Trong mô hình này, để sinh khối lượng cho các fermion, cần năm tam tuyến vô hướng Higgs φ, φ0, χ, η, η0 và hai phản lục tuyến σ, s. Thế vô hướng có dạng tương đối phức tạp. Chúng tôi tách thế vô hướng tổng quát thành các phÇn nh sau:
Vtotal = Vtri+ Vsext +Vtri−sext +V , (2.50) trong đó,Vtri và Vsext lần lượt chỉ chứa các tương tác của các tam tuyến và lục tuyến vô hướng SU(3)L, trong khi đó, Vtri−sext chứa các số hạng liên kết giữa
các tam tuyến và các lục tuyến. Hơn nữa, các số hạng Vtri, Vsext, Vtri−sext bảo toàn các tích L và S4, trong khi đó, V chứa các số hạng vi phạm mềm có thể của các tích đó. Các số hạng mềm là các tương tác bậc 3 và bậc 4. Lý do cho việc áp đặt V¯ sẽ được đề cập sau.
Để thuận tiện, chúng tôi sử dụng ký hiệu V(X → X1, Y → Y1,ã ã ã) ≡ V(X, Y,ã ã ã)|X=X1,Y=Y1,ããã và chú ý rằng (TrA)(TrB) = Tr(ATrB). Các số hạng tường minh của các thành phần thế trong (2.50) được cho như sau. Thành phầnVtri, chỉ gồm các tương tác của các tam tuyến, là tổng các số hạng sau:
V(χ) = à2χχ+χ+λχ(χ+χ)2, (2.51) V(φ) = à2φ(φ+φ)1 +λφ1(φ+φ)1(φ+φ)1 + λφ2(φ+φ)2(φ+φ)2
+ λφ3(φ+φ)3(φ+φ)3 +λφ4(φ+φ)30(φ+φ)30, (2.52) V(φ0) = V(φ → φ0), V(η) =V(φ →η), V(η0) =V(φ →η0),(2.53) V(φ, χ) = λφχ1 (φ+φ)1(χ+χ) +λφχ2 (φ+χ)(χ+φ), (2.54) V(φ0, χ) = V(φ → φ0, χ), V(η, χ) = V(φ → η, χ), (2.55)
V(η0, χ) = V(φ → η0, χ), (2.56)
V(φ, η) = λφη1 (φ+φ)1(η+η)1 +λφη2 (φ+φ)2(η+η)2 + λφη3 (φ+φ)3(η+η)3 +λφη4 (φ+φ)30(η+η)30 + λφη5 (η+φ)1(φ+η)1 +λφη6 (η+φ)2(φ+η)2
+ λφη7 (η+φ)3(φ+η)3 +λφη8 (η+φ)30(φ+η)30, (2.57) V(φ0, η0) = V(φ → φ0, η →η0), (2.58)
V(φ, η0) = λφη1 0(φ+φ)1(η0+η0)1 + λφη2 0(φ+φ)2(η0+η0)2 + λφη3 0(φ+φ)3(η0+η0)3 + λφη4 0(φ+φ)30(η0+η0)30 + λφη5 0(η0+φ)10(φ+η0)10 +λφη6 0(η0+φ)2(φ+η0)2
+ λφη7 0(η0+φ)3(φ+η0)3 + λφη8 0(η0+φ)30(φ+η0)30, (2.59) V(φ0, η) = V(φ → φ0, η0 → η), (2.60)
V(φ, φ0) = V(φ →φ, η0 → φ0) +
h
