Ta quay lÔi vợi b i toĂn Malfatti gốc: Tứ mởt tam giĂc ABC hÂy v³ trong tam giĂc 3 ữớng trỏn ổi mởt tiáp xúc, mội ữớng trỏn tiáp xúc vợi 2 cÔnh tam giĂc sao cho tờng diằn tẵch 3 hẳnh trỏn tÔo th nh cõ diằn tẵch lợn nhĐt. Tứ b i toĂn n y xuĐt hiằn nhiãu b i toĂn tữỡng tỹ  ữủc phĂt biºu v ữa ra lới giÊi. Trong [2], Emil Kostadinov (Bulgaria)  viát vã cĂc b i toĂn õ, ð Ơy chúng tổi trẳnh b y 3 b i toĂn kiºu Malfatti theo þ t÷ðng §y.
2.4.1 Hai b i to¡n Malfatti èi ng¨u
Ta x²t hai b i toĂn ữủc gồi l b i toĂn Malfatti ối ngău ối vợi tam giĂc ãu v hẳnh vuổng, xem [2].
B i toĂn A. Cho hai số a, b > 0 hÂy tẳm cÔnh cừa tam giĂc ãu nhọ nhĐt chựa hai ữớng trỏn khổng giao nhau bĂn kẵnh a, b.
Lới giÊi.Ta giÊ sỷ rơng a ≥ b. X²t tam giĂc ABC ãu vợi cÔnh bơng x chựa hai ữớng trỏn khổng giao nhau k1(O1, a) v k2(O2, b), hẳnh 2.9.
Khi õ bĂn kẵnh cừa ữớng trỏn nởi tiáp ∆ABC khổng nhọ hỡn a v bði vêy ta cõ bĐt ¯ng thực r ≥ a =⇒ 1
3.x√ 3 2
≥ a =⇒ x ≥ 2√
3a. Ta chú ỵ rơng O1 nơm trong ∆A1B1C1 m cĂc cÔnh cĂch cÔnh tữỡng ựng cừa
∆ABC mởt khoÊng bơng a. Tữỡng tỹ, O2 nơm trong ∆A2B2C2 m cĂc cÔnh cĂch cÔnh tữỡng ựng cừa ∆ABC mởt khoÊng bơng b, hẳnh 2.9. Dạ thĐy O1O2 ≤ A2C1, kỵ hiằu O l tƠm ∆ABC thẳ khoÊng cĂch tứ O án AC v A1C1 t÷ìng ùng l x
2√ 3, x
2√
3 −a v do â, A1C1
AC = x 2√
3 −a x 2√
3
=⇒ A1C1 = x−2√ 3a.
T÷ìng tü, A2C2 = x−2√
3b. HÔ C1M ⊥ A2C2, M ∈ A2C2 thẳ A2M = A2C2 −M C2 = x−2√
3b− A2C2 −A1C1 2
= x−2√
3b− x 2 +√
3b+ x
2 −a√
3 = x−(a+b)√ 3.
Theo ành lỵ Pythagoras ối vợi ∆A2C1M (A2C1)2 = (a−b)2 + (x−√
3(a+b))2 (2.10) M°t khĂc vẳ k1 v k2 khổng giao nhau nản
Hẳnh 2.9: B i toĂn A
(a−b)2 + (x−√
3(a+ b))2 = (A2C1)2 =⇒ (O1O2)2 ≥ (a+b)2. Tứ õ, (x−√
3(a+b))2 ≥4ab hay x ≥ √
3(a+b) + 2√ ab.
°t h(a, b) = max{2√ 3a,√
3(a+b) + 2√
ab}. Tứ cĂc Ănh giĂ trản ta câ x ≥ h(a, b).
BƠy giớ ta chựng minh rơng tam giĂc ãu ABC vợi cÔnh bơng h(a, b) chựa hai ữớng trỏn khổng giao nhau k1 v k2, bĂn kẵnh tữỡng ựng a, b. Thêt vêy, náu a ≥ 3b thẳ h(a, b) = 2√
3a v trong trữớng hủp n y k1 l
ữớng trỏn nởi tiáp ∆ABC. Gồi k l ữớng trỏn tiáp xúc hai cÔnh gõc A,
tiáp xúc k1 thẳ dạ kiºm tra ữủc bĂn kẵnh cừa nõ bơng r = a
3. Tứ Ơy ta cõ thº lĐy ữớng trỏn k2 bĂn kẵnh b ð phƯn trong cừa k v khổng giao vợi k1.
Náu b ≤ a ≤ 3b thẳ h(a, b) = √
3(a + b) + 2√
ab v ta câ thº l§y k1 = (C1, a) v k2 = (A2, b). Chú ỵ rơng cĂc ữớng trỏn n y nởi tiáp trong gõc C cừa∆ABC v tiáp xúc nhau. Nhữ vêy ta  chựng minh ữủc rơng ở d i cÔnh tam giĂc ãu nhọ nhĐt chựa hai ữớng trỏn khổng giao nhau, bĂn kẵnh a, b l số h(a, b) vợi
h(a, b) = ( √
3(a+ b) náu b ≤ a ≤ 3b 2√
3 náu a ≥ 3b (2.11)
BƠy giớ ta phĂt biºu v giÊi b i toĂn tữỡng tỹ cho tự giĂc ãu, tực hẳnh vuổng.
