1.4. Điều kiện chính quy
2.1.2. Điều kiện Karush–Kuhn–Tucker mạnh
Chúng ta nhắc lại ở đây rằng, điều kiện tối ưu WKKT được gọi là mạnh (SKKT) nếu tất cả các hệ số Lagrange tương ứng với các hàm mục tiêu đều dương. Điều này tương đương với tính vô nghiệm của hệ sau
∇fi(¯x)Td 5 0, (2.7)
∃i0 ∈ {1,2, . . . , l} sao cho ∇fi0(¯x)Td < 0, (2.8)
∇gj(¯x)Td 5 0, j ∈ I(¯x). (2.9) Một điểm x¯ thỏa mãn các điều kiện (2.7)–(2.9) còn được gọi là điểm hữu hiệu thật sự kiểu Karush–Kuhn–Tucker (PKKT); xem [12].
Nhận xét 2.1. Định lý 2.2 trong [10] cho thấy các điều kiện (SKKT) đúng cho các nghiệm hữu hiệu địa phương của bài toán (VP) dưới giải thiết sau:
L(M; ¯x) ⊆
l
\
i=1
cl convT(Qi; ¯x). (2.10)
28
Chú ý rằng điều kiện (2.10) mạnh hơn điều kiện (EARC) kể cả khi Qi và Mi là các tập lồi. Tuy nhiên, điều kiện (EARC) không suy ra điều kiện (SKKT). Ví dụ dưới đây chứng tỏ điều này.
Ví dụ 2.2. Cho f : R2 → R3 xác định bởi
min f(x) := (x1, x2,(x1 + 2x2)(x1 + 0.5x2)) với ràng buộc x ∈ R2,
Ta có, x¯ = (0,0) là một nghiệm hữu hiệu của bài toán này. Xét các tập sau
M1 =
x ∈ R2|f1(x) := x1 5 0 = f1(¯x) , M2 =
x ∈ R2|f2(x) := x2 5 0 = f2(¯x) và M3 =
x ∈ R2|f3(x) := (x1 + 2x2)(x1 + 0.5x2) 50 = f3(¯x) . Ta có
3
\
i=1
T(Mi; ¯x) =
d ∈ R2| d1 50, d2 5 0 , và
L(M; ¯x) =
d ∈ R2|d1 5 0, d2 50 =
3
\
i=1
T(Mi; ¯x).
Do đó, điều kiện (EARC) thỏa mãn. Dễ thấy rằng ∇f1(¯x) = (1,0),
∇f2(¯x) = (0,1) và ∇f3(¯x) = (0,0). Tuy nhiên, ta có thể kiểm tra được rằng tồn tại d ∈
d ∈ R2| d1 < 0, d2 < 0 thỏa mãn ∇f1(¯x)Td < 0,
∇f2(¯x)Td < 0, và ∇f3(¯x)Td = 0.
Chú ý rằng (2.10) không thỏa mãn, vì x¯ là một nghiệm hữu hiệu nhưng không thỏa mãn các điều kiện (SKKT). Tuy nhiên, ta chú ý thêm rằng x¯ = (0,0) không là nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Geoffrion. Thật vậy, lấy x = (−a,−a), a > 0, khi đó ta có
f1(x)−f1(¯x)
f3(¯x)−f3(x) = −a
−9a2 2
= 2 9a.
Giá trị của 9a2 tiến tới+∞ khi cho a ↓ 0. Vì vậy, x¯ = (0,0) không là nghiệm hữu hiệu thật sự theo nghĩa của Geoffrion và vì vậy nó cũng không là nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Borwein.
Tiếp theo chúng ta chứng tỏ rằng, dưới điều kiện (EARC), một nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Borwein cũng là một nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Karush–Kuhn–Tucker.
Định lý 2.3. Lấy x¯ ∈ S. Giả sử (EARC) thoả mãn tại x. Nếu¯ x¯ ∈ S là một nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Borwein của bài toán (VP), thì hệ sau
∇fi(¯x)Td 5 0, ∃i0 ∈ {1,2, . . . , l}, sao cho ∇fi0(¯x)Td < 0, (2.11)
∇gj(¯x)Td 5 0, j ∈ I(¯x), (2.12) không có nghiệm d ∈ Rn.
Chứng minh. Giử sử rằng (2.11) và (2.12) có một nghiệm d ∈ Rn. Không mất tính tổng quát, ta giả sử
∇f1(¯x)Td < 0, (2.13)
∇fi(¯x)Td 50, i∈ {2, . . . , l}. (2.14) Từ (2.13) và (2.14), ta suy ra d ∈ L(M; ¯x). Do điều kiện (EARC), ta có
d ∈ T(Mi; ¯x), ∀i ∈ {1,2, . . . , l}.
Do đó, với bất kì i ∈ {2,3, . . . , l}, ta có d ∈ T(Mi; ¯x). Suy ra rằng tồn tại dãy {xn}n∈
N ⊆ Mi và
{sn} ⊂ R++ (2.15)
sao cho
n→∞lim xn = ¯x, và lim
n→∞sn(xn−x) =¯ d.
30
Cố định i0 ∈ {2,3, . . . l}. Với mỗi i0 này, ta lấy một dãy {xn} ⊆ Mi0 tương ứng như trên. Với dãy này, ta có
fi0(xn)−fi0(¯x) 5 0.
Với mọi n ∈ N, ta định nghĩa tập
Jn := {k =2| fk(xn) > fk(¯x)} ⊂ {2,3, . . . l}.
