Chương 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
3.2. Bản chất, hình thức, chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình học
3.2.2. Các hình thức khác nhau của chứng minh
3.2.2.1. Sách giáo khoa Pháp
Các hình thức khác nhau của chứng minh trong sách giáo khoa Pháp : Trong phần Tam giác, ta có thể xác định ít nhất hai yếu tố trong biện minh của một phát biểu : ―chứng minh‖ và ―biểu diễn chứng minh Toán học‖. Những thuật ngữ này có thể tìm thấy trong sách giáo khoa của năm đầu tiên cấp trung học, năm lớp 6. Tuy nhiên, ở lớp 7 và 8, những thuật ngữ này đƣợc giới thiệu một cách rõ ràng hơn.
Trong Chương 9 (Chương ―Tam giác‖) ở sách lớp 7 trong phần "Giới thiệu lập luận suy diễn ", thuật ngữ ―chứng minh‖ được giới thiệu. Chương này cũng giới thiệu bốn quy tắc của ―lập luận toán học‖ để xem xét tính đúng sai của một phát biểu toán học. Đó là: (1) một phát biểu toán học là đúng hoặc sai ; (2) những phát hiện từ đo đạc trên hình vẽ không thể dùng để chứng minh rằng một phát biểu hình học là đúng ; (3) từ kiểm tra một vài trường hợp cụ thể không dẫn đến kết luận tính đúng đắn của phát biểu ; (4) nếu phát biểu không đúng trong một trường hợp cụ thể thì kết luận ngay được phát biểu đó là sai. Trường hợp cụ thể đó được gọi là ―phản ví dụ‖.
Chứng minh sau đó là kết quả của cuộc ―tranh luận toán học‖. Hình 3.1 cho thấy một chứng minh đƣợc đƣa ra nhƣ một ví dụ điển hình trong sách giáo khoa. Vì nó là một phát biểu đơn giản, chỉ có một bước suy luận duy nhất, nên cấu trúc của chứng minh cũng đơn giản. Kết luận đƣợc theo sau bởi một dấu hai chấm và tính chất được dùng để suy ra nó. Phát biểu dưới dạng : "nếu ... thì ...". Hầu hết các chứng minh khác có thể đƣợc tìm thấy trong phần ―Tam giác‖ ở lớp 7, đặc biệt là trong các phương pháp giải bài tập ở phần cuối của sách giáo khoa.
Bài tập: (d) là đường trung trực của đoạn thẳng [EF]. Đường thẳng (d) cắt đường thẳng (EF) tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng [EF].
Lời giải : Điểm I là trung điểm của đoạn [EF] theo tớnh chất : ô Nếu một đường thẳng là đường trung trực của một đoạn thẳng, thì đường thẳng đó vuông góc với đoạn thẳng này và đi qua trung điểm của nú ằ.
Hình 3.1. Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 7 Triangle của Pháp.
Trong Chương 8 "Hình học và Giới thiệu chứng minh toán học" của sách Triangle, thuật ngữ "chứng minh toán học" đƣợc giới thiệu một cách rõ ràng. Định nghĩa của nó là: "Một chứng minh toán học trong hình học là một chuỗi suy luận mà bắt đầu từ giả thiết cho trước nhằm đi đến kết luận ".
Một chuỗi suy luận bao gồm ba yếu tố : giả thiết cho trước, tính chất sử dụng và kết luận của chuỗi. Cách viết các yếu tố này đƣợc nhấn mạnh trong sách giáo khoa. Đầu tiên, bắt đầu bằng cụm từ ―Ta có‖ theo sau một giả thiết cho trước. Thứ hai là một câu điều kiện có hình thức "Nếu ... thì ..." nhƣ trong các chứng minh ở lớp 7. Và thứ ba bắt đầu với một sự liên kết "Vì vậy ..." theo sau là một kết luận của chuỗi suy luận này. Các sách giáo khoa cũng đề cập rằng các tính chất đôi khi bị bỏ sót theo mức độ quen thuộc và nhu cầu của giáo viên.
Hình 3.2 dưới đây cho thấy một chứng minh toán học được đưa ra như một ví dụ điển hình trong sách giáo khoa, ở đó ba yếu tố của một chuỗi suy luận có thể đƣợc tìm thấy dễ dàng. Ta cũng có thể nhận thấy rằng các chứng minh toán học đƣợc viết nhƣ một đoạn văn, mà không có nhiều ký hiệu toán học. Hầu hết các chứng minh toán học được coi là ví dụ trong sách giáo khoa hoặc các phương pháp giải bài tập ở phần cuối của sách giáo khoa đều áp dụng hình thức này.
Bài tập : ABCD là một hình thoi tâm O. Gọi (d) là đường thẳng song song với đường thẳng (AC) và đi qua D. Chứng minh rằng đường thẳng (d) và đường thẳng (BD) vuông góc nhau.