λφφ9 0(φ+φ)2(φ+φ0)2 +λφφ100(φ+φ)3(φ+φ0)3 + λφφ110(φ+φ)30(φ+φ0)30 +λφφ120(φ0+φ0)2(φ0+φ)2
+ λφφ130(φ0+φ0)3(φ0+φ)3 + λφφ140(φ0+φ0)30(φ0+φ)30 +h.c.i
, (2.61) V(η, η0) = V(φ →η, φ0 → η0), (2.62)
Vχφφ0ηη0 = à1χφη +à01χφ0η0
+ λ11(φ+φ0)10(η+η0)10 +λ12(φ+φ0)2(η+η0)2 + λ13(φ+φ0)3(η+η0)3 + λ14(φ+φ0)30(η+η0)30 +λ21(φ+η0)10(η+φ0)10 +λ22(φ+η0)2(η+φ0)2
+ λ23(φ+η0)3(η+φ0)3 +λ24(φ+η0)30(η+φ0)30 + λ31(φ+φ0)10(η0+η)10 + λ32(φ+φ0)2(η0+η)2 +λ33(φ+φ0)3(η0+η)3 + λ34(φ+φ0)30(η0+η)30 + λ41(φ+η)1(η0+φ0)1 +λ42(φ+η)2(η0+φ0)2 + λ43(φ+η)3(η0+φ0)3 + λ44(φ+η)30(η0+φ0)30 +λ51(φ+η)1(φ0+η0)1 +λ52(φ+η)2(φ0+η0)2
+ λ53(φ+η)3(φ0+η0)3 +λ54(φ+η)30(φ0+η0)30 +λ61(φ+η0)10(φ0+η)10 + λ62(φ+η0)2(φ0+η)2 +λ63(φ+η0)3(φ0+η)3 + λ64(φ+η0)30(φ0+η)30
+ h.c. (2.63)
Thành phầnVsext, chỉ gồm các tương tác của các lục tuyến, là tổng của các số hạng sau:
V(σ) = Tr[V(χ →σ) +λ0σ(σ+σ)Tr(σ+σ)], (2.64)
V(s) = Tr{V(φ →s) +λ0s1(s+s)1Tr(s+s)1 +λ0s2(s+s)2Tr(s+s)2 + λ0s3(s+s)3Tr(s+s)3 +λ0s4(s+s)30Tr(s+s)30}, (2.65)
V(s, σ) = Tr{V(φ →s, χ →σ) +λ01sσ(s+s)1Tr(σ+σ) + λ02sσ(s+σ)Tr(σ+s) + [λ03sσ(s+σ)Tr(s+σ)
+ λ04sσ(σ+s)Tr(s+s)3 +h.c.]}. (2.66)
Thành phần Vtri−sext, gồm các số hạng tương tác giữa các tam tuyến và lục tuyến, là tổng của các số hạng sau:
V(σ, χ) = λσχ1 (χ+χ)Tr(σ+σ) +λσχ2 (χ+σ†)(σχ)
+ (à2χTσχ+h.c.), (2.67)
V(s, χ) = Tr[V(φ →s+, χ →χ)], (2.68) V(φ, σ) = Tr[V(φ →φ, χ → σ+)], (2.69)
V(φ, s) = Tr[V(φ →φ, η → s+)],
V(φ0, σ) = Tr[V(φ0 → φ0, χ →σ+)], (2.70) V(φ0, s) = Tr[V(φ0 → φ0, η →s†)], (2.71) V(η, σ) = Tr[V(η → η, χ →σ†)], (2.72) V(η, s) = Tr[V(φ →η, η →s+)], (2.73) V(η0, σ) = Tr[V(η0 → η0, χ→ σ+)], (2.74) V(η0, s) = Tr[V(φ0 → η0, η → s+)], (2.75) Vsσχφφ0ηη0 = χ+σ+(λ1φη+λ2φ0η0)1 + χ+s+(λ3φη +λ4φ0η0
+ λ5φη0+λ6φ0η)3 +T r(s+s)2(λ7φ+φ0 +λ8η+η0)2 + T r(s+s)3(λ9φ+φ0+λ10η+η0)3
+ T r(s+s)30(λ11φ+φ0 +λ12η+η0)30
+ T r(σ+s)(λ13φ+φ+ λ14φ0+φ0 +λ15φ+φ0 +λ16φ0+φ + λ17η+η +λ18η0+η0+ λ19η+η0 +λ20η0+η)3
