Khối lượng neutrino sinh ra từ các liên kết của ψ¯LcψL với các vô hướng Higgs, trong đó, ψ¯LcψL biến đổi như là 3∗ ⊕ 6 dưới nhóm SU(3)L. Cần chú ý rằng, số hạng thứ nhất ψ1,2,3 hoàn toàn phản đối xứng theo các chỉ số vị, trong khi đó, chúng đối xứng theo số hạng thứ hai. Với các tam tuyến Higgs
đã biết, chỉ có các tương tác sau đây là được thỏa mãn ( ¯ψc2Lψ3L + ¯ψc3Lψ2L)φ, ( ¯ψ2Lc ψ3L −ψ¯c3Lψ2L)φ0 nhưng được bỏ qua do chúng vi phạm đối xứng L. Vì
vậy, chúng tôi đề xuất một phản lục tuyến mới của nhómSU(3)L liên kết với ψ¯LcψL để thu được khối lượng cho neutrino. Phản lưỡng tuyến SU(3)L biến
đổi như sau:
si =
s011 s+12 s013 s+12 s++22 s+23 s013 s+23 s033
i
∼ [6∗,2/3,−4/3,2], (3.22)
trong đó, các số trong các thành phần vô hướng là các chỉ số củaSU(3)L, các chỉ số i = 1,2 là của nhóm S3. Chú ý rằng, i và α đã được đề cập phụ thuộc cùng một loại chỉ số. VEV của s được chọn dưới dạng:
hsi = (hs1i,hs2i), hsii =
λi 0 vi
0 0 0 vi 0 Λi
. (3.23)
Theo các điều kiện cực tiểu thế, chúng ta có các định hướng VEV khác nhau. Định hướng thứ nhất là hs1i = hs2i thì S3 bị phá vỡ thành Z2 bao gồm
yếu tố đơn vị và một sự hoán vị của hai trong ba vật (vật thứ 3 giữ nguyên) của S3. Hướng thứ hai đó là hs1i 6= 0 = hs2i hoặc hs1i = 0 6= hs2i thì S3 phá
vỡ thành Z3 giống như trường hợp của phần lepton mang điện. Để thu được phổ khối lượng thực của neutrino, trong luận án này chúng tôi cho rằng cả hai sự phá vỡ S3 → Z2 và S3 → Z3 phải được xảy ra. Tuy nhiên, các VEV của s chỉ thực hiện một trong hai trường hợp. Vì vậy, chúng tôi giả sử rằng các VEV của s được định hướng theo hướng thứ nhất của sự phá vỡ S3 →Z2, và
điều này xảy ra trong trường hợp sau:
λ1 = λ2 ≡ λs, v1 = v2 ≡ vs, Λ1 = Λ2 ≡ Λs. (3.24)
Để thu được hướng thứ hai của sự phá vỡ S3 → Z3, chúng tôi giới thiệu thêm một vô hướng Higgs mới hoặc thực hiện biểu diễn10 hoặc thực hiện biểu diễn 2 (với sự định hướng thứ hai của các VEV như đã được đề cập ở trên).
