CĂc c°p ữớng trỏn cõ tẵnh chĐt giống c°p ữớng trỏn Archimedes ữủc phĂt hiằn v cổng bố trong nhiãu cĂc b i bĂo khoa hồc gƯn Ơy. C°p ữớng trỏn thự nhĐt do chẵnh Archimedes tẳm ra, ổng chựng minh ữủc chúng cõ bĂn kẵnh bơng nhau khổng phử thuởc v o và trẵ cừa iºm C trản AB. 3.3.1 C°p ÷íng trán Archimedes thù nh§t v thù hai
Mằnh ã 3.5. (ành lỵ Archimedes). Hai ữớng trỏn tiáp xúc vợi CD, vợi nỷa ữớng trỏn O(a+b) v mởt trong hai nỷa ữớng trỏn O1(a), O2(b) cõ bĂn kẵnh t= ab
a+b khổng phử thuởc v o và trẵ cừa C trản AB
Chựng minh. X²t ữớng trỏn tiáp xúc vợi cĂc nỷa ữớng trỏn O(a + b), O1(a) v CD. Kỵ hiằutl bĂn kẵnh ữớng trỏn. Bơng cĂch tẵnh khoÊng cĂch tứ tƠm ữớng trỏ n y tợi AB theo 2 cĂch ta cõ phữỡng trẳnh
(a+b−t)2 −(a−b−t)2 = (a+t)2 −(a−t)2. Tứ õ, t = ab
a+b.
Do tẵnh ối xựng cừa biºu thực ối vợi a, b ta suy ra ữớng trỏn thự hai cụng cõ bĂn kẵnh t.
Hẳnh 3.6: C°p ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt v thự hai
Hai ữớng trỏn nõi trản l c°p ữớng trỏn Archimedes thự nhĐt. Ph²p dỹng ữớng trỏn Archimedes ữủc thỹc hiằn theo cĂc bữợc sau.
- Düng Q1, Q2 l trung iºm nûa ÷íng trán (AB) v CB - Dỹng K = O1Q2 ∩O2Q1, thẳ K ∈ CD v KC = ab
a+b. Chú ỵ rơng KC = ab
a+b = t - bĂn kẵnh cừa cĂc ữớng trỏn Archimedes - Düng M1, M2 ∈ AB sao cho CM1 = CM2 = KC
- Dỹng W1 = O1(O1M2)∩M1u vợi M1u⊥AB. õ l tƠm Archimedes thù nh§t
- Dỹng W10 = O2(O21M1)∩M2v vợi M1v⊥AB. õ l tƠm Archimedes thù hai.
Trản hẳnh 3.6 ta kỵ hiằu (W1),(W10). Sau Archimedes ngữới ta tẳm ữủc khĂ nhiãu cĂc c°p ữớng trỏn cõ bĂn kẵnh ab
a+ b v cõ tẵnh chĐt tiáp xúc giống nhữ thá. Chúng tổi s³ lƯn lữủt trẳnh b y mởt số c°p, cõ cÊ nhỳng c°p ữủc phĂt hiằn trong nhỳng nôm gƯn Ơy.
C°p ữớng trỏn (W2),(W20) lƯn lữủt l hẳnh chiáu cừa (W1),(W10) lản AB. â l c°p ÷íng trán Archimedes thù hai, c¡c c°p ÷íng trán(W1),(W20)
cõ tiáp tuyán chung i qua B, cỏn cĂc c°p (W10),(W2) cõ tiáp tuyán chung i qua A, hẳnh 3.6. C°p n y ữủc phĂt hiằn bði C.W. Dodge, cổng bố trong tÔp chẵ Math. Mag.,72(1999).
Hẳnh 3.7: ành lỵ Bankoff thự hai
Mằnh ã 3.6. (ành lỵ Bankoff thự hai). GiÊ sỷ ữớng trỏn nởi tiáp cừa arbelos [ABC] tiáp xúc hai nỷa ữớng trỏn (AC) v (CB) tữỡng ựng tÔi X,Y. Khi õ ữớng trỏn i qua C, X, Y cụng cõ bĂn kẵnh bơng t = ab
a+b Chựng minh. Ró r ng ữớng trỏn (CXY) l ữớng trỏn nởi tiáp cừa tam gi¡c ωO1O2 v ωX = ωY = t, O1X = O1C = a, O2Y = O2C = b Nûa chu vi cừa tam giĂc CO1O2 bơng
a+b+t = (a+b) + ab(a+b)
a2 +ab+b2 = (a+ b)2 a2 +ab+b2.
BĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc ữủc tẵnh theo cổng thực r = S p r =
r abt a+b+t =
s
ab.ab(a+b)
(a+b)3 = ab a+b õ chẵnh l bĂn kẵnh t cừa ữớng trỏn Archimedes.
ữớng trỏn CXY õ cõ tản gồi l ữớng trỏn Bankoff, hẳnh 3.7. Kát quÊ n y ch¿ ra mối quan hằ giỳa ữớng trỏn nởi tiáp arbelos v ữớng trỏn Bankoff (cụng l ữớng trỏn Archimedes). ỗng thới ữớng trỏn Bankoff lÔi l ữớng trỏn nởi tieps cừa tam giĂc ωO1O2.
3.3.2 C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v thù t÷
Hẳnh 3.8: C°p ữớng trỏn Archimedes thự ba v thự tữ
Kỵ hiằu thảm I0 l trung iºm cung AB. ữớng vuổng gõc vợi AB, i qua O, C lƯn lữủt cưt Q1Q2 ð I, J. Khi õ ta cõ CJ = 2t v vẳ O v C ối xựng nhau qua trung iºm cừa O1O2 nản theo tẵnh chĐt ữớng trung bẳnh trong hẳnh thang ta cõ: OI = (a+ b)−2t. K²o theo II0 = 2t lữu ỵ rơng OQ1 = OQ2 v vẳ I v J lÔi ối xựng nhau qua trung iºm cừa Q1Q2 nản cõ J J0 = II0 = 2t. Tứ õ suy ra: hai ữớng trỏn tƠm (W3),(W30) mội ữớng trỏn i qua I, J v tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn lợn nhĐt cừa arbelos ãu cõ bĂn kẵnh bơng t. õ l c°p ữớng trỏn Archimedes thự ba cừa arbelos [ABC], xem hẳnh 3.8a. C°p n y ữủc phĂt hiằn bði Thomas Schoch, Germany. Nôm 1970 T.Schoch  lữu ỵ rơng cõ rĐt nhiãu ữớng trỏn Archimedes trong hẳnh Arbelos.
Gi£ sû t = ab
a+b nhữ trản. Náu U V l tiáp tuyán chung ngo i cừa hai nỷa ữớng trỏn nhọ trong hẳnh arbelos v tiáp xúc vợi dƠy cung HK cừa nỷa ữớng trỏn lợn. Gồi W4 = O1W ∩ O2U. Vẳ O1U = a, O2V = b v
O1C CO2 = a
b nản W4 = ab
a+b = t. iãu õ nghắa l ữớng trỏn W4(t) i qua C v tiáp xúc vợi HK ð iºm N. Gồi M l trung iºm cừa HK. Vẳ O v C ối xựng nhau qua trung iºm cừa O1O2 nản OM + CN = O1U +O2V = a+ b. Tứ õ suy ra (a +b)−OM = CN = 2t. Nghắa l
ữớng trỏn tiáp xúc vợi dƠy HK v cung HK cõ bĂn kẵnh t. ữớng trỏn tƠm W40 n y tiáp xúc vợi nỷa ữớng trỏn (AB) ð iºm Q. C°p ữớng trỏn tƠm W4(t),(W40(t) gồi l c°p ữớng trỏn Archimedes thự tữ, hẳnh 3.8b) .
3.3.3 CĂc c°p ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu
Hẳnh 3.9: C°p ữớng trỏn Archimedes thự nôm v thự sĂu
Nôm 2005, Frank Power  phĂt hiằn ra 2 c°p ữớng trỏn Archimedes (W5),(W50) v (W6),(W60), xem [3].