+ φ+σ+s(λ21φ +λ22φ0) +φ0+σ+s(λ23φ+λ24φ0) + η+σ+s(λ25η +λ26η0) +η0+σ+s(λ27η +λ28η0) + λ29(φ+s+)2(sφ0)2 +λ30(φ+s+)3(sφ0)3
+ λ31(φ+s+)30(sφ0)30 +λ32(η+s+)2(sη0)2
+ λ33(η+s+)3(sη0)3 +λ34(η+s+)30(sη0)30 + h.c. (2.76)
Thế vi phạm V dừng lại ở các tương tác 4 được cho bởi:
V = (¯à1ηη+ ¯à01η0η0)1σ+ (¯à2ηη+ ¯à02η0η0 + ¯à002ηη0+ ¯à3χη)3s + η+σ+(¯λ1φχ+ ¯λ2φη+ ¯λ3φ0η0 + ¯λ4φ0η + ¯λ5φη0)3
+ η0+σ+(¯λ6φ0χ+ ¯λ7φη+ ¯λ8φ0η0 + ¯λ9φ0η + ¯λ10φη0)30 + ¯λ11φ+σ+(φφ0)3 + ¯λ12φ0+σ+(φφ0)30 + ¯λ13χ+s+φχ + (η+s+)1(¯λ14φη+ ¯λ15φ0η0)1
+ (η+s+)2(¯λ16φη+ ¯λ17φ0η0+ ¯λ18φ0η + ¯λ19φη0)2 + (η+s+)3(¯λ20φη+ ¯λ21φ0η0+ ¯λ22φ0η + ¯λ23φη0)3 + (η+s+)30(¯λ24φη+ ¯λ25φ0η0 + ¯λ26φ0η + ¯λ27φη0)30 + (η0+s+)10(¯λ28φ0η + ¯λ29φη0)10
+ (η0+s+)2(¯λ30φη+ ¯λ31φ0η0 + ¯λ32φ0η + ¯λ33φη0)2 + (η0+s+)3(¯λ34φη+ ¯λ35φ0η0 + ¯λ36φ0η + ¯λ37φη0)3 + (η0+s+)30(¯λ38φη + ¯λ39φ0η0 + ¯λ40φ0η + ¯λ41φη0)30
+ ¯λ42(φ0+s+)10(φφ0)10 + ¯λ43(φ0+s+)2(φφ0)2 + ¯λ44(φ0+s+)3(φφ0)3 + ¯λ45(φ0+s+)30(φφ0)30 + ¯λ46(φ+s+)2(φφ0)2 + ¯λ47(φ+s+)3(φφ0)3 + ¯λ48(φ+s+)30(φφ0)30 + [¯λ49T r(s+s) + ¯λ50T r(s+σ) + ¯λ51T r(σ+s) + ¯λ52η+χ+ ¯λ53η+η + ¯λ54η0+η0 + ¯λ55η+η0+ ¯λ56η0+η + ¯λ57φ+φ + ¯λ58φ0+φ0+ ¯λ59φ+φ0+ ¯λ60φ0+φ]3η+χ
+ [¯λ61T r(s+s) + ¯λ62η0+χ+ ¯λ63η+η + ¯λ64η0+η0 + ¯λ65η+η0 + ¯λ66η0+η + ¯λ67φ+φ+ ¯λ68φ0+φ0+ ¯λ69φ+φ0+ ¯λ70φ0+φ]30η0+χ + ¯λ71(η+φ)3(φ+χ) + ¯λ72(η+φ0)30(φ0+χ) + ¯λ73(η+φ)30(φ0+χ) + ¯λ74(η+φ0)3(φ+χ) + ¯λ75(η0+φ)3(φ+χ) + ¯λ76(η0+φ0)30(φ0+χ) + ¯λ77(η0+φ)30(φ0+χ) + ¯λ78(η0+φ0)3(φ+χ) + ¯λ79(η+s+)3sχ
+ ¯λ80(η0+s+)3sχ+ ¯λ81η+s+σχ+ ¯λ82η+σ+sχ+H.c., (2.77) trong đó, tất cả các số hạng trong thế V đều vi phạm L-tích nhưng bảo toàn S4. Chúng tôi không chỉ ra ở đây, nhưng phải tồn tại thêm các số hạng khác nữa trongV¯ chỉ vi phạm đối xứng S4 hoặc vi phạm cả S4 và L-tích. Sau đây,
hầu hết chúng đều được bỏ qua, chỉ giữ lại các số hạng quan tâm.