B i toĂn B Cho hai số a, b > 0 hÂy tẳm cÔnh cừa hẳnh vuổng nhọ nhĐt chựa hai ữớng trỏn khổng giao nhau bĂn kẵnh a, b.
Lới giÊi. GiÊ sỷABCDl hẳnh vuổng cÔnhxchựa hai ữớng trỏn khổng
Hẳnh 2.10: B i toĂn B
giao nhau k1(O1, a) v k2(O2, b) vợi giÊ thiát a ≥ b. Vẳ bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp cừa hẳnh vuổng khổng nhọ hỡn a nản ta cõ x ≥ 2a. TƠm O1 nơm trong hẳnh vuổng A1B1C1D1 cõ cĂc cÔnh cĂch cÔnh tữỡng ựng cừa hẳnh vuổng ABCD mởt khoÊng = a, tƠm O2 nơm trong hẳnh vuổng
A2B2C2D2 cõ cĂc cÔnh cĂch cÔnh tữỡng ựng cừa hẳnh vuổng ABCD mởt khoÊng = b, hẳnh 2.10. Do õ A2C1 ≥ O1O2. Ta i tẳm ở d i A2C1 theo a, b, x: HÔ C1C10 ⊥ A2B2, C10 ∈ A2C2 ta cõ ∆A2C1C10 l tam giĂc vuổng cƠn vợi C1C10 = x−a−b, do õ
A2C12 = 2(x−a−b)2 =⇒ A2C1 = √
2(x−a−b) (2.12) M°t khĂc vẳ k1, k2 khổng giao nhau nản ta cõ O1O2 ≥ a+b. Tứ cĂc iãu â ta câ:
√
2(x−a−b) ≥ a+b =⇒x ≥ (a+b)1 + 1
√2
.
°t t(a, b) = max{2a,(a+b)1 + 1
√2
}. Tứ cĂc Ănh giĂ vã x ta suy ra x ≥t(a, b).
BƠy giớ ta chựng minh rơng: hẳnh vuổng cÔnh t(a, b) chựa hai ữớng trỏn khổng giao nhau cõ bĂn kẵnha, b. Náu a ≥b(√
2 + 1)2 thẳt(a, b) = 2a v k1 l ữớng trỏn nởi tiáp hẳnh vuổng. GiÊ sỷ k l ữớng trỏn nởi tiáp trong gõc A v tiáp xúc vợi k1. Khi õ dạ kiºm tra ữủc bĂn kẵnh cừa nõ bơng r = (√
2−1)2a. Do õ, ta cõ thº °t mởt ữớng trỏn k2 bĂn kẵnh b ð phƯn trong cừa k v khổng giao vợi k1. Náu b ≤ a ≤ b(√
2 + 1)2 thẳ t(a, b) ≥ (a+b)1 + 1
√2
v ta câ thº l§y k1 = (A2, a) v k2 = (C1, b). Nhữ vêy, ta  chựng minh ữủc ở d i cÔnh cừa hẳnh vuổng nhọ nhĐt chựa hai ữớng trỏn khổng giao nhau, bĂn kẵnh a, b l số t(a, b) vợi
t(a, b) =
2a náu a ≤b(√
2 + 1)2 (a+ b)1 + 1
√2
náu b ≤a ≤b(√
2 + 1)2. (2.13) 2.4.2 B i toĂn Malfatti cho tam giĂc ãu v hẳnh vuổng
Trong phƯn n y ta s³ nõi vã hai b i toĂn Malfatti ối vợi tam giĂc ãu v hẳnh vuổng bơng cĂch sỷ dửng kát quÊ hai b i toĂn A v B ð trản.
a. B i toĂn Malfatti cho tam giĂc ãu.
Ba ữớng trỏn khổng giao nhau nơm trong mởt tam giĂc ãu. Chựng minh rơng tờng diằn tẵch ba hẳnh trỏn õ lợn nhĐt khi 1 trong chúng l
ữớng trỏn nởi tiáp tam giĂc, hai ữớng trỏn cỏn lÔi tiáp xúc vợi hai gõc tam giĂc v tiáp xúc vợi ữớng trỏn nởi tiáp.