Ta chú ý rằng Jn 6= ∅ với mọi n ∈ N. Thật vậy, nếu Jn = ∅ với n nào đó, tức với mọi k =2 (trường hợp đặc biệt, k = i0), ta có
fk(xn) 5 fk(¯x).
Từ các điều này và f1(xn) < f1(¯x), ta suy ra mâu thuẫn với x¯ là nghiệm hữu hiệu của (VP). Do đó, Jn 6= ∅ với mọi n∈ N.
Do Jn ⊂ {2,3, . . . , l} với mọi n, nên sẽ có vô số các chỉ số n sao cho các tập Jn bằng nhau. Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng Jn = J là hằng với mọi n. Do Bổ đề 1.1, ta có
∇fk(¯x)Td = 0 ∀k ∈ Jn = J, ∀n.
Theo các bất đẳng thức trên và (2.14) ta suy ra
∇fk(¯x)Td= 0 với mọi k ∈ J.
Đặt
rn = (−1/2sn) ∇f1(¯x)Td, . . . ,∇fl(¯x)TdT
∈ Rl+, (2.16) với dãy {sn} như trong (2.15) và định nghĩa ˆh ∈ Rl như sau
hˆ = lim
n→∞sn(f(xn) +rn −f(¯x)). (2.17) Từ (2.13) và (2.16), ta có
n→∞lim snrn = (−1/2) ∇f1(¯x)Td, . . . ,∇fl(¯x)TdT
∈ Rl+\ {0}. (2.18)
Dễ thấy rằng
n→∞lim sn(f(xn)−f(¯x)) = ∇f1(¯x)Td, . . . ,∇fl(¯x)TdT
. (2.19) Do đó, kết hợp (2.17), (2.18), và (2.19), ta thu được
hˆ = (1/2) ∇f1(¯x)Td, . . . ,∇fl(¯x)TdT
∈ (−Rl+)\ {0}.
Từ (2.17) ta có ˆh ∈ T(f(S) +Rl+, f(¯x)) và ˆh 6= 0, mâu thuẫn với giả thiết rằng x¯ là nghiệm hữu hiệu thật sự Borwein. Do đó, hệ (2.11) và (2.12) không có nghiệm.
Dưới đây là hệ quả được suy ra trực tiếp từ Định lí 2.3.
Hệ quả 2.1. Cho x¯ ∈ S. Nếu x¯ ∈ X là nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Geoffrion của (VP) và điều kiện (EARC) thỏa mãn tại điểm này, thì hệ (2.11) và (2.12) không có nghiệm.
Chứng minh. Chứng minh của định lý suy ra trực tiếp từ Định lý 2.3 và thực tế rằng mọi nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Geoffrion cũng là nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Borwein (xem [1, Proposition 1]).
Sử dụng Định lý 2.3 ta có thể thiết lập các điều kiện (SKKT) cho bài toán (VP) như sau.
Định lý 2.4. Giả sử rằng các điều kiện của Định lý 2.3 thỏa mãn. Nếu
¯
x ∈ X là một nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Borwein của bài toán (VP), thì tồn tại các véctơ u ∈ Rl, v ∈ Rm sao cho
l
X
i=1
ui∇fi(¯x) +
m
X
j=1
vj∇gj(¯x) = 0, (2.20) vjgj(¯x) = 0, j = 1,2, . . . , m, (2.21) u > 0, v = 0.
32
Chứng minh. Gọi x¯ là một nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Borwein của bài toán (VP). Khi đó, từ Định lý 2.3 và Định lý Tucker [17], tồn tại u ∈ Rl, ui > 0 và vj = 0, j ∈ I(¯x) thỏa mãn
l
X
i=1
ui∇fi(¯x) + X
j∈I(¯x)
vj∇gj(¯x) = 0.
Bằng cách đặt vj = 0, j /∈ I(¯x), ta có (2.20). Từ gj(¯x) = 0 với j ∈ I(¯x), suy ra (2.21) và định lý được chứng minh.
Nhận xét 2.2. Hình 2.1 mô tả mối quan hệ giữa các nghiệm hữu hiệu thực sự và các điều kiện kiểu Karush-Kuhn-Tucker thực sự, ở đó A :=
là giả thiết lồi (tức S là lồi và các hàm fi, gj lồi) và B := là điều kiện chính quy kiểu Abadie suy rộng (EARC).
Hình 2.1: Mối quan hệ giữa các nghiệm hữu hiệu thực sự và (PKKT)
Theo Hệ quả 14.3 [27]), nếu S là một tập lồi đa diện và fi là các hàm tuyến tính trênRn thì mọi nghiệm hữu hiệu đều là nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Geoffrion. Trong trường hợp nghiệm hữu hiệu, các nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Geoffrion và các nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Borwein trùng nhau; xem [8, Theorems 2.45; 2.48 ]). Do vậy, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.2. Cho S là một tập lồi đa diện và fi là các hàm tuyến tính trên Rn. Lấy x¯ ∈ S và giả sử rằng điều kiện (EARC) thỏa mãn tại x.¯ Nếu x¯ ∈ X là một nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP), thì tồn tại các vectơ u ∈ Rl, v ∈ Rm sao cho
l
X
i=1
ui∇fi(¯x) +
m
X
j=1
vj∇gj(¯x) = 0, vjgj(¯x) = 0, j = 1,2, . . . , m,
u > 0, v = 0.