Tuy nhiên, vô hướng Higgs này cũng tương ứng với phá vỡ nhóm con Z2 của hướng thứ nhất. Vì vậy, chúng ta có thể hiểu sự không định hướng của các VEV như sau. Nhóm S3 bị phá vỡ theo hai bước, bước thứ nhất S3 → Z2 và bước thứ hai là Z2 → {đơn vị} (thay vì S3 → Z3). Bước thứ hai có thể đạt
được theo các trường hợp sau đây:
• Trường hợp 1. Một tam tuyến ρ của nhóm SU(3)L (nếu đối xứng L xảy ra) mà không thể thực hiện biểu diễn 2 của S3 vì ( ¯ψLcψL)2 = ( ¯ψ3Lc ψ3L,ψ¯2Lc ψ2L) = 0 phụ thuộc vào tính chất phản đối xứng ψ2 và ψ3, vì vậy ρ thực hiện biểu diễn 10 của nhóm S3,
ρ = ρ+1 ρ02 ρ+3T
∼ [3,2/3,−4/3,10], (3.25) với các VEV được cho bởi
hρi = (0 vρ 0)T . (3.26)
• Trường hợp 2. Một phản lục tuyến khác của SU(3)L làs0 mà không thể thực hiện biểu diễn10của nhómS3 vì( ¯ψcLψL)10 = ¯ψ2Lc ψ3L−ψ¯3Lc ψ2L = 0
theo tính chất đối xứng trong ψ2 và ψ3, vì vậy s0 chỉ có thể thực hiện biểu diễn 2 của S3 như sau:
s0i =
s0011 s0+12 s0013 s0+12 s0++22 s0+23 s0013 s0+23 s0033
i
∼[6∗,2/3,−4/3,2], (3.27)
với các VEV được chọn:
hs0i = (hs01i,hs02i), hs01i =
λ0s 0 v0s 0 0 0 vs0 0 Λ0s
, hs02i = 0. (3.28)
Trong tính toán, kết hợp cả hai trường hợp, chúng tôi có các tương tác Yukawa sinh khối lượng cho neutrino như sau:
−Lν = 1
2x( ¯ψ2Lc ψ2Ls1 + ¯ψ3Lc ψ3Ls2) + 1
2yψ¯1Lc (ψ2Ls2 +ψ3Ls1) + 1
2x0( ¯ψ2Lc ψ2Ls01 + ¯ψc3Lψ3Ls02) + 1
2y0ψ¯1Lc (ψ2Ls02 +ψ3Ls01) + 1
2z( ¯ψ2Lc ψ3L−ψ¯c3Lψ2L)ρ+h.c, (3.29) trong đó, các hệ số liên kết y, y0 và z là các tương tác thay đổi số lepton vị.
Thay các VEV của s, ρ và s0 vào (3.29), ta thu được số hạng Lagrangian sinh khối lượng cho neutrino có dạng như sau:
−Lmassν = 1
2x(λsν¯2Lc ν2L +vsν¯2Lc N2Rc +vsN¯2Rν2L+ ΛsN¯2RN2Rc ) + 1
2x(λsν¯3Lc ν3L +vsν¯3Lc N3Rc +vsN¯3Rν3L+ ΛsN¯3RN3Rc ) + 1
2y(λsν¯1Lc ν2L +vsν¯1Lc N2Rc +vsN¯1Rν2L + ΛsN¯1RN2Rc ) + 1
2y(λsν¯1Lc ν3L +vsν¯1Lc N3Rc +vsN¯1Rν3L + ΛsN¯1RN3Rc ) + 1
2x0(λ0sν¯2Lc ν2L +vs0ν¯2Lc N2Rc +vs0N¯2Rν2L+ Λ0sN¯2RN2Rc ) + 1
2y0(λ0sν¯1Lc ν3L +vs0ν¯1Lc N3Rc +vs0N¯1Rν3L+ Λ0sN¯1RN3Rc ) + 1
2zvρ(−¯ν2Lc N3Rc + ¯N2Rν3L + ¯ν3Lc N2Rc −N¯3Rν2L) +h.c.(3.30)
Chúng ta có thể viết lại LagrangianLmassν trong (3.30) dưới dạng ma trận:
−Lmassν = 1
2χ¯cLMνχL +h.c., (3.31) trong đó,
χL ≡ νL NRc
!
, Mν ≡ ML MDT MD MR
!
, (3.32)
νL = (ν1L, ν2L, ν3L)T, NR = (N1R, N2R, N3R)T,
ML,R,D =
0 b1L,R,D b2L,R,D b1L,R,D c1L,R,D dL,R,D
b2L,R,D −dL,R,D c2L,R,D
, (3.33)
b1L = λsy
2 , b1D = vsy
2 , b1R = Λsy 2 , b2L = (λsy+ λ0sy0)
2 , b2D = (vsy +vs0y0)
2 , b2R = (Λsy + Λ0sy0)
2 ,
c1L = (λsx+λ0sx0), c1D = (vsx+v0sx0), c1R = (Λsx+ Λ0sx0), c2L = λsx, c2D = vsx, c2R = Λsx, dL = dR = 0, dD = zvρ ≡ d.(3.34) Chúng ta có các nhận xét sau:
(i) Các VEV ứng với đối xứng lepton chẵn là: λs, λ0s, Λs, Λ0s. (ii) Các VEV ứng với đối xứng lepton lẻ là: vs, v0s và vρ.
