42 3.4.2.2 Tính tốn áp lực ngang
4.2.1Phương pháp Ya Bialer
Xác định trạng thái ứng suất trong mặt phẳng cĩ trọng lượng bị giảm yếu bởi một hay nhiều lỗ trịn (hoặc lỗ vuơng) cĩ chống; và xác định trạng thái ứng suất trong một nửa mặt phẳng cĩ trọng lượng bị giảm yếu bởi lỗ trịn cĩ chống để vận dụng cho các cơng trình đặt nơng. Quá trình tính tốn cĩ cơ sở lý luận chặt chẽ, chính xác, cĩ thể vận dụng để tính các hầm dạng trịn hay vuơng trong mơi trường đất đá đồng nhất hoặc phân lớp, hoặc cĩ thể xác định khoảng cách cần thiết giữa các hầm song song nhau.
4.2.2 Phương pháp K.V.Ruppenneyt,V.A. Lutkin, A.N. Dranovxki
Tính vịng trong mơi trường đàn hồi với điều kiện chuyển vị trên chu vi. Giả thiết vịng chịu áp lực chủ động bất kỳ và hình thành hai khu vực: khu vực khơng hình thành lực kháng đàn hồi đã biết ứng suất pháp tuyến và tiếp tuyến; và khu vực biết điều kiện cùng chuyển vị theo phương bán kính của vỏ hầm và mơi trường rỗng bởi lỗ cĩ chu vi nằm ngồi vỏ hầm. Kết quả tính tốn cho biết quy luật và giá trị phân bố lực kháng đàn hồi, cho ứng suất trong vịng vỏ hầm.
4.2.3 Phương pháp B.G. Galerkin
Giải bài tốn vỏ hầm trịn chịu áp lực phân bố đều từ trong ra, hướng tâm với điều kiện cùng chuyển vị theo phương bán kính trên tồn chu vi lỗ và mặt ngồi vỏ hầm.
Cơng trình ngầm được xây dựng và sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau do đĩ đặc điểm chịu lực của kết cấu cũng rất đa dạng. Mỗi phương pháp tính phù hợp cho từng cơng trình cụ thể.
4.2.4 Phương pháp M.M. Protodiakonov
Đất đá khơng thể xem là vật thể liên tục do các khe nứt lớn nhỏ cắt địa tầng ra làm các khối to nhỏ khác nhau. Do đĩ đối với địa tầng cĩ thể áp dụng các quy luật của vật thể rời với một sự hiệu chỉnh nào đĩ để xét đến lực dính giữa các hạt. Đĩ là hệ số ma sát hay cịn gọi là hệ số độ cứng. Trên nĩc của hang ngang tạo nên vịm cân bằng tự nhiên dạng parabol. Phần địa tầng nằm phía trong vịm cĩ xu
hướng sụt, trọng lượng của nĩ sẽ tạo nên áp lực lên vì chống hang. Cĩ thể kết luận rằng chiều sâu đặt hầm và các đặc trưng cơ lý của vì chống hầm khơng ảnh hưởng đến trị số áp lực và kích thước vịm cân bằng tự nhiên.
4.3 Phương pháp phần tử hữu hạn [5, 6]
4.3.1 Khái niệm chung về phương pháp PTHH
Phương pháp PTHH là một phương pháp đặc biệt cĩ hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định của nĩ. Phương pháp này rất thích hợp với các bài tốn vật lý và kỹ thuật nhất là đối với bài tốn kết cấu, trong đĩ hàm cần tìm được xác định trên những miền phức tạp bao gồm nhiều miền nhỏ cĩ tính chất khác nhau [5].
Các bước tiến hành chung của phương pháp phần tử hữu hạn như sau:
+ Rời rạc hĩa miền bài tốn thành một số hữu hạn các miền con liên kết với nhau tại điểm nút:
- Xây dựng lưới phần tử hữu hạn;
- Xây dựng hệ tọa độ địa phương và tồn cục; - Xây dựng số nút và số phần tử;
- Tính chất hình học cho bài tốn. + Xây dựng ma trận độ cứng cho phần tử:
- Xây dựng cơng thức biến phân từ các phương trình vi phân chính tắc; - Chọn hàm xấp xỉ nghiệm trên phần tử;
- Xác định hàm dạng cho nút của phẩn tử; - Thiết lập ma trận độ cứng của phần tử.
+ Lắp ghép các phương trình phần tử để thu được phương trình cho hệ:
- Xây dựng điều kiện liên tục giữa các biên phần tử với các biến cơ sở (quan hệ giữa bậc tự do địa phương và bậc tự do tồn cục, thiết lập quan hệ kết nối giữa các phần tử) bằng quan hệ giữa nút địa phương với nút tồn cục;
- Lắp ghép các phương trình phần tử dựa vào các bước trên; + Dựa vào bài tốn các điều kiện biên:
- Xác định bậc tự do tồn cục của biến sơ cấp; - Xác định bậc tự do tồn cục của biến thứ cấp.
