Cấu trúc của môđun kiểu hữu hạn

2.4 Môđun kiểu hữu hạn trên vành chính

2.4.4 Cấu trúc của môđun kiểu hữu hạn

Định lý 13 Mọi môđun kiểu hữu hạn E trên một vành chínhA là đẳng cấu với một tổng trực tiếp của một số m hữu hạn môđun đơn A/ak, ở đó ak là các iđêan khác 0 của A thỏa mãn

a1 ⊂a2 ⊂. . .⊂am 6=A

và được xác định nhân tử duy nhất bằng các điều kiện này.

Chứng minh NếuE có thể được sinh bởiq phần tử thì nó đẳng cấu với một môđun thương L/M hay L=Aq. TừM là hạng hữu hạnn ≤q áp dụng định lý 12, L/M đẳng cấu với tổng trực tiếp của phần bù L0 của M0 trong L và

môđun xoắn M0/M. môđun L0 là tự do và hạng hữu hạn p = q−n, vì vậy đẳng cấu với Ap.

Nếu r là chỉ số bé nhất thỏa mãn Aαr 6= A nên M0/M là đẳng cấu với tổng trực tiếp của các môđun A/Aαi, r≤i≤n. Khi đó ta có

m=p+ (n−r+ 1), ak= (0), 1≤k ≤p và

ap+j =Aαn−j+1,1≤j ≤n−r+ 1.

Hệ quả 11 Mọi môđun kiểu hữu hạn E trên một vành chính là tổng trực tiếp của các môđun con xoắn của E và một môđun tự do.

Hệ quả 12 Trên một vành chính, mọi môđun không xoắn và kiểu hữu hạn là một môđun tự do hạng hữu hạn.

Các iđêan ak trong định lý 13 được gọi là nhân tử bất biến của môđun E.

Mệnh đề 14 Cho A là một vành chính,L là mộtA−môđun tự do cơ sở hữu hạnuj,1≤j ≤k, M là một môđun con củaL,xi là một hệ phần tử sinh của M và Aei là các nhân tử bất biến của M giá L. Khi đó, với mọi 1≤m≤n, tích δm = α1. . . αm là ước chung lớn nhất của định thức con cấp m của ma trận có các cột là tọa độ của xi theo cơ sở uj.

BÀI TẬP

1. Cho U = (αij) là một ma trận m dòng n cột có hệ số trên một vành chính A.

(a) Giả sử rằngαij là đôi một nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng tồn tại hai ma trận vuông khả nghịch P và Q hệ số trên A thỏa mãn một trong số các phần tử của P U Q là1.

(b) Nếu δ1 là ước chung lớn nhất của các αij, chứng minh rằng tồn tại hai ma trận khả nghịch P1, Q1 sao cho

P1U Q1 =

δ1 0 0 U1

ở đó các phần tử của U1 chia hết cho δ1.

2. Cho A là một vành chính, K là trường các thương của A, E là không gian vec-tơ trên K, M là một A−môđun kiểu hữu hạn hạng n chứa trong E, N là một A−môđun kiểu hữu hạn hạng p ≤ n chứa trong KM. Chứng minh rằng tồn tại một cơ sởei,1≤ i≤n của M và một cơ sở củaN bao gồm các vec-tơ có dạng αiei với 1≤i≤ pvà αi ∈K thỏa mãn αi|αi+1.

3. Cho Glà một nhóm giao hoán hữu hạn.

(a) Với mọi số nguyên tố p, chứng minh rằng số các phần tử của G cấp p là pN −1 với N =

∞

n=1

m(pn).

(b) Với mọi số nguyên tố p, chứng minh rằng phương trình xp = 1 có nhiều nhất p nghiệm trong G và Glà xiclic.

4. Cho A là một vành giao hoán và E là một A−môđun. Gọi E là vành EndZ(E) các tự đồng cấu trên nhóm giao hoán E. Với mọi vành con B ⊂ E ta kí hiệuB0 là tập hoán tử của B trong E.

(a) Gọi A0 là vành con của E các đồng cấu trong x7→λx với λ∈A.

Ta nói rằng a là tập triệt tiêu của E, A0 là đẳng cấu với A/a và tập triệt tiêu củaA0 là đẳng cấu vớiA/avà tập hoán tửA00 trong E là vành EndA(E) các tự đồng cấu của A−môđun E. Chứng minh rằng các hoán tử A000 và A00 là giao hoán. Hơn nữa A00 =A0000 . (b) Nếu một môđun con F của E là nhân tử trực tiếp của E, chứng minh rằngu(F)⊂F với mọiu∈A”0. (Gợi ý: Xây dựng phép chiếu E →F trong một biểu diễn của E thành tổng trực tiếp củaF với một môđun con khác).