Nếu đối xứng lepton được bảo toàn, chúng ta có MD = 0 vì vs = vs0 = vρ = 0. Không có sự trộn lẫn giữa các neutrino phân cực trái và các fermion trung hòa. Các neutrino được quan sát là νL với khối lượng được cho bởi ML chứa các VEV λs và λ0s, là các đại lượng bé vào cỡ eV, có bậc tương tự với trường hợp của MHC với các tam tuyến vô hướng [76] (được gọi là cơ chế seesaw loại II [77]). Tuy nhiên, như dưới đây chúng ta sẽ thấy, trường hợp này không thể khớp với số liệu thực nghiệm trừ khi sự đóng góp củas0 như là một nhiễu loạn bé.
Trong trường hợp tổng quát, kết hợp hai trường hợp và sự phá vỡ đối xứng lepton, ba neutrino thu được khối lượng theo sự kết hợp của cơ chế seesaw
loại I và loại II từ (3.31) như sau:
Meff = ML −MDTMR−1MD =
A B1 B2
B1 C1 D B2 D C2
, (3.35)
A = −(b1Rb2D −b1Db2R)2/ b22Rc1R +b21Rc2R
, B1 =
b1Lc1Rb22R +b1Lc2Rb21R +b1Rb2Rb2Dc1D −b1Dc1Db22R −b1Db2Dc1Rb2R
−b1Rc2Rb21D +db1R(b1Rb2D −b2Rb1D)
/ b22Rc1R +b21Rc2R , B2 =
b2Lc1Rb22R +b2Lc2Rb21R +b1Rb2Rb1Dc2D −b2Dc2Db21R −b1Db2Dc2Rb1R
−b2Rc1Rb22D +db2R(b1Rb2D −b2Rb1D)
/ b22Rc1R +b21Rc2R
, C1 =
b21Dc1Rc2R +b22Rc1Lc1R +b21Rc1Lc2R −2b1Dc1Db1Rc2R −c21Db22R
−2db2R(b1Rc1D −b1Dc1R)−d2b21R
/ b22Rc1R +b21Rc2R , C2 =
b22Dc1Rc2R +b21Rc2Lc2R +b22Rc1Rc2L−2b2Dc2Db2Rc1R −c22Db21R
−2db1R(b2Dc2R −b2Rc2D)−d2b22R
/ b22Rc1R +b21Rc2R ,
D = [(b1Dc1R −b1Rc1D)(b2Dc2R −b2Rc2D) + d(b2Db2Rc1R −b1Db1Rc2R
+b21Rc2D −b22Rc1D)−d2b1Rb2R)
/ b22Rc1R +b21Rc2R
. (3.36)
Sau đây là một vài nhận xét:
• Nếu nhóm con Z2 không bị phá vỡ, chúng ta có A = D = 0, B1 = B2 và C1 = C2.
• Nếu Z2 bị phá vỡ chỉ bởi trường hợp thứ nhất, chúng ta có A = 0, B1 = B2, C1 = C2, nhngD 6= 0.
• Nếu Z2 bị phá vỡ bởi cả hai trường hợp, nhưng trường hợp thứ 2 được xem như một nhiễu loạn bé, chúng ta có A ≈0, B1 ≈B2, C1 ≈ C2, và D 6= 0.
Hơn nữa, có thể giới thiệu nhiều hơn một phản lục tuyến thực hiện biểu diễn 1mà không phá vỡ nhóm con Z2 và hàm ý rằng A 6= 0 cho đóng góp vào các kết quả ở trên, nhưng điều này sẽ không thay đổi các kết luận của chúng ta sau này và sẽ được bỏ qua mà không mất tính tổng quát.