Mằnh ã 3.7. ữớng trỏn tiáp xúc trong vợi nỷa ữớng trỏn (AB) v tiáp xúc vợi OQ1 ð Q1 (Ho°c tiáp xúc vợi OQ2 ð Q2 ) cõ bĂn kẵnh t= ab
a+ b. Chựng minh. Cõ hai ữớng trỏn tiáp xúc vợi OQ1 ð Q1, trản hẳnh 3.9 ta kỵ hiằu tƠm l W5 v W50. X²t ữớng trỏn tƠm W5, bĂn kẵnh r. Ta cõ cĂc tam giĂc vuổng OQQ1 v OW5Q1 nản:
OQ21 = O1Q21 + OO12 = a2 +b2, thay v o ¯ng thùc sau OW52 = Q1W52 +OQ21 ⇐⇒ (a−b−r)2 = (a2 + b2) +r2 Tứ õ, r = ab
a+b. Tẵnh toĂn nhữ thá thu ữủc (W50) cụng cõ bĂn kẵnh t. Ho n to n tữỡng tỹ, ta cõ thảm c°p (W6),(W60).
C°p ữớng trỏn (W5),(W50) v (W6),(W60) cỏn ữủc gồi l c°p ữớng trỏn kiºu Pewer. Ta s³ giợi thiằu thảm 2 c°p nhữ vêy.
3.3.4 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù b£y v thù t¡m Gồi M l trung iºm cừa CD, kỵ hiằu 2 iºm xuyản tƠm ối cừa
ữớng kẵnh ữớng trỏn CD, vuổng gõc vợi OM v U1, U2. Chú ỵ rơng OC2 = (a−b)2 v vẳ CD = 2√
ab nản
OD2 = a2 −ab+b2 v OU12 = a2 +b2.
Hẳnh 3.10: C°p ữớng trỏn thự bÊy, thự tĂm
BƠy giớ x²t c°p ữớng trỏn bơng nhau, mội ữớng trỏn tiáp xúcO(a+b) v tiáp xúc vợi nhau tÔi U1 v U2. BĂn kẵnhr cừa cĂc ữớng trỏn n y thọa mÂn (a+b−r)2 = OU12 +r2. Thay cĂc ¯ng thự trản v o phữỡng trẳnh thu ữủc: r = ab
a+b. Vêy ta cõ c°p ữớng trỏn Archimedes thự bÊy kiºu Power (W7),(W70). Bơng cĂch lĐy ối xúng qua OM ta cõ c°p ữớng trỏn Archimedes thự tĂm kiºu Power (W8),(W80), hẳnh 3.10. Hai c°p n y ữủc phĂt hiằn bði Floor van Lamoen (St. Wilibrordcollege, Fruitlaan 3, 4462 EP Goes, The Netherlands).
Nôm 2014, Dao Thanh Oai v Tran Quang Hung cụng giợi thiằu 4 c°p
÷íng trán Archimedes trong Forum Geometricorum: c°p (W9),(W90) v c°p (W10),(W100 ) trản hẳnh 3.11 cừa Dao Thanh Oai; c°p (W11),(W110 ) v c°p (W12),(W120 ) trản hẳnh 3.12 cừa Tran Quang Hung.
B i toĂn 3.4. Chựng minh rơng diằn tẵch ∆IO1O2 bơng ab(a+ b)2 a2 +ab+b2 v I cĂch AB mởt khoÊng bơng 2ρ.
B i toĂn 3.5. Chựng minh rơng cĂc tiáp iºm cừa I(ρ) vợi cĂc nỷa ữớng trỏn cõ thº xĂc ành ơng cĂch: X,Z l giao cừa Q1(Q1A) vợi hai nỷa O1(a), O(a+b), cỏn X, Z l giao cừa Q2(Q2B) vợi hai nỷa O2(b), O(a+b).
Hẳnh 3.11: C°p ữớng trỏn thự chẵn v c°p thự mữới
B i toĂn 3.6. (T. O. Dao) Trản hẳnh 3.11, giÊ sỷ A'. B' l cĂc hẳnh chiáu vuổng gõc cừa D trản tiáp tuyán tÔi K v H cừa ữớng trỏn ữớng kẵnh AB, tữỡng ựng. CĂc ữớng trỏn ữớng kẵnh DA' v DB' l cĂc ữớng trỏn Archimedes.