(c) Giả sử rằng E là tổng trực tiếp của họ đếm được các môđun đơn (Ft). Nếu u∈ A”0, chứng minh rằng với mọi chỉ số t, tồn tại một phần tử αt∈A thỏa mãn, với ∀x∈Ft, ta cóu(x) = αtx.

(d) Cho E là tổng trực tiếp của một dãy đếm được các môđun đơn (En)thỏa mãn nếubntriệt tiêuEnthìbnlà dãy tăng. Chứng minh rằng A”0 = A0, tức là với mọi chỉ số i > 1 tồn tại một đồng cấu môđun vi ∈A00 biến Ei−1 thành Ei.

Kết quả sẽ thế nào nếu có thêm giả thiết A là vành chính còn E là môđun kiểu hữu hạn trên A.

5. Cho A là một vành chính, K là trường các thương của A, E là một A−môđun không xoắn kiểu hữu hạn và có hạngn. Giả sửE∗ là môđun đối ngẫu củaE thỏa mãn E và E∗ là các môđun đẳng cấu với An.

(a) Gọi M là môđun con của E. Chứng minh rằng nếu M0 là một môđun con của E∗ trực giao với M thì môđun E∗/M0 là không xoắn. Hơn nữa nếu M0 là nhân tử trực tiếp của E∗, thì môđun con M00 của E trực giao vớiM0 là E∩KM.

(b) Cho F là một môđun không xoắn kiểu hữu hạn trên A, và u : E → F là một đồng cấu môđun. Chứng minh rằng nhân tử bất biến của ut(F∗) trong E∗ bằng với nhân tử bất biến của u(E) trong F.

6. ChoGlà một môđun có chiều dài hữu hạn trên một vành chínhA. Với mọi cặp A−môđun M, N thỏa mãn N ⊂ M và G là đẳng cấu môđun với M/N thì các nhân tử bất biến củaN trongM, tách được trong A, là bằng các nhân tử bất biến củaG. Số các phần tử bất biến này được gọi là hạng của G.

(a) Chứng minh rằng hạng r của Glà số bé nhất các môđun con đơn của Gthỏa mãn G là tổng trực tiếp.

(b) Chứng minh rằng hạng rcủa Glà số lớn nhất trong hạng của các thành phần π−nguyên thủy củaG.

(d) Cho λ∈A, chứng minh rằng hạng của môđun con λGlà bằng số các nhân tử bất biến của Gkhông chia hếtλ. (Gợi ý: Chú ý rằng nếu E =A/A(α) thì môđun λE ≈(Aλ)/((Aα)∩(Aλ))).

(e) GọiAαk,1≤k≤r là các nhân tử bất biến củaGhạng giảm dần.

Giả sử H là môđun con của G, hạng r−q, vàAβk,1≤k ≤r−q là các nhân tử bất biến của H hạng giảm dần. Chứng minh rằng βk chia hết αk+q với mọi k = 1, . . . , r−q. Hơn nữa, nếuG/H có hạng r−pvàAγk,1≤k ≤r−plà các nhân tử bất biến củaG/H hạng giảm dần thì γk chia hết αk+p với k = 1, . . . , r−p.

(f) Gọi L là một môđun xoắn hạng r−q, với các nhân tử bất biến Aλk,1≤k ≤r−qthỏa mãn λk chia hếtαk+q vớik = 1, . . . , r−q.

Chứng minh rằng tồn tại hai môđun con M, N của G thỏa mãn L đẳng cấu với M và G/N.

7. ChoAlà vành chính,Klà trường các thương củaA,ElàK−không gian vec-tơ,M ⊂E là mộtA−môđun kiểu hữu hạn và có hạngn,N ⊂KM

làA−môđun kiểu hữu hạn và hạngp,P ⊂KN làA−môđun kiểu hữu hạn và hạng q.

(a) Gọi Aαi,1≤ i≤p là các nhân tử bất biến của N trong M hạng giảm dần. Chứng minh rằng với k = 1, . . . , p, αk là ước chung lớn nhất của các phần tử λ ∈ K thỏa mãn hạng của môđun thương (N +λ(KN ∩M))/N là không vượt quá p−k.

(b) Cho Aβj, j = 1, . . . , q là các nhân tử bất biến của P trong M, Aγj, j = 1, . . . , q là các nhân tử bất biến của P trong N, hạng giảm dần. Chứng minh rằng α1γj chia hết βj với j = 1, . . . , q.

(d) Cho mọi mụđun con H của N, hạng k ≤ p, gọi (àH) là iđờan thương của à∈K thỏa mónà(M∩KH)⊂H. Chứng minh rằng với k = 1, . . . , p thỡ αk là ước chung lớn nhất của àH khi H chạy khắp tập các môđun con của N hạng k.

MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Môđun tự do trên vành chính

Ma trận trên vành chính