Chựng minh. GiÊ sỷ cÔnh tam giĂc bơng 1. Khi õ bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp l 1
2√
3 v bĂn kẵnh cĂc ữớng trỏn nởi tiáp hai gõc v tiáp xúc
ữớng trỏn nởi tiáp bơng 1 6√
3. Ta x²t ba ữớng trỏn bĐt ký khổng giao nhau nơm trong tam giĂc ãu v kỵ hiằu cĂc bĂn kẵnh cừa chúng thự tỹ l a, b, c vợi a ≥ b ≥ c. º giÊi quyát b i toĂn °t ra ta phÊi chựng minh
a2 +b2 +c2 ≤ 11
108 (2.14)
X²t hai trữớng hủp:
Trữớng hủp 1. Khi a ≥ 3b: BĐt ¯ng thực a ≤ 1 2√
3 k²o theo a2+b2+ c2 ≤ a2 + 2b2 ≤ a2 + 2a2
9 ≤ 11
108 v bĐt ¯ng thực 2.14 ữủc chựng minh.
Trữớng hủp 2. Khi b ≤ a ≤ 3b: Lúc n y tứ b i toĂn A cõ √
3(a+b) + 2√
ab ≤ 1. °t a = 3x2b, x > 0 thẳ bĐt ¯ng thực trản tữỡng ữỡng vợi
√1
3 ≤ x ≤ 1 v b≤ 1
√3(3x2 + 2x+ 1)2 v º câ 2.14 ta ch¿ c¦n chùng minh
9x4 + 2
(3x2 + 2x+ 1)2 ≤ 11 36
vợi x ∈ h 1
√3,1i (2.15)
Dạ kiºm tra ữủc 2.15 tữỡng ữỡng vợi
225x4 −132x3 −110x2 −44x+ 61 ≤0 trong kho£ng x¡c ành cõa x hay (225x3 + 93x2 −17x−61)(x−1) ≤ 0. BĐt ¯ng thực n y úng vợi x ∈ h 1
√3,1i vẳ x−1 ≤ 0 v 225x3 + 93x2 −17x−61 = 51x(x2 − 1 3) + 174x3 + 93x2 −61 ≥ 174x3 + 93x2 −61 ≥ 174
3√
3 + 93
3 −61 > 0. b. B i toĂn Malfatti cho tự giĂc ãu (hẳnh vuổng)
Ba ữớng trỏn khổng giao nhau nơm trong mởt hẳnh vuổng. Chựng minh rơng tờng diằn tẵch ba hẳnh trỏn õ lợn nhĐt khi 1 trong chúng l ữớng trỏn nởi tiáp hẳnh vuổng, hai ữớng trỏn cỏn lÔi tiáp xúc vợi hai gõc hẳnh vuổng v tiáp xúc vợi ữớng trỏn nởi tiáp.
Chựng minh. Tữỡng tỹ b i toĂn A ta giÊ sỷ cÔnh hẳnh vuổng bơng 1. Khi õ bĂn kẵnh ữớng trỏn nởi tiáp l 1
2 v bĂn kẵnh cĂc ữớng trỏn nởi tiáp hai gõc hẳnh vuổng v tiáp xúc ữớng trỏn nởi tiáp bơng (√
2−1)2 2 . Ta x²t ba ữớng trỏn bĐt ký khổng giao nhau nơm trong hẳnh vuổng v kỵ hiằu cĂc bĂn kẵnh cừa chúng thự tỹ l a, b, c vợi a ≥ b ≥ c. º giÊi quyát b i to¡n ta ph£i chùng minh
a2 +b2 +c2 ≤ 35−24√ 2
4 . (2.16)
º l m iãu õ ta x²t 2 trữớng hủp:
Trữớng hủp 1. Khi a > b(√
2−1)2: Lóc n y a2 +b2 + c2 ≤ a2 + 2b2 = a2
1 + 2
(√
2 + 1)4
. Vẳ a ≤ 1
2 nản ta cõ a21 + 2
(√
2 + 1)4
≤ 1
4 + 1
2(√
2 + 1)4 = 35−24√ 2
4 .
Trữớng hủp 2. Khi b ≤a ≤ b(√
2 + 1)2: Lúc n y tứ b i toĂn B suy ra:
(a+b)
√2 + 1
√2
≤1.
°t a = sb vợi s > 0 thẳ bĐt ¯ng thực trản tữỡng ữỡng vợi 1≤ s ≤ (√
2 + 1)2 v b ≤
√2 (√
2 + 1)(s+ 1). Do â,
a2 +b2 +c2 ≤a2 + 2b2 = (s2 + 1)2b2 ≤ 2(s2 + 1) (√
2 + 1)2(s+ 1)2. v º câ 2.16 ch¿ c¦n chùng minh
2(s2 + 2) (√
2 + 1)2(s+ 1)2 ≤ 35−24√ 2
4 ối vợi s∈ h1,(√
2 + 1)2i. (2.17) Bơng cĂc bián ời Ôi số ỡn giÊn thu ữủc 2.17 tữỡng ữỡng vợi
(2√
2−1)s2 + (4√
2−18)s+ 7 + 2√
2≤ 0. (2.18) Dạ thĐy 2.18 úng vợi s ∈ [1,(√
2 + 1)2] v xÊy ra dĐu bơng náu v ch¿
náu s= (√
2 + 1)2.