Lời giải : Chúng ta biết rằng ABCD là một hình thoi. Nếu một tứ giác là hình thoi thì các đường chéo của nó vuông góc nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Vì vậy hai đường thẳng (AC) và (BD) vuông góc nhau.
Chúng ta cũng biết rằng (AC) và (BD) là vuông góc nhau và rằng (d) và (AC) là song song. Nếu hai đường thẳng song song với nhau và một đường thẳng thứ ba vuông góc với đường thẳng này thì nó sẽ vuông góc với đường thẳng kia.
Vì vậy (d) và (BD) vuông góc nhau.
Hình 3.2. Ví dụ chứng minh trong sách giáo khoa lớp 8 Triangle của Pháp.
Để giúp học sinh bắt đầu làm quen thế nào là một chứng minh trong hình học, sách giáo khoa lớp 6 Transmath đƣa ra ví dụ sau đây nhằm dẫn dắt học sinh chuyển từ một khẳng định trong hình học tự nhiên mang tính đo đạc và thực nghiệm sang một khẳng định dựa vào tính chất hình học. Học sinh bắt đầu làm quen (một cách ngầm ẩn) rằng để biết chắc chắn một khẳng định nào đó thì ta cần phải lập luận dựa vào các tính chất, định nghĩa chứ không phải dựa vào trực quan hay đo đạc :
81 Chứng minh 1. Dựng một hình
a. Dựng một tam giác ABC với AB = 4cm, AC = 6cm và BC = 3cm.
b. Lấy điểm K thuộc nửa đường thẳng [CA) sao cho CK = 10cm.
c. Kẻ đường tròn tâm A và đi qua B.
2. Quan sát, rồi chứng minh
Dường như đường tròn này cũng đi qua điểm K, nhƣng ta không biết chắc chắn điều đó. Có thể rằng điểm K ở gần đường tròn nhưng không thuộc đường tròn đó. Để biết đƣợc thực sự điều đó, hãy trả lời các câu hỏi sau :
a. Tính độ dài AK với các dữ liệu đã cho trong đề bài.
b. Ta có thể nói gì về độ dài AK và AB ?
c. Viết lại và hoàn thành cõu sau : ô Mọi điểm nằm cỏch đều điểm A thỡ… ằ
d. Điểm K có thuộc đường tròn không ? Hình 3.3. Ví dụ làm quen chứng minh Hình học trong SGK lớp 6 Transmath
Sách giáo khoa cũng đƣa ra những ví dụ còn chỗ trống để học sinh hoàn thành cũng nhƣ dẫn dắt học sinh đi đến các giải thích. Ví dụ sau đây đƣa ra trong sách giáo khoa lớp 7 Transmath :
7. Một chứng minh
Trên hình bên, các đường trung trực của các đoạn thẳng [AB] và [AC] cắt nhau tại O.
a. Viết lại và hoàn thành các câu sau bằng cách bổ sung thêm các biện minh :
- O thuộc đường trung trực của đoạn [AB] nên OA = … - O thuộc đương trung trực của đoạn [AC] nên ….
b. Giải thích tại sao :
- Đường tròn (C) têm O và đi qua A thì cũng đi qua B và C ;
- Điểm O thuộc đương trung trực của đoạn [BC].
Hình 3.4. Ví dụ kiểu chứng minh điền vào chỗ trống trong SGK lớp 7 Transmath Để dẫn dắt học sinh làm quen với chứng minh trong hình học, sách giáo khoa đƣa ra các ví dụ mẫu về trình bày một chứng minh. Chứng minh đƣợc trình bày chủ yếu nhƣ một đoạn văn với ít ký hiệu logic. Điều này giúp học sinh lớp 7 dễ dàng làm quen với cách lập luận trong một chứng minh. Ngoài ra, sách giáo khoa còn chỉ rõ các căn cứ của mỗi khẳng định trong quá trình chứng minh. Sau đây là một ví dụ minh họa điều này, đƣợc trình bày trong sách giáo khoa Toán lớp 7 Transmath :
2. Nhận ra một hình bình hành Đề bài :
(C) và (C‘) là hai đường tròn có tâm O như hình bên.
Đoạn [JI] là một đường kính của (C).
Đoạn [UN] là một đường kính của (C‘).
Chứng minh rằng tứ giác JUIN là một hình bình hành.
Lời giải :
[JI] và [UN] là hai đường kính của các đường tròn tâm O nên chứng có cùng trung điểm O.
Như vậy hai đường chéo [JI] và [UN] của tứ giác JUIN cắt nhau tại trung điểm O của chúng.
Mà nếu một tứ giác có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng thì đó là một hình bình hành.
Vậy JUIN là một hình bình hành.
Hình 3.5. Ví dụ về lập luận trong chứng minh SGK lớp 7 Transmath Tâm của một đường tròn là trung điểm của mỗi đường kính của nó
Ta giải thích tại sao chúng ta có thể áp dụng tính chất phát biểu ngay sau đây
Ta đi đến kết luận.