Có nhiều phần vô hướng tương ứng với các cách chọn các VEV: (1,0,0) cho s và (1,1,1) cho φ, φ0, η, η0 như đã được đề cập ở trên. Tuy nhiên, nếu tồn tại các phần liên kết mạnh qua thế Vtri−sext 6= 0, thì sự định hướng đó không cho phép từ điều kiện cực tiểu thế. Để khắc phục điều này, chúng ta tính đến không gian thêm chiều hoặc siêu đối xứng, hoặc sử dụng thêm các
đối xứng gián đoạn. Trong luận án này chúng tôi cung cấp một sự giải thích khác, tiếp theo công việc trong [46] của E. Ma và các cộng sự trong các năm 2001, 2004, và 2010. Vì vậy, chúng tôi giả sử rằng σ và s là rất nặng (có thể xem thêm ở [66]) với các khối lượng lần lượt lààσ vààs nên chúng chỉ có thể tự tương tác như cho trong Vsext. Chúng không xuất hiện như là các hạt vật lý ở thang năng lượng cỡ TeV hoặc thấp hơn. Chúng chỉ có ảnh hưởng ở năng lượng thấp như là một kết quả của thế hiệu dụng, mà chỉ gồm các trường φ, φ0, η, η0 and χ, tính đến tương tác bậc 4 có cùng dạng như Vtri.
Với thế Vtri, các flavons φ, φ0, η, η0 với các VEV của chúng được định hướng cùng hướng (1,1,1) là một lời giải tự động từ các điều kiện cực tiểu thế củaVtri. Để thấy điều này một cách rõ ràng, trong hệ các phương trình cực tiểu thế chúng ta đặtv1 = v2 = v3 = v, v01 = v20 = v30 = v0,u1 = u2 = u3 = u, vàu01 = u02 = u03 = u0. Khi đó hệ phương trình cực tiểu thế có dạng:
(à2φ + λφχ1 v2χ)v + (3λφη1 + 4λφη3 )u2v + (3λφη1 0 + 4λφη3 0)u02v + (6λφ1 + 8λφ3)v3 + (3λφφ1 0 + 4λφφ3 0 + 3λφφ5 0 + 4λφφ8 0)vv02
+ (3λ11 + 4λ14 + 3λ31 + 4λ34)uu0v0 = 0, (2.78) (à2φ0 + λφ10χvχ2)v0 + (3λφ10η + 4λφ30η)u2v0+ (3λφ10η0 + 4λφ30η0)u02v0
+ (6λφ10 + 8λφ30)v03 + (3λφφ1 0 + 4λφφ3 0 + 3λφφ5 0 + 4λφφ8 0)v2v0
+ (3λ11 + 4λ14 + 3λ31 + 4λ34)uu0v = 0, (2.79) (à2η + λχη1 v2χ)u+ (3λφη1 + 4λφη3 )v2u+ (3λφ10η + 4λφ30η)v02u
+ (6λη1 + 8λη3)u3 + (3ληη1 0 + 4ληη3 0 + 3ληη5 0 + 4ληη8 0)u02u
+ (3λ11 + 4λ14)u0v0v = 0, (2.80)
(à2η0 + λη10χvχ2)u0+ (3λφη1 0 + 4λφη3 0)u0v2 + (3λφ10η0 + 4λφ30η0)u0v02 + (6λη10 + 8λη30)u03 + (3ληη1 0 + 4ληη3 0 + 3ληη5 0 + 4ληη8 0)u2u0
+ (3λ31 + 4λ34)uvv0 = 0. (2.81) Hệ phương trình (2.78) - (2.81) mặc dù khá phức tạp nhưng luôn cho lời giải (u, v, u0, v0) như mong đợi. Cần chú ý thêm rằng sự định hướng (1,1,1) như
đã cho chỉ có một lời giải. Những sự định hướng khác như (1,0,0) cũng là lời giải của điều kiện cực tiểu thế. Vì vậy, chúng tôi đã áp đặt trường hợp thứ nhất để thu được các kết quả mong muốn.