B i toĂn 3.7. (T. O. Dao) Trản hẳnh 3.11, giÊ sỷ A1A2 v B1B2 l tiáp tuyán cừa hai ữớng trỏn (AC), (CB) vợi A1, B1 ∈ AB v A1A2 = a, B1B2 = b. Gồi W10 = CQ1 ∩ A1B2, W100 = CQ2 ∩ B1A2. Khi õ cĂc
÷íng trán t¥m W10, W100 i qua C l c¡c ÷íng trán Archimedes.
B i toĂn 3.8. (Q. H. Tran) Trản hẳnh 3.12, cĂc ữớng th¯ng vuổng gõc vợi AB tÔi O1, O2 cưt (AB) tữỡng ựng tÔi E, F. Kỵ hiằu W11 = AF ∩ (AC), W110 = BE ∩ (CB) thẳ cĂc ữớng trỏn tƠm W11, W110 tiáp xúc vỡi CD l c¡c ÷íng trán Archimedes.
B i toĂn 3.9. (Q. H. Tran) Trản hẳnh 3.12, giÊ sỷ W12 l giao cừa AD vợi nỷa ữớng trỏn (AO2) v W120 l giao cừa BD vợi nỷa ữớng trỏn (BO1). CĂc ữớng trỏn tƠm W12 v W120 tiáp xúc vợi CD l cĂc ữớng trỏn Archimedes.
Hẳnh 3.12: C°p thự mữới mởt v c°p thự mữới hai
B i toĂn 3.10. (ữớng trỏn cừa Schoch) ữớng trỏn C nởi tiáp trong tam giĂc cong bà giợi hÔn bði nỷa ữớng trỏn O(a+b) v cĂc ữớng trỏn A(2a), B(2b). Chựng minh rơng C l ữớng trỏn Archimedes.
Kát luên cừa luên vôn
Luên vôn  trẳnh b y ữủc cĂc kát quÊ sau
1. Trẳnh b y hai b i toĂn nời tiáng vợi hữợng chựng minh mợi: B i toĂn Thebault v b i toĂn Feuerbach xuĐt phĂt tứ b i toĂn cỡ bÊn v tờng qu¡t hâa.
2. Trẳnh b y lới giÊi b i toĂn Malfatti vã dỹng 3 ữớng trỏn v trẳnh b y tữớng minh vã nghiằm cừa b i toĂn Malfatti gốc cũng ba b i toĂn kiºu Malfatti (cho tam giĂc ãu, hẳnh vuổng v ữớng trỏn).
3. PhĂt biºu v trẳnh b y lới giÊi mởt số b i toĂn vã ữớng trỏn tiáp xúc trong hẳnh hồc Arbelos. ữa ra cĂc kát quÊ vã cĂch dỹng ữớng trỏn nởi tiáp Arbelos ABC v giợi thiằu 12 c°p ữớng trỏn Archimedes cừa Arbelos. CĂc kát quÊ n y mợi ữủc cổng bố trong cĂc b i bĂo g¦n ¥y: [2], [4], [5], [7].
Chúng tổi nhên thĐy cĂc hữợng nghiản cựu tiáp theo:
- Tẳm thảm vã cĂc b i toĂn ựng dửng kát quÊ cừa cĂc ành lỵ trong luên vôn. Tẳm hiºu sƠu thảm vã hẳnh hồc Arbelos.
- Sỷ dửng cĂc ph²p bián hẳnh thẵch hủp ho°c phữỡng phĂp tồa ở º nghiản cựu sƠu vã cĂc b i toĂn ang x²t.
M°c dũ Â rĐt cố gưng những luên vôn khổng trĂnh khọi nhỳng hÔn chá, khiám khuyát. TĂc giÊ rĐt mong sỹ gõp ỵ, bờ sung cừa cĂc thƯy cổ giĂo v cừa cĂc ỗng nghiằp nhơm l m cho kát quÊ nghiản cựu ho n ch¿nh v cõ ẵch hỡn. Xin chƠn th nh cÊm ỡn.