2.1. Sơ lƣợc Thuyết nhân chủng didactic và Tiếp cận sinh thái học trong nghiên cứu chứng minh
Theo Thuyết nhân chủng học didactic (ATD) khởi xướng bởi Chevallard (1994, [11]), tri thức luôn tồn tại gắn liền với thể chế, và trong những thể chế dạy học khác nhau, tri thức đƣợc dạy và cần dạy có thể khác nhau. Một đối tƣợng toán học không tồn tại một cách đơn lẻ, mà luôn tồn tại trong các mối liên hệ và ràng buộc với các đối tƣợng toán học khác, với những chức năng đặc biệt nào đó (điều này giống với ý tưởng của sinh thái học, trong đó một loài sống trong một nơi nào đó của hệ sinh thái, với một vài chức năng đặc biệt liên quan đến các loài khác).
Trên quan điểm sinh thái học này, chứng minh đƣợc dạy trong các hệ thống dạy học khác nhau giữa các nước có thể có bản chất, hình thức và chức năng khác nhau.
Lý do của việc tập trung nghiên cứu chức năng của chứng minh xuất phát từ sự thừa nhận rằng các chức năng của chứng minh là những yếu tố chủ yếu lập nên bản chất của chứng minh. Theo một tiếp cận sinh thái học đề xuất trong Thuyết nhân học didactic (Chevallard, 1994, [11]), hệ thống các tri thức toán học đƣợc dạy trong nhà trường được hình thành dưới những điều kiện cho phép chúng tồn tại, và cả những ràng buộc cản trở sự tồn tại đó trong một thể chế hoặc một hệ thống giáo dục. Chúng tôi cũng đồng ý với quan điểm này khi vận dụng vào xem xét đối tƣợng tri thức ―chứng minh‖ trình bày trong các sách giáo khoa. Các bản chất khác nhau của chứng minh tìm thấy trong các thể chế dạy học (chương trình, sách giáo khoa) ở các nước khác nhau được hình thành từ ảnh hưởng của một hệ thống các điều kiện và ràng buộc. Chứng minh được dạy trong các nước khác nhau có thể có bản chất khác nhau. Những gì học sinh sẽ đƣợc học, những gì học sinh thực sự đƣợc học, những khó khăn học sinh gặp phải… có thể khác nhau giữa các nước.
Trong giáo dục toán, một số tác giả cũng đã tìm hiểu nghiên cứu sự khác nhau về bản chất của chứng minh được giảng dạy trong toán học nhà trường. Chẳng hạn, Knipping (2002, [22]) thấy rằng trong trường hợp định lý Pythagore, các quá
trình chứng minh có các chức năng khác nhau trong sách giáo khoa lớp 8 ở Đức và ở Pháp. Trong sách giáo khoa lớp 8 ở Đức, chứng minh nghĩa là làm cho rõ nghĩa của định lý, trong khi đó ở Pháp đòi hỏi phải giải thích tại sao. Yu-Ping Chang (2005, [41]) nhận xét rằng chứng minh là một đối tƣợng dạy học đƣợc trình bày một cách tường minh trong các trường phổ thông ở Pháp và các trường phổ thông chất lƣợng cao ở Đức (German Gymnasium), trong khi đó chứng minh không phải đối tượng dạy học được trình bày rõ ràng trong các trường phổ thông chất lượng thấp hơn ở Đức (German Realschule and Hauptschule).
2.2. Mô hình phân tích bản chất chứng minh trong sách giáo khoa hình học Từ quan điểm của ATD và cách tiếp cận có tính sinh thái học nhƣ trên, Miyakawa (2012, [27]) đã đề xuất một mô hình gồm bốn bước để phân tích các khía cạnh liên quan đến bản chất của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở Pháp và Nhật Bản. Bốn bước này bao gồm:
Nhận dạng và làm rõ khái niệm ―chứng minh‖ đƣợc sử dụng trong sách giáo khoa thông qua việc tìm hiểu các thuật ngữ nhƣ minh chứng (justify), giải thích (explain)…
Nhận ra các đặc trƣng chủ yếu về dạng chứng minh (the form of proof) Nhận ra các mối quan hệ qua lại giữa các đối tƣợng hay tính chất hình học đƣợc hình thành qua chứng minh
Nhận ra chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa.
Miyakawa (2012, [27]) sử dụng mô hình bốn bước trên để rút ra những điểm khác biệt liên quan đến bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình học THCS ở Pháp và Nhật Bản.
2.3. Khung lý thuyết phân tích hoạt động suy luận và chứng minh trong sách giáo khoa hình học
Stylianides (2009, [33]) cho rằng sự phát triển của chứng minh trong chương trình toán học phổ thông thường được xem như một quá trình mang tính hình thức và tách biệt với các hoạt động toán học có liên quan đến chứng minh nhƣ nhận ra quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết. Những hoạt động toán học nhƣ vậy tạo nên nền tảng của sự phát triển chứng minh toán học. Stylianides (2009,
[33]) sử dụng thuật ngữ hoạt động suy luận và chứng minh (reasoning-and-proving activity) để chỉ các hoạt động liên quan và hỗ trợ trong quá trình chứng minh nhƣ nhận ra quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết, đƣa ra các lập luận không có chứng cứ, và chứng minh.
