Trong mục này, ta giả sử các hàmfi,i ∈ I, vàgj,j ∈ J, là Lipschitz địa phương. Chúng ta sẽ thiết lập các điều kiện cần tối ưu yếu (mạnh) kiểu KKT cho các nghiệm hữu hiệu thực sự theo nghĩa của Geoffrion.
Để nhận được các kết quả này, chúng ta cần một định lý về các dạng luân phiên suy rộng kiểu Motzkin
Bổ đề 2.1 (Định lý luân phiên Motzkin mở rộng; xem [22]). Cho T, S, P là các tập bất kì (có thể vô hạn), at, ap, và as tương ứng là các ánh xạ từ T, S, P vào các không gian hữu hạn chiều. Giả sử rằng tập
conv{at, t ∈ T}+ cone conv{as, s ∈ S}+ span{ap, p ∈ P}
34
là đóng. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:
(I) Hệ
a0tx > 0, t ∈ T, T 6= 0 a0sx ≥ 0, s ∈ S
a0px= 0, p ∈ P không có nghiệm x ∈ Rn;
(II) Điều kiện sau nghiệm đúng
0n ∈ conv{at, t ∈ T}+ cone conv{as, s ∈ S}+ span{ap, p ∈ P}. Trước hết chúng thiết lập điều kiện cần tối ưu kiểu WKKT cho các nghiệm hữu hiệu thực sự Geoffrion cho bài toán (VP) dưới điều kiện chính quy (EARC).
Định lý 2.5. Cho điểm x¯ ∈ S. Giả sử điều kiện (EARC) đúng tại điểm
¯
x và x¯ là một nghiệm hữu hiệu thật sự Geoffrion của bài toán (VP). Khi đó, với mỗi i ∈ I, hệ sau không có nghiệm d ∈ Rn
h∂fi(¯x), di < 0,
h∂fk(¯x), di 5 0, ∀k ∈ I\ {i}, h∂gj(¯x), di 5 0, ∀j ∈ J(¯x).
(2.22)
Chứng minh. Giả sử phản chứng rằng tồn tại i ∈ I sao cho hệ (2.22) có nghiệm d. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng
h∂f1(¯x), di < 0,
h∂fk(¯x), di 5 0, ∀k ∈ I\ {1}, h∂gj(¯x), di 50, ∀j ∈ J(¯x).
(2.23)
Từ (2.23), rõ ràng rằng d ∈ L(M,x). Từ điều kiện¯ (EARC), với bất kì i ∈ I, ta có
d ∈ T(Mi,x).¯
Do đó tồn tại dãy {(xn, tn)} ⊂ Mi(¯x)×R++ với lim
n→∞xn = ¯x sao cho
n→∞lim tn(xn−x) =¯ d.
Theo định lý giá trị trung bình, tồn tại vni thuộc tập [¯x, xn) và ξni ∈
∂fk(vni) sao cho
fi(xn)−fi(¯x) ≤ hξni, xn−xi,¯ ∀i ∈ I,
và vin = ¯x + λin(xn − x)¯ với λin ∈ [0,1). Khi đó, vni → x. Từ¯ fi(x) là hàm Lipschitz địa phương, dãy {ξni} có giới hạn. Nên dãy này có ít nhất một dãy con hội tụ. Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng {ξni} → {ξ0i}, i ∈ I. Theo Mệnh đề 1.11, ta có ξ0i ∈ ∂fi(¯x),∀i ∈ I. Với tn > 0, khi i = 1, từ h∂f1(¯x), di < 0, ta có
tn(f1(xn)−f1(¯x)) 5hξn1, tn(xn−x)i,¯
n→∞lim tn(f1(xn)−f1(¯x)) 5 lim
n→∞hξn1, tn(xn −x)i¯ = hξ01, di < 0,
tức là, với n > N0 ∈ N, ta có f1(xn) < f1(¯x). Hơn nữa, ta có thể cố định r < 0 sao cho hξ01, di < r < 0, hay là,
−hξ01, di > −r > 0.
Với bất kỳ n ∈ N, xét tập sau
Γn = {k = 2 | fk(xn) > fk(¯x)}.
Từ x¯ là một nghiệm hữu hiệu thật sự Geoffrion, ta có Γn 6= ∅ với mọi n∈ N và Γn là hằng với mọi n.
Theo Bổ đề 1.1, với mọik ∈ Γn, ta có ít nhất một véctơξko ∈ ∂fk(¯x) sao cho hξko, di =0. Từ (2.23), hξko, di = 0. Do đó, ta có
sup{hξk, di | ξk ∈ ∂Mfk(¯x)} = 0,∀k ∈ Γn.