+ Giải hệ phương trình đã lắp ghép và phân tích và đánh giá kết quả: - Tính các đại lượng dẫn xuất;
- Tính sai số và tốc độ hội tụ bài tốn; - So sánh với lời giải giải tích nếu cĩ.
Trong phương pháp PTHH miền tính tốn được thay thế bởi một số hữu hạn các miền con gọi là các phần tử, và các phần tử xem như chỉ được nối kết với nhau thơng qua một số điểm xác định trên biên của nĩ gọi là điểm nút.
Để mơ tả mối quan hệ giữa chuyển vị (hay ứng suất) trong một phần tử với chuyển vị (hay ứng suất) tại các điểm nút người ta phải chọn một hàm xấp xỉ hay hàm chuyển vị phải thoả mãn điều kiện liên tục trên các điểm nút hoặc các đường biên của các phần tử kế tiếp nhau.
Mặt khác, trên mỗi phần tử khi chịu tác dụng tải trọng sẽ phát sinh nội lực, phương pháp PTHH coi các thành phần nội lực của từng phần tử đều được truyền qua nút. Như vậy các thành phần nội lực trong phương pháp PTHH đều được biểu diễn dưới dạng lực nút hay cịn gọi là ngoại lực nút. Phương trình cân bằng của nút i trong phần tử:
S{Fi} = S{Pi} (4.1)
Trong đĩ Fi và Pi là các thành phần nội lực và ngoại lực tại nút i.
Khi chịu tác dụng tải trọng thì các phần tử cĩ chuyển vị ở các nút, phương trình quan hệ nội lực-chuyển vị trong một phần tử như sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong đĩ [Ki] là ma trận độ cứng của phần tử và {di} là các thành phần chuyển vị.
Phương trình cân bằng của tồn bộ miền phân tích là :
{D} = [K]{D} (4.3)
Trong đĩ {D} là thành phần nội lực nút của cả hệ; [K] là ma trận độ cứng tổng thể; {D} là các thành phần chuyển vị của cả hệ.
4.3.2 Phương pháp PTHH trong tính tốn cơng trình ngầm
4.3.2.1Các mơ hình tính
Mơ hình tính phẳng được sử dụng phổ biến trong việc tính tốn kết cấu cơng trình ngầm. Việc lập mơ hình tính phẳng tương đối đơn giản, kết quả xử lý nhanh. Đối với các cơng trình cĩ đặc điểm kết cấu và điều kiện địa chất khơng phức tạp thì mơ hình tính phẳng cho kết quả đủ độ chính xác.
Đối với các cơng trình ngầm quan trọng, thi cơng trong các điều kiện địa chất xấu, tuyến của cơng trình phức tạp thì nên sử dụng mơ hình khơng gian để phân tích. Mơ hình khơng gian cho phép mơ phỏng một cách gần đúng nhất sự làm việc của kết cấu và mơi trường đất đá xung quanh. Đặc biệt khi trình tự thi cơng cơng trình qua nhiều giai đoạn thì mơ hình tính này đặc biệt cĩ hiệu quả, ví dụ như khi tính tốn kết cấu hầm thi cơng theo phương pháp mới của nước Áo (New Austrian Tunneling Method-NATM).
4.3.2.2Các dạng phần tử
a.Phần tử kết cấu (Structure Element)
Nĩi chung các phần tử kết cấu được mơ tả tương tự như đối với bài tốn kết cấu thơng thường. Tuỳ theo mơ hình tính của kết cấu mà các phần tử này cĩ thể được mơ tả là phần tử thanh (bar), dầm (beam) đối với mơ hình phẳng hoặc phần tử tấm (plate), vỏ (shell) đối với mơ hình khơng gian.
Hình 4.2 Phần tử thanh 2 nút Hình 4.3 Phần tử thanh 3 nút
Phần tử thanh chủ yếu dùng trong bài tốn phẳng để mơ tả các cột chống, thanh giằng. Trong các phần mềm sử dụng phương pháp PTHH tính tốn kết cấu cơng trình ngầm thường cĩ hai loại phần tử thanh là thanh 2 nút (4 bậc tự do) và thanh 3 nút (6 bậc tự do) (hình 4.2 và 4.3).
Ma trận độ cứng của phần tử chịu kéo nén :
E F 1 − 1 [Kekn] = e e
he − 1 (4.4)
□ Phần tử dầm (chịu uốn)
Phần tử dầm dùng để mơ tả kết cấu tường chắn, vỏ hầm trong mơ hình tính phẳng. Cũng như phần tử thanh, phần tử dầm cũng cĩ hai loại là dầm 2 nút (6 bậc tự do) và dầm 3 nút (9 bậc tự do) (hình 4.4 và 4.5).