Dựa trên khái niệm về hoạt động suy luận và chứng minh của Stylianides (2009, [33]), với mục tiêu tập trung vào các hoạt động và cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh hơn là bản chất của chứng minh, Otten et al. (2014, [29]) đã phát triển một khung lý thuyết cho phép phân tích các hoạt động và cơ hội cho học sinh suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học nhƣ trong bảng dưới đây:
Bảng 2.1. Khung nội dung suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học của Otten và cộng sự
Phần trình bày Phần bài tập Tính chất, định lý,
mệnh đề
Liên quan đến mệnh đề toán học
Liên quan đến lập luận toán học
Phát biểu hoặc tình huống toán học
Dạng tổng quát Dạng đặc biệt
Dạng tổng quát Dạng đặc biệt Dạng tổng quát với một trường hợp cụ thể đƣợc minh họa
Dạng tổng quát Dạng đặc biệt Dạng tổng quát hóa với một trường hợp cụ thể đƣợc minh họa
Hoạt động của học sinh đƣợc mong đợi
Đƣa ra một giả thuyết, chắt lọc thành một phát biểu, hoặc đƣa ra kết luận
Điền vào chỗ trống của một giả thuyết cho trước
Khảo sát, khám
Xây dựng một chứng minh
Phát triển một lý lẽ hoặc một lập luận không có chứng minh
Phác thảo chứng minh hoặc xây dựng chứng minh
phá một giả thuyết dựa vào một phác thảo cho trước
Điền vào các chỗ trống của một lập luận hoặc chứng minh
Đánh giá hoặc sửa chữa một chứng minh cho trước
Tìm một phản ví dụ
Minh chứng (hoặc môi trường cho khám phá)
Kiểu suy diễn Mang tính kinh nghiệm, thực nghiệm
Dạng phác thảo Dành cho học sinh
Không có
Kiểu suy diễn (tường minh)
Mang tính kinh nghiệm, thực nghiệm (tường minh)
Ngầm ẩn
Kiểu suy diễn (tường minh)
Mang tính kinh nghiệm, thực nghiệm (tường minh)
Ngầm ẩn Phát biểu về suy
luận và chứng minh Bài tập về suy luận và chứng minh Dựa trên hai cách tiếp cận về chứng minh trong các sách giáo khoa hình học của Miyakawa (2012, [27]) và Otten et al. (2014, [29]), chúng tôi sẽ nghiên cứu các đặc trƣng liên quan đến bản chất của chứng minh và phân tích các cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp.
2.4. Câu hỏi nghiên cứu
Mục tiêu của nghiên cứu này là xem xét các bản chất và chứng năng khác nhau của chứng minh có thể có trong các sách giáo khoa hình học bậc Trung học cơ sở ở Pháp và Việt Nam, cũng nhƣ phân tích cơ hội phát triển suy luận và chứng
minh cho học sinh đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa này. Từ đó, chúng tôi đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau đây:
Câu hỏi 1. Đặc trƣng khác nhau về hình thức, bản chất, và chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở bậc THCS ở Việt Nam và Pháp đƣợc thể hiện nhƣ thế nào?
Câu hỏi 2. Các cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh trong sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp đƣợc trình bày nhƣ thế nào?
Các đặc điểm giống nhau và khác nhau nhƣ thế nào?
2.5. Phương pháp nghiên cứu
Để làm rõ những khác nhau có thể có về bản chất và chức năng của chứng minh, chúng tôi tiến hành so sánh các sách giáo khoa bậc Trung học cơ sở ở Pháp và Việt Nam. Đối tƣợng nghiên cứu của chúng tôi là vấn đề chứng minh đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa ở Pháp và Việt Nam, chứ không phải đối tương tri thức chứng minh đƣợc thực sự dạy học trên lớp.
2.5.1. Lựa chọn sách giáo khoa
Pháp và Việt Nam đều có chung đặc điểm là bậc Trung học cơ sở kéo dài 4 năm. Ở Việt Nam, chỉ có duy nhất một bộ sách giáo khoa đƣợc sử dụng, trong khi ở Pháp có nhiều bộ sách giáo khoa khác nhau. Trong phần phân tích đối tƣợng tri thức chứng minh trong sách giáo khoa Pháp, chúng tôi sử dụng các sách giáo khoa phổ biến sau: Transmath (lớp 6), Transmath, Triangle (lớp 7), Transmath, Triangle (lớp 8), Sésamath (lớp 9). Sách giáo khoa Việt Nam đƣợc lựa chọn là các sách giáo khoa hiện hành.
2.5.2. Mô hình phân tích
Dựa trên mô hình bốn bước của Miyakawa (2012, [27]) để phân tích các đặc trƣng khác nhau về bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở bậc THCS ở Việt Nam và Pháp
Sử dụng khung lý thuyết đề xuất bởi Otten et al. (2014, [29]) để phân tích các hoạt động và cơ hội cho học sinh suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp.
Chương 3