Bây giờ chúng ta xét thế Vsσ liên quan đến các lục tuyến. Để thu được lời giải mong muốn hσi 6= 0, hs1i 6= 0, và hs2i = hs3i = 0, L-tích cũng như
đối xứngS4 phải được phá vỡ như đã được đề cập đến ở (2.77). Giả sử sự lựa chọn sau đây của số hạng mềm tương tác 3 và 4 trường vô như đã cho trong biểu thức thế tổng quát V làm việc trong Vsσ:
Vsσ = Vsext+ [¯à1(ηη)1σ + ¯à2(ηη)1s1
+ ¯λ1η+σ+(φη)3 + ¯λ2η+s1 + (φη)3 +h.c.] (2.82)
Để hiểu điều này, trước hết cần chú ý rằng để cho σ hoặc s1,2,3 có VEV, L phải bị phá vỡi và điều đó đạt được chỉ cần qua các số hạng của V. Tuy nhiên, như một trong các công việc của E. Ma đã được trích dẫn ở trên, chúng tôi có thể giới thiệu một đối xứng Z2 sao cho s2 và s3 chỉ liên kết với các số hạng trong các thế hoặc các tương tác Yukawa luôn bảo toàn đối xứng ψ2,3 → −ψ2,3, trong đó, ψ là một tam tuyến bất kỳ của S4 xuất hiện như là s, φ, ψL, .... Chúng luôn xuất hiện cùng nhau và bị cấm đồng thời từ việc nhận một giá trị VEV.
Từ Vsσ, lời giải duy nhất đối với các điều kiện cực tiểu thế là hs2i = hs3i = 0, các giá trị khác không nhưng rất bé của λσ,s, vσ,s như đã thể hiện trong hs1i và hσi của các phương trình (2.17), (2.18) là ∂Vminsσ/∂hs1i∗ = 0 và ∂Vminsσ/∂hσi∗ = 0 (với Vminsσ là cực tiểu của Vsσ). Thứ nhất, các phương trình ∂Vminsσ/∂Λ∗σ = 0 và ∂Vminsσ/∂Λ∗s = 0 nghĩa là Λσ và Λs vào bậc khối lượng của các phản lục tuyến àσ và às [45]. Chúng ta hiển thị một bậc khối
lượng đặc trưng M sao cho Λσ,Λs, àσ, às ∼ M. Các phương trình còn lại
∂Vminsσ/∂λ∗σ,s = 0 và ∂Vminsσ/∂vσ,s∗ = 0 cung cấp các VEV bé được đề xuất bởi bậc điện yếu mô hình chuẩnu ∼ v:
λσ ∼ à¯1 v2
M2, λs ∼à¯2 v2
M2, (2.83)
vσ ∼ λ¯1v v2
M2, vs ∼ λ¯2v v2
M2. (2.84)
Các tham số à¯1,2 và λ¯1v, λ¯2v (có thứ nguyên của khối lượng) có thể tự nhiên nhỏ bé so với v, bởi vì sự vắng mặt của nó làm tăng tính đối xứng của Vσs. Chúng tôi nhận xét rằng, các VEV của cơ chế seesaw loại II λσ, λs có hiệu lực bởi vì từ (2.83) sự phá vỡ đối xứng tự phát của đối xứng điện yếu đã
đạt được bởi v, và λσ, λs có thể nhỏ, miễn là M lớn. Mặt khác, vσ và vs là các VEV của cơ chế seesaw loại I mà cũng bé với cùng lý do. Đây cũng là những kết quả quan trọng của chúng tôi.
