Định lý 11 Cho một vànhAthỏa mãn tất cả các iđêan trái là mộtA−môđun xạ ảnh. Tất cả các môđun con M của một A−môđun bên trái tự do 6 L là tổng trực tiếp của các môđun đẳng cấu với các iđêan của A.
Chứng minh Cho (ei)i∈I là một cơ sở của L và pt là các hàm tọa độ tương ứng với cơ sở này. Giả sử I là một tập sắp thứ tự tốt và kí hiệu Li là môđun con sinh bởi các eλ với λ ≤i. Đặt
Mi =M ∩Li.
Hàm tọa độ biến Mi thành một iđêan ai của A. Từ ai là một A−môđun xạ ảnh, tồn tại một môđun con Ni của Mi thỏa mãn ánh xạ
x7→pi(x) từ Ni vào ai là song ánh.
GọiMi0 là môđun con củaLsinh bởiNλ với λ≤i. Ta sẽ chứng minh rằng Mi0 =Mi với mọi i. Điều này sẽ kéo theo rằng M được sinh bởi họ (Ni)i∈I.
Thật vậy, giả sử rằng
Mλ0 =Mλ,∀λ < i
thì với mọi x ∈ Mi ta có pi(x) ∈ ai, vì vậy tồn tại y ∈ Ni thỏa mãn x−y là tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn các phần tử eλ với λ <1. Nói cách khác, tồn tại λ < i sao cho x−y∈Mi. Giả thiết truy hồi chứng minh rằng
x−y∈Mλ0 ⊂Mi0,
6MộtA−môđunM được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở.
hay Mi0 =Mi.
Vì vậy tổng của Ni là trực tiếp hay giả sử rằng tồn tại một biểu thức tuyến tính
X
i
ai = 0
với ai ∈Ni và cỏc ai khụng đồng thời bằng 0. Chọn à là số lớn nhất cỏc chỉ số i thỏa món ai 6= 0. Từ pà(aλ) = 0 với λ < à ta cú
pà(aà) = pà(X
i
ai) = 0 hay aà= 0, mõu thuẫn với giả thiết.
Hệ quả 8 1. Nếu các iđêan trái của A là xạ ảnh thì tất cả môđun con của một A−môđun trái xạ ảnh là xạ ảnh.
2. Trên một vành chính mọi môđun con của một môđun tự do là tự do.
3. Mọi môđun xạ ảnh trên một vành chính là tự do.
Bổ đề 7 Cho L là một môđun trên vành giao hoán A bao gồm một hệ sinh có n phần tử và M là một môđun con tự do của L. Khi đó M có hạng không vượt quá n.
Chứng minh Trước tiên, giả sử L là tự do. Gọi i là đơn ánh chính tắc từ M vào L. Khi đó đồng cấu
∧n+1i:∧n+1M → ∧n+1L là đơn ánh. Hơn nữa
∧n+1(L) = 0 vì vậy
∧n+1(M) = 0 do đó M có hạng không lớn hơn n.
Bây giờ ta sẽ chứng minh cho trường hợp tổng quát. L là thương của môđun tự do L0 hạng n. Theo trên, tồn tại một môđun con M0 của L0 đẳng cấu tới M. Vì vậy M0 có hạng bé hơn n, điều phải chứng minh.
Mệnh đề 9 Nếu L là môđun tự do hạng hữu hạn n trên vành chính A thì tất cả môđun con của L là môđun tự do hạng không vượt quá n.
Chứng minh Đây là hệ quả trực tiếp của bổ đề kế trên.
BÀI TẬP
1. Cho A là một vành giao hoán. Chứng minh rằng nếu mọi môđun con của một A−môđun tự do cũng là một A−môđun tự do thì mọi iđêan của A là iđêan chính và A là miền nguyên.
2. ChoM là một môđun trên một vành chínhA, ta giả sửM là tổng trực tiếp của các môđun con đơn. Chứng minh rằng mọi môđun conN của M là tổng trực tiếp của các môđun con đơn.
3. Cho(pn) là một dãy tăng thực sự các số nguyên tố thỏa mãnpnkhông là ước của
a+b(1 +p1+p1p2+. . .+p1p2. . . pn−1),|a| ≤n,|b| ≤n.
Trong mặt phẳng hữu tỉ Q2 ta xét Z−môđun M sinh bởi dãy (xn)xác định bởi
x0 = (1,0), x1 = (0,1), xn+1 =p−1n (x0+xn),∀n ≥1.
Chứng minh rằngM là hạng2 và mọi môđun hạng 1 củaM là môđun đơn.
4. Cho E là một môđun không xoắn trên một vành chính A.
(a) Chứng minh rằng nếuF là một môđun con thuần nhất củaE thì E/F là không xoắn và ngược lại.
(b) Cho F là một môđun con của E sinh bởi một họ tự do yếu cực đại, F là một môđun con tự do thuần nhất của E. Chứng minh rằng với mọi x¯ ∈ E/F tồn tại một phần tử không khả nghịch α ∈A và một phần tử y¯∈E/F thỏa mãn
¯ x=αy¯ nhưng E/F có thể không tách được.
5. Cho A là vành chính chỉ có một iđêan cực đại Aπ. Gọi E là một A−môđun không xoắn vàM là một môđun con tự do của E thỏa mãn E/M là không xoắn, tách được và có hạng 1. Gọi(ei) là một cơ sở của M,u¯ là một phần tử khác 0 của E/M,u∈u. Cho mọi¯ n ∈N+ ta đặt un∈E thỏa mãn
u≡πnun( mod M).
Giả sử
u=πnun+X
α
λnαeα.
(a) Chứng minh rằng E sinh bởiM và un. Hơn nữa ta có λnα−λn+1,α∈Aπn
cho mọi α và n >0.
(b) Giả sử A là một vành đầy đủ với topo F định nghĩa trên tập các iđêan Aπn giống như hệ cơ bản các lân cận của 0 trongA. Đặt
λα = lim
n→∞λnα. Chứng minh rằng
àα =λαà,∀α là điều kiện cần để àvà àα thỏa món
àu−X
α
àαeα
thuộc mọi môđun con πnE.
6. Cho A là một vành chính chỉ có một iđêan cực đại Aπ, và đầy đủ với topoF được định nghĩa như trong bài trên.
(a) Chứng minh rằng mọiA−môđun không xoắnE có hạng hữu hạn, không có một môđun con thực sự khác0tách được, là một môđun tự do.
(b) Trong môđun tự do E =A(N) chọn an là cơ sở chính tắc và đặt en =an−1−πan
với mọi n∈N+. Chứng minh rằng môđun conM của E sinh bởi en là thuần nhất và en là một họ tự do yếu cực đại nhưng E/M là một môđun tách được.
7. Cho A là một vành chính nhưng không là một trường.
(a) Chứng minh rằngA−môđunANkhông có một hệ sinh đếm được.
(b) Gọi π là một phần tử cực đại của A. Ta kí hiệu S là môđun con của AN bao gồm các dãy (zn) thỏa mãn tồn tại dãy con (kn)tiến tới +∞ sao cho zn ∈Aπkn. Chứng minh rằng (A/π)−không gian vecto S/πS có một cơ sở đếm được.