36
Khi đó, với mọi k ∈ Γn ⊂I\{1}, ta có
0< tn(fk(xn)−fk(¯x)) 5hξnk, tn(xn−x)i;¯ 05 lim
n→∞tn(fk(xn)−fk(¯x)) 5 lim
n→∞hξnk, tn(xn−x)i¯
= hξ0k, di 5 sup{hξk, di|ξk ∈ ∂Mfk(¯x)} = 0.
Hiển nhiên, ta có
0< fk(¯x)−fk(xn)
f1(xn)−f1(¯x) = fk(xn)−fk(¯x)
f1(¯x)−f1(xn) 5 hξnk, xn−xi¯
−hξn1, xn −xi¯ . Do vậy, với mọi k ∈ Γn và n > N0, ta có
05 lim
n→∞
fk(¯x)−fk(xn)
f1(xn)−f1(¯x) 5 lim
n→∞
tnhξnk, xn −xi¯
−tnhξn1, xn −xi¯ 5 −1 r lim
n→∞hξnk, tn(xn−¯x)i = 0, tức là,
n→∞lim
f1(xn)−f1(¯x)
fk(¯x)−fk(xn) = +∞,
điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng x¯ là một nghiệm hữu hiệu thực sự Geofrion của bài toán (VP).
Định lý sau cho ta điều kiện cần tối ưu kiểu WKKT cho các nghiệm hữu hiệu thực sự Geoffrion cho bài toán (VP) dưới điều kiện chính quy (EARC).
Định lý 2.6. Lấy một điểm x¯ ∈ S. Giả sử rằng (EARC) thỏa mãn tại điểm x¯ và với mỗi i ∈ I, các tập sau
Di = conv (∂fi(¯x)) + cone conv
[
k6=i
∂fk(¯x)
[
[
j∈J(¯x)
∂gj(¯x)
là đóng. Khi đó, nếu điểm x¯ là một nghiệm hữu hiệu thực sự Geoffrion của (VP), thì với mọi i ∈ I ta có
0 ∈ conv (∂fi(¯x)) + coneconv
[
k6=i
∂fk(¯x)
+ coneconv
[
j∈J(¯x)
∂gj(¯x)
.
Chứng minh. Gọi x¯ là nghiệm hữu hiệu thật sự Geoffrion của (VP). Khi đó, từ Định lý 2.5, với mỗi i ∈ I và tất cả các hệ sau
h∂fi(¯x), di < 0,
h∂fk(¯x), di 5 0, ∀k ∈ I\ {i}, h∂gj(¯x), di 50, ∀j ∈ J(¯x),
không có nghiệm d ∈ Rn. Với mỗi i ∈ I, theo Bổ đề 2.1, ta có 0 ∈ Di. Từ đó, với mỗi i ∈ I, ta dễ dàng suy ra được rằng
0 ∈ conv (∂fi(¯x)) + coneconv
[
k6=i
∂fk(¯x)
+ coneconv
[
j∈J(¯x)
∂gj(¯x)
. Định lý được chứng minh.
Trong trường hợp các tập ∂fi(¯x) và ∂gj(¯x) là lồi, thì ta thu được điều kiện cần tối ưu kiểu SKKT cho bài toán (VP) như sau.
Hệ quả 2.3. Trong Định lý 2.6, nếu ∂fi(¯x), i = 1,2, . . . , l, và ∂gj(¯x), j = 1,2, . . . , m là các tập lồi, thì tồn tại λ = (λ1, λ2, . . . , λl) > 0 và à= (à1, à2, . . . , àm) sao cho
0 ∈
l
X
i=1
λi∂fi(¯x) +
m
X
j=1
àj∂gj(¯x) và
àjgj(¯x) = 0, j = 1,2, . . . , m.
Chứng minh. Nếu ∂fi(¯x), i = 1,2, . . . , l, và ∂gj(¯x), j = 1,2, . . . , m, là lồi, thì theo Định lý 2.6, với mỗi i ∈ I, ta có
0 ∈ conv (∂fi(¯x)) + coneconv
[
k6=i
∂fk(¯x)
+ coneconv
[
j∈J(¯x)
∂gj(¯x)
. Do đó, ta có các công thức sau
0∈ ∂fi(¯x) + X
k6=i,k∈I
λ(i)k ∂fk(¯x) +
m
X
j∈J(¯x)
à(i)j ∂gj(¯x),
38
ở đú, λ(i)k = 0, k, i ∈ I, và k 6= i, à(i)j = 0, j ∈ J(¯x). Cộng với tất cả l hệ thức trên ta được
0 ∈ X
i∈I
1 + X
k6=i,k∈I
λ(k)i
∂fk(¯x) + X
j∈J(¯x)
X
i∈I
à(i)j ∂gj(¯x).