Hình 4.4 Phần tử dầm 2 nút Hình 4.5 Phần tử dầm 3 nút
Ma trận độ cứng của phần tử dầm chịu uốn:
12 6L − 12 2 6L 2 [K e ] = EJ 6L 4L −6 L 2L (4.5) uon L3 − 12 − 6L 12 2 − 6L 2 6L 2L −6 L 4L □ Phần tử chịu kéo nén và uốn ngang phẳng
Phần tử chịu kéo nén và uốn ngang phẳng là phần tử dầm hai chiều với sáu bậc tự do, là tổng hợp của phần tử chịu kéo nén và phần tử chịu uốn ngang phẳng. Do đĩ ma trận độ cứng phần tử là tổng của hai ma trận độ cứng thành phần sau:
[Ke] = [Ke ] + [Ke ]
kn uon
Theo (4.4) và (4.5) ta cĩ tổng hai ma trận như sau : EF 0 0− EF 0 0 l l 012 EJ 6 E J 0 − 12 EJ 6 EJ l l2 l3 l 2 0 6 EJ 4 E J 0 − 6 EJ 2 EJ [Ke] = l2 l l2 l (4.6) − E F 0 0 EF 0 0 l l − 12 0EJ − 6 EJ 0 12 J E − 6 EJ l3 l2 l3 l 2 06 EJ 2 JE 0 − 6 EJ − 4 EJ l2 l l2 l □ Phần tử dầm trên nền đàn hồi
Dầm trên nền đàn hồi được mơ hình hố thành những dầm cĩ nhiều gối tựa bị lún đàn hồi khi chịu tải trọng :
nền) kt theo phương đứng và ka theo phương ngang.
+ ka : hệ số nền khi trượt (cắt) (ka = koab với b là bề rộng dầm) + kt : hệ số nền khi nén
Như vậy phần tử dầm trên nền đàn hồi vừa chịu kéo nén đúng tâm vừa chịu uốn ngang phẳng.
Tính tốn tương tự như dầm 6 bậc tự do, ta tìm được ma trận độ cứng phần tử dầm trên nền đàn hồi như sau : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
K = Ke + Kse trong đĩ :
Ke tương ứng ma trận độ cứng phần tử dầm khơng nằm trên nền đàn hồi.
140k a 0 0 70ka 0 0 0 156k 22L k 0 − 12EJ −13k L t t l3 t L 0 22k L 4Lk 2 0L 13k −3k L2 K se = t t t t (4.7) 420 70K a 0 0 140ka 0 0 0 54k 13k L 0 12J E −22k L t t l3 t 0 −13k L −L32k 0L −22k 4k L2 t t t t □ Phần tử tấm vỏ
Được sử dụng để mơ hình hố kết cấu tường, vỏ hầm trong mơ hình khơng gian. Tuỳ theo sự làm việc phần tử vỏ cĩ thể được coi là phần tử tấm hoặc màng, nếu phần tử tấm cĩ chiều dày lớn thì nĩ được xét như loại phần tử tấm dày. Phần tử tấm vỏ cĩ hai loại là phần tử tứ giác (4 nút) và phần tử tam giác (3 nút) [5, 6].
b.Phần tử đất đá (Soil Element)
Trong phương pháp PTHH mơi trường đất đá xung quanh cơng trình được mơ phỏng dưới dạng các phần tử cho cả bài tốn thốt nước (drained), khơng thốt nước (undrained) và bài tốn cố kết (consolidation). Tuỳ theo mơ hình tính và điều kiện của bài tốn mà cĩ thể sử dụng các dạng phần tử khác nhau cũng như sử dụng hỗn hợp các phần tử [5, 6].
Đối với mơ hình tính phẳng, đất đá được mơ tả dưới các dạng phần tử sau: - Phần tử tam giác đơn giản (3 nút).
- Phần tử tam giác biến dạng tuyến tính loại 2: Phần tử cĩ 6 nút, 15 bậc tự do dùng cho bài tốn cố kết (hình 4.7).
O : ẩn chuyển vị ; ∆ : ẩn áp lực nước
Hình 4.6 Phần tử tam giác biến
dạng tuyến tính loại 1 Hình 4.7 Phần tử tam giác biến dạng tuyến tính loại 2
- Phần tử tam giác biến dạng khối loại 1: Phần tử cĩ 15 nút, 30 bậc tự do dùng cho bài tốn thốt nước và khơng thốt nước (hình 4.8).
- Phần tử tam giác biến dạng khối loại 2: Phần tử cĩ 22 nút, 40 bậc tự do dùng cho bài tốn cố kết (hình 4.9).