Theo mô hình này, như đã đề cập các hạt mới là NR nhận các khối lượng vào bậcΛσ,s, U vàD với các khối lượng vào cỡ w, vàZ0, X, Y có khối lượng nhờ sự kết hợp của w và Λσ,s, trong đo w và Λσ,s là các bậc của phá vỡ đối xứng chuẩn 3-3-1 về MHC [54, 55]. Nếu các phản lục tuyến σ, s là nặng nhất, nghĩa là Λ2σ,s w2, các boson chuẩn mới và NR sẽ có các khối lượng lớn trong bậc này, tuy nhiên U và D có thể thu được các khối lượng bé hơn nhiều (chẳng hạn như, vào cỡ vài trăm GeV). Trong trường hợp w ∼ Λσ,s, khối lượng củaU và D sẽ cùng bậc với khối lượng của các boson chuẩn mới và NR. Bằng cách này, vô hướng χ cũng có thể được hợp nhất như các phản lục tuyến. Điều này giải thích vì sao các tham số phá vỡ chẵn lẻ hη30i, hη300i, hχ01i là bé, tương tự vớivσ,s. Các trộn lẫn giữa các quark ban đầu và các quark ngoại lai, và dòng trung hòa thay đổi số vị ở gần đúng cây có thể bị cấm bởi cơ chế này.
Có nhiều lưỡng tuyến và tam tuyến vô hướng của nhóm SU(2)L trong mô
hình có thể dẫn tới những sự bổ sung cho dữ liệu điện yếu (xem [55] để có
được sự phân tích chi tiết về vấn đề này). Vấn đề quan trọng nhất thu được từ các bổ đính ở gần đúng cây cho tham số ρ. Trong giới hạn lý thuyết hiệu
dụng, khối lượng của W boson và ρ được xác định bởi m2W = g2
2 vw2, ρ = m2W
c2Wm2Z = 1− 2(λ2σ +λ2s)
vw2 , (2.85)
trong đó,vw2 ' 3(v2+v02+u2+u02) = (174 GeV)2 là một gần đúng tự nhiên theo vσ2, v2s,hχ01i2 v2, v02, u2, u02, như đã cho ở trên. Bởi vì λσ,s vào bậc eV liên quan đến khối lượng neutrino, tham số ρ rất gần với 1, điều này phù hợp tốt với giữ liệu thực nghiệm [40].
Đối xứng vị S4 áp dụng trong mô hình 3-3-1 với các lepton trung hòa thu
được kết quả khối lượng và trộn lẫn neutrino khớp với thực nghiệm trong gần
đúng thấp nhất. Các kết quả thí nghiệm gần đây nhất cho các giá trị θ13 6= 0, mặc dù bé, nên chúng ta cần sử dụng gần đúng cao hơn. Với nhóm S4, công việc này sẽ dành cho sự phát triển tiếp theo của luận án. Trong chương này, chúng tôi chỉ dừng lại ở gần đúng thấp nhất khi đưa nhóm S4 vào mô hình 3-3-1 với fermion trung hòa mà vẫn thu được một số kết quả quan trọng như
đã trình bày ở trên. Chúng tôi đã sử dụng lý thuyết nhiễu loạn tính toán ở gần
đúng bậc một cho nhóm S3 thu được góc trộn θ13 6= 0 như được trình bày trong chương 3 của luận án hoặc trong tài liệu trích dẫn [68].