2.4.3 B i to¡n Malfatti cho ÷íng trán
Ngữới ta cõ thº thay tam giĂc ãu ho°c hẳnh vuổng trong hai b i toĂn trản bơng mởt ữớng trỏn v ta cõ b i toĂn kiºu Malfatti thự ba: B i toĂn Malfatti cho ÷íng trán, ph¡t biºu nh÷ sau:
Cho mởt ữớng trỏn C. HÂy cưt ra 3 tam giĂc khổng giao nhau sao cho tờng diằn tẵch cừa chúng l lợn nhĐt.
Emil Kostadinov  ch¿ ra trong [2] bơng phữỡng phĂp phÊn chựng rơng b i toĂn thự ba n y khổng giÊi ữủc bơng cĂch tữỡng tỹ nhữ  l m ối vợi hai b i toĂn trản. ặng cụng lữu ỵ rơng "b i toĂn Malfatti cho ữớng trỏn" án nay văn chữa tẳm ra lới giÊi ngoÔi trứ mởt số trữớng hủp °c biằt.
B i toĂn 2.3. Ba ữớng trỏn bĂn kẵnh lƯn lữủt r1, r2, r3 ổi mởt tiáp xúc ngo i nhau. Tẳm cÔnh cừa tam giĂc tÔo bði ba tiáp chung cừa ổi mởt hai
÷íng trán.
B i toĂn 2.4. Cho ữớng trỏn (K, a) tiáp xúc vợi ữớng trỏn (O, R) cho trữợc. HÂy dỹng ữớng trỏn cõ bĂn kẵnh b cho trữợc tiáp xúc ngo i vợi (K, a) v tiáp xúc trong vợi (O, R) tÔi iºm B cho trữợc trản (O, R). Hữợng giÊi. K²o d i OB án P sao cho BP = b. Dỹng trung trỹc cừa KP, gồi giao cừa nõ vợi OP l K0. ữớng trỏn (K0, K0B) l ữớng trỏn c¦n düng.
B i toĂn 2.5. Hai ữớng trỏn (H, a) v (K, b) tiáp xúc ngo i nhau v tiáp xúc trong vợi ữớng trỏn (O, R) lƯn lữủt tÔi A v B. Chựng minh rơng
AB = 2R
r a
R−a. b R−b.
Hữợng giÊi. p dửng ành lỵ cổ sin v o tam giĂc AOB, sau õ lÔi Ăp dửng lƯn nỳa v o tam giĂc OHK.
B i toĂn 2.6. Cho (H, a) v (K, b) tiáp xúc trong vợi ữớng trỏn (O, R). Náu C l mởt ữớng trỏn tiáp xúc trong vợi (O, R) tÔi iºm C v tiáp xúc ngo i vợi hai ữớng trỏn (H, a),(K, b) thẳ
AC : BC =
r a R−a.
r b R−b.
Ch֓ng 3
ữớng trỏn tiáp xúc trong hẳnh hồc arbelos
Hẳnh hồc arbelos nghiản cựu cĂc nỷa ữớng trỏn tiáp xúc, chỳ "arbelos"
ữủc gh²p tứ 7 chỳ cĂiα, %, β, η, λ, θ, ς th nh (α%βηλθς). Hẳnh cỡ bÊn cừa arbelos l ba nỷa ữớng trỏn vợi cĂc ữớng kẵnh trản mởt ữớng th¯ng:
AB, AC, CB. Theo quan iºm trỹc quan, ngữới ta gồi arbelos l hẳnh "con dao cừa thủ õng giƯy". Trong luên vôn n y chúng tổi thống nhĐt dũng tản gồi "arbelos ABC" º ch¿ hẳnh cỡ bÊn nhữ trản hẳnh v³ 3.1, bĂn kẵnh hai nỷa ữớng trỏn nhọ l AC = a, CB = b, O1, O2 l hai tƠm nỷa ữớng trỏn. C l tiáp iºm cừa hai nỷa ữớng trỏn nhọ,D l giao cừa nỷa ữớng trỏn lợn nhĐt vợi ữớng vuổng gõc Ct⊥AB. Nhữ vêy ữớng trỏn lợn cõ bĂn kẵnh a+b. Ta cụng dũng kỵ hiằu (P Q) º ch¿ nỷa ữớng trỏn ữớng kẵnh P Q hay O(r) º ch¿ ữớng trỏn tƠm O, bĂn kẵnh r.