Khi j /∈ J(¯x), ta giả sử rằng à(i)j = 0. Đặt λ =
1 + X
k6=1,k∈I
λ(k)2 ,1 + X
k6=2,k∈I
λ(k)l , . . . , X
k6=l,k∈I
λ(k)l
,
à = X
i∈I
à(i)1 , . . . ,X
i∈I
à(i)m
! .
Khi đú, ta cú λ >0, à = 0 và 0 ∈
l
X
i=1
λi∂fi(¯x) +
m
X
j=1
àj∂gj(¯x) àjgj(¯x) = 0, j = 1,2, . . . , m.
Hệ quả được chứng minh.
Kết luận
Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày một cách hệ thống về các điều kiện tối ưu bậc nhất kiểu KKT cho các bài toán tối ưu véctơ.
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị. Nội dung chính của chương này là trình bày một số kiến thức cơ bản về bài toán tối ưu véctơ, nón tiếp tuyến và các điều kiện chính quy bậc nhất.
Chương 2 trình bày về các điều kiện tối ưu bậc nhất kiểu KKT cho các bài toán tối ưu véctơ. Mục 2.1 trình bày về các điều kiện tối ưu kiểu KKT cho các nghiệm hữu hiệu (yếu, thực sự Geoffrion) của các bài toán tối ưu véctơ trơn. Mục 2.2 trình bày các điều kiện tối ưu KKT cho các nghiệm hữu hiệu thực sự Geoffrion của các bài toán tối ưu véctơ với dữ liệu Lipschitz. Một số ví dụ minh họa cũng được trình bày trong chương này.
40
Tài liệu tham khảo
[1] J. M. Borwein (1977), “Proper efficient points for maximizations with respect to cones”, SIAM J. Control optim., 15, 57–63.
[2] J. M. Borwein, Q. J. Zhu (2005), “Techniques of Variational Analy- sis. Springer”, New York.
[3] G. Bigi (1999), “Optimality and Lagrangian regularity in vector op- timization”, PhD thesis, Universita di Pisa.
[4] G. Bigi, M. Pappalardo (1999), “Regularity conditions in vector op- timization”, J. Optim. Theory Appl., 102, 83–96
[5] R. S. Burachik, M. M. Rizvi (2012), “On weak and strong Kuhn- Tucker conditions for smooth multiobjective optimization”, J. Op- tim. Theory Appl., 155, 477–491.
[6] R. S. Burachik, M. M. Rizvi (2014), “Proper efficiency and proper Karush–Kuhn–Tucker conditions for smooth multiobjective opti- mization problems” Vietnam J. Math., 42, 521–531.
[7] S. Chandra, J. Dutta, C. S. Lalitha (2004), “Regularity conditions and optimality in vector optimization”, Numer. Funct. Anal. Op- tim., 25, 479–501.
[8] M. Ehrgott (2005), “Multicriteria Optimization”, Springer, Berlin Heidelberg.
[9] A. M. Geoffrion (1968), “Proper efficiency and the theory of vector maximization”, J. Math. Anal. Appl., 22, 618–630.
[10] G. Giorgi, B. Jimenez, V. Novo (2009), “Strong Kuhn–Tucker condi- tions and constraint qualifications in locally Lipschitz multiobjective optimization problems”, Top, 17, 288–304.
[11] J. Jahn (2011), “Vector Optimization”, Springer-Verlag, Berlin Hei- delberg.
[12] H. W. Kuhn, A. W. Tucker (1952), “Nonlinear programming”, In:
Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathemati- cal Statistics and Probability, pp. 481-492. University of California Press, Berkeley.
[13] X. F. Li, J. Z. Zhang (2005), “Stronger Kuhn–Tucker type conditions in nonsmooth multiobjective optimization: locally Lipschitz case”,J.
Optim. Theory Appl., 127, 367–388.
[14] J. J Liu, K. Q. Zhao, X. M. Yang (2016), “Optimality and regular- ity conditions using Mordukhovich’s subdifferential”, J. Nonlinear Convex Anal., 17, 827–839.
[15] D. T. Luc (1989), “Theory of Vector Optimization”, Springer, Berlin.
[16] T. Maeda (1994), “Constraint qualification in multiobjective opti- mization problems: differentiable case”, J. Optim. Theory Appl., 80, 483–500.
[17] O.L Mangasarian (1994), “Nonlinear Programming”, SIAM Philadel- phia.
[18] I. Marusciac (1982), “On Fritz John type optimality criterion in mul- tiobjective optimization”, Anal. Numér. Théor. Approx., 11, 109–
114.
42