Hình 4.8 Phần tử tam giác biến dạng khối loại 1
Hình 4.9 Phần tử tam giác biến dạng khối loại 2
- Phần tử tứ giác biến dạng tuyến tính: Phần tử cĩ 8 nút, 16 bậc tự do dùng cho bài tốn thốt nước và khơng thốt nước (hình 4.10).
- Phần tử tứ giác biến dạng khối: Phần tử cĩ 8 nút, 20 bậc tự do dùng cho bài tốn cố kết (hình 4.11). Hình 4.10 Phần tử tứ giác biến dạng tuyến tính Hình 4.11 Phần tử tứ giác biến dạng khối
Đối với mơ hình tính khơng gian, đất đá được mơ phỏng dưới dạng các phần tử sau:
- Phần tử khối biến dạng tuyến tính loại 1: Phần tử cĩ 20 nút, 60 bậc tự do dùng cho bài tốn thốt nước và khơng thốt nước (hình 4.12).
- Phần tử khối biến dạng tuyến tính loại 2: Phần tử cĩ 20 nút, 68 bậc tự do dùng cho bài tốn cố kết (hình 4.13). Hình 4.12 Phần tử khối biến dạng tuyến tính loại 1 Hình 4.13 Phần tử khối biến dạng tuyến tính loại 2
c. Phần tử tiếp xúc (Interface Element)
Trong bài tốn phân tích sự làm việc của kết cấu cơng trình ngầm nằm trong vùng địa chất yếu hoặc các lớp đất đá cĩ độ cứng khác xa nhau thì việc mơ tả chính
xác sự tiếp xúc giữa kết cấu và đất đá, sự tiếp xúc giữa các lớp đất đá cũng như các vết nứt trong đất đá sẽ quyết định độ chính xác của kết quả tính. Thơng thường cĩ thể mơ phỏng chúng bằng các phần tử đã trình bày cĩ kích thước rất nhỏ. Tuy nhiên trong trường hợp cho phép trượt giữa kết cấu và đất đá hoặc hai lớp đất đá thì phải mơ phỏng bằng các phần tử đặc biệt gọi là phần tử tiếp xúc hay phần tử trượt (Slip Element). Phần tử mơ phỏng đặc biệt này cĩ tác dụng điều chỉnh sự tiếp xúc giữa các kết cấu và đất đá khi làm việc và đảm bảo tính liên tục cho mơ hình tính.
Việc nghiên cứu mơ hình của phần tử tiếp xúc đã được thực hiện từ những năm 60 của thế kỷ trước mà người đi tiên phong là R. Goodman. Ban đầu ơng đưa ra phần tử dạng một chiều đơn giản, gồm cĩ 8 bậc tự do và cĩ khả năng chịu lực nén và cắt. Khả năng chịu nén và chịu cắt của phần tử cĩ liên hệ với chuyển vị tiếp tuyến và pháp tuyến cũng như độ cứng đơn vị của chúng theo 2 phương. Sau đĩ vào năm 1970 ơng đã phát triển mơ hình phần tử tiếp xúc dạng phẳng (hình 4.14). Mặc dù được biểu diễn dưới dạng hình chữ nhật cĩ 4 nút nhưng các cặp nút 1 và 2; 3 và 4 cĩ cùng tọa độ, tức là phần tử cĩ độ mở rộng bằng khơng. y λη τ 1 η 2 δξ ξ 4 3 x
Hình 4.14 Mơ hình phần tử tiếp xúc phẳng của Goodman
Dưới tác dụng của ứng suất pháp σ và ứng suất tiếp τ, phần tử chịu biến dạng pháp tuyến λη và biến dạng tiếp tuyến δξ. Quan hệ ứng suất với biến dạng được đặc trưng bằng phương trình đường thẳng :
ο = kψ .6ψ = k∩ .6∩
(4.8)
Khi chịu kéo vuơng gĩc với bề mặt tiếp xúc, ứng suất trên phần tử tiếp xúc cĩ giới hạn bằng độ bền chịu kéo τ. Khi ση = 0, độ bền chịu kéo bằng 0 thì đất khơng tiếp xúc với bề mặt kết cấu, tạo ra khe hở giữa đất và phần tử kết cấu. Để đảm bảo tính liên tục trong suốt quá trình làm việc, phần tử tiếp xúc vẫn tồn tại với độ cứng kξ và kη được lấy rất nhỏ khi chịu kéo. Giá trị này thường được lấy sao cho vừa đảm bảo cĩ sai số nhỏ nhất vừa đảm bảo được tính liên tục của sơ đồ tính. Độ rộng của khe nứt chính là độ giãn của phần tử tiếp xúc.
Sau khi mặt tiếp xúc khép lại tồn bộ do nén thì độ cứng K của phần tử tiếp xúc sẽ tăng tới độ cứng của khối đất đá bao quanh là kξ và kη. Sức chống trượt giới hạn được đặc trưng bằng phương trình Coulomb : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});