đối với học sinh). Các thành phần này có thể được phát biểu vắn tắt như sau:

(i) Thực hiện thuật giải đã biết;

(ii) Phân tách hoạt động;

(iii) Tường minh hoá thuật giải;

(iv) Khái quát hoá hoạt động;

(v) Chọn con đường tối ưu.

Dạy học quy tắc, phương pháp

Tư duy nói chung và tư duy thuật giải nói riêng chỉ có thể hình thành và phát triển

trong hoạt động. Vì vậy, để phát triển tư

duy thuật giải, cần tổ chức cho học sinh tập luyện các hoạt động (i) (v) nói trên. Dạy học những thuật giải và những quy tắc tựa thuật giải là những cơ hội thuận lợi để thực hiện việc này. Làm như vậy sẽ tác động tích cực tới việc thực hiện mục tiêu kép: vừa làm cho học sinh nắm vững tri thức và kĩ năng Toán học, vừa giúp họ phát triển tư duy thuật

giải, một yếu tố văn hoá quan trọng trong đời sống hiện nay

Dạy học giải bài tập toán học

Dạy học giải bài tập toán học

Những yêu cầu chủ yếu của lời giải bài tập

• 1. Lời giải không sai lầm

• Học sinh phạm sai lầm trong giải bài tập thường do 3 nguyên nhân sau đây:

• - Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý...

• - Sai sót về phương pháp suy luận

• - Sai sót do tính toán sai, sử dụng kí hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do vẽ hình sai...

• Do vậy giáo viên nên:

Dạy học giải bài tập toán học

• Tập cho học sinh có thói quen kiểm tra lại lời giải.

Ví dụ 1: Khi giải phương trình sin x / tan x=0, học sinh chỉ buộc điều kiện cos x ≠ 0 nên nhanh chóng tìm ra nghiệm sin x=0, (x=kp) mà quên còn phải có điều kiện sin x ≠ 0

.

Và vội kết luận vì (2) đúng nên (1) đúng.

Đây là phép phân tích đi xuống nên từ (2) đúng ta chưa có quyền kết luận (1) đúng

Dạy học giải bài tập toán học

● Đưa cho học sinh một bài giải sai và yêu cầu họ phát hiện tìm ra nguyên nhân và giải lại cho đúng.

ví dụ 2: Rút gọn biểu thức

Nhiều học sinh đã giải như sau:

• Cách giải rõ ràng là sai. Thật vậy, khi x=-5 thì biểu thức M có nghĩa và M=-1/2, nhưng lại vô nghiã. Hơn nữa lúc này N= 1 / 2, do vậy M ≠ N.

• Sai lầm là ở chỗ: Tập xác định của M là {x R/ x ≤ -3;

x>3} ∈

Dạy học giải bài tập toán học

• Lời giải đúng là:

• - Trường hợp x > 3 giải như trên.

• - Trường hợp x ≤ -3 giải như sau:

• Kết hợp (2) , (3) ta có kết quả

Dạy học giải bài tập toán học

● Lời giải phải có lý luận

Một số học sinh thường hay kết luận vội vàng, thiếu cơ sở lý luận nhát là những gì mà học

sinh cảm nhận bằng trực giác. Họ hay dùng "ta thấy" mà không giải thích vì sao cả, hay 'theo định lý thì..." mà không nêu rõ định lý nào.

Hiện tượng này thường có mấy nguyên nhân:

a. Học sinh hiểu đúng, nhưng không trình bày rõ lý do ( do thời gian hoặc cho là không cần thiết phải trình bày).

b. Học sinh cứ tưởng là đúng một cách vô thức.

c. Học sinh không thấy cơ sở lý luận, nhưng thấy kết luận là đúng, nên cứ kết luận bừa,

nghĩa là có ý thức về kết luận không có căn cứ của minh.

Dạy học giải bài tập toán học

• Ví dụ 1: Khi giải bất phương trình:

•

•  thì lập tức suy ra (x+3)2>(x-1)(x+2) với điều kiện x

≠ -3; x ≠ 1

• Sai lầm này có thể do học sinh theo thói quen quy đồng mẫu số như khi giải phương trình, hoặc đã áp dụng quy tắc so sánh hai số hữu tỷ ở lớp 7 (a/b>c/d Û ad>cd) mà quên mất điều kiện b>0 và d>0

• Một thể hiện của loại này là đánh tráo luận đề, tức là thay yêu càu ban đầu bằng một yêu cầu khác tương đương.

Dạy học giải bài tập toán học

• 2 Lời giải phải đầy đủ

• Khi giải phải xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra của bài toán mà không được bỏ sót.

• Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x6+3x3+1=y4

• Học sinh thấy ngay x=0, y=1, y=-1 là nghiệm của (1).

Từ đó kết luận rằng (1) chỉ có 2 nghiệm vừa chỉ ra. Lời giải này chưa đầy đủ, vì chưa có gì đảm bảo cho điều kiện này. Ta phải chứng minh: Với x ≠ 0 (1) không có nghiệm nguyên nào khác. Thật vậy:

• - Nếu x>0 suy ra

(x^3+1)2=x6+2x3+1<x6+3x3+1=y4<x6+4x3+4=(x3+2 )2 suy ra x3+1<y2<x3+2 (2)

• Không có giá trị nguyên nào của y thõa mãn (2)

• - Nếu x=-1 suy ra y4=-1 vô nghiệm.

• - Nếu x³ -2 suy ra

(x3+2)2=x6+4x3+4<x6+3x3+1=y4<x6+2x3+1 suy ra (x3+2)2<y4<(x3+1)2 (3)

• Không có giá trị nguyên nào của y thỏa mãn (3)

Dạy học giải bài tập toán học

• 3. Lời giải phải đơn giản nhất

• Ví dụ 1: Giải phương trình

•

• Nhiều học sinh giải bằng cách tính D'. Lời giải gọn dựa trên nhận xét

•

• Ví dụ 2: Giải bất phương trình:

•

• Cách giải 1:

Dạy học giải bài tập toán học

∈

Dạy học giải bài tập toán học

• Cách giải 2:

• Có thể nhận xét cách 2 giải gọn hơn.

Dạy học giải bài tập toán học

• Dạy học sinh phương pháp giải bài toán

• 1.Loại bài tập có sẵn thuật toán

• Yêu cầu đặt ra cho học sinh là:

• a. Nắm vững quy tắc giải đã học.

• b. Nhận dạng đúng bài toán.

• c. Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo.

• 2.Loại bài tập chưa có sẵn thuật toán

• Loại bài tập này chiếm một số lượng lớn trong sách giáo khoa và gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. Đây là trở ngại cho ý chí tiến thủ vươn lên trong học tập của học sinh. Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, người giáo viên không chỉ đơn thuần cung cấp lời giải mà quan trong hơn là; Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán. "Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát minh" (Pôlia 1975)

Dạy học giải bài tập toán học

• Lược đồ giải toán 4 bước của Pôlia}

• Bước 1: Tìm hiểu kĩ nội dung bài toán

• - Cái gì phải tìm? Cái gì đã cho? Cái phải tìm cần thỏa mãn những điều kiện gì? Những điều kiện đó có đủ để xác định cái phải tìm không? Thừa hay thiếu? Có mâu thuẫn với nhau không?

• - Hãy vẽ hình cẩn thận.

• - Hãy tách các điều kiện ra với nhau.

• Bước 2: Xây dựng chương trình giải

• Để tìm đường lối giải, phải tìm sự liên hệ giữa cái đã cho và cái phải tìm, phải dùng phương pháp phân tích, nếu cần thì xét các bài tập trung gian.

• - Đã gặp bài toán này lần nào chưa? có thể gặp bài toán dưới một hình thức khác không?

• -  Đã gặp bài toán nào tương tự chưa?

• - Hãy nghiên cứu cái phải tìm? Đã gặp bài toán nào có cái phải tìm tương tự chưa?

Dạy học giải bài tập toán học

• Bước 3:  Thực hiện chương trình giải

• Bước 4: Nghiên cứu lời giải

• -  Có thể thử lại kết quả không? Có cần thử lại cả quá trình giải không? Lời giải đã đầy đủ chưa? Triệt để chưa?

• -  Có thể đi đến cùng kết quả bằng phương pháp khác không? Có thể xét kết quả ở một khía cạnh khác không?

• - Có thể sử dụng phương pháp giải hay kết quả vào một bài tập khác không?

Dạy học giải bài tập toán học

Dạy học quy tắc, phương pháp

Dạy học quy tắc, phương pháp

Dạy học quy tắc, phương pháp

Dạy học quy tắc, phương pháp

Dạy học quy tắc, phương pháp

Dạy học quy tắc, phương pháp

Dạy học quy tắc, phương pháp

.

Hoạt động cũng cố định lý - Hoạt động ngôn ngữ

Hoạt động cũng cố định lý - Hoạt động ngôn ngữ