a. Mặt bên tạo với đáy một góc 45o
b. Góc giữa mp(SAB) và mp(SCD) là 30o
18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC 120o có SA=SC, SB=SD.
Mp(SAB) tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích hình chóp.
19. Cho hình chóp S.ACBD có đáy là hình chữ nhật AB=2AC=2a, SA=SB=SC=SD.
Mp(SAB) vuông góc mp(SAC). Tính thể tích hình chóp.
20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi có BAC 30o, SAB là tam giác đều cạnh a.
Tính thể tích hình chóp trong các trường hợp sau : a. SD tạo với đáy một góc 60o
b. Mp(SAD) tạo với đáy một góc 60o
21. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, ABC 30o cạnh bên AA’=a. Mp(ABC’) tạo với đáy một góc 60o. Tính diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ.
22. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại A, AA’=AB=AC=a.
Mp(A’BC) tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích lăng trụ.
23. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tính thể tích : a. Hình chóp A’.ABCD
b. Khối đa diện A’B’C’.ABCD
24. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều, A’ cách đều 3 đỉnh tam giác ABC. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp :
a. Cạnh bên tạo với đáy một góc 60o b. Mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 60o
25. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=2BC. Hình chiếu của A’ lên mp(ABC) là trung điểm cạnh AC và AA’=2a. Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau :
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 185
a. Mp(A’BC) tạo với đáy một góc 45o b. Mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 45o
26. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, các cạnh bên hợp với đáy một góc 60o. Hình chiếu của đỉnh A’ lên mp(ABCD) nằm trên cạnh AC, AA’=2a.
Tính thể tích hình hộp trong các trường hợp sau :
a. Cạnh AC=2a và mp(ABB’A’) tạo với đáy một góc 60o b. Cạnh AC=a và AB=2AC
27. Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, mp(A’BC) tạo với mp(ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp A’.B’C’CB.
28. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, A’A=A’B a, A’D a 2 , mp(A’BD) vuông góc đáy. Tính thể tích hình hộp.
Ứng dụng thể tích vào tìm khoảng cách:
Ta chỉ quan tâm đến khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Dùng công thứ:c , ,
1 3
. ,
3
chop chop dinh day day dinh day
day
V d S d V
S
Trong bài toán ta đã tính đƣợc thể tích khối chóp nên để tính khoảng cách từ điểm đên mặt phẳng ta chỉ cần tính được diện tích của mặt phẳng đáy tương ứng.
Ví dụ : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, SA vuông góc đáy và SA=a. Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
Giải:
(
A B
C S
M
Ta có SA vuông góc đáy nên A là hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC)
Kẻ AM vuông góc BC suy ra M là trung điểm BC Và góc giữa mp(SBC) và mp(ABC) là góc giữa SM và AM SMA 45o
Suy ra
tan 45o AM SA a
Tam giác ABC vuông cân tại A nên :
2 2 2 2
2 2
BC a
BC AM a AB a
Suy ra 1 2
2 .
SABC AM BC a Vậy thể tích:
3 2 .
1 1
. . .
3 3 3
S ABC ABC
V SA S a a a (dvtt) Khoảng cách:
Ta có:
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 186
Vậy khoảng cách từ A đến mp(SBC)
3 .
, 2
3 3. 3 2
2 2
S ABC A SBC
SBC
a
V a
d S a
.
. , ,
3
1 . .
3
S ABC
S ABC A SBC SBC A SBC
SBC
V d S d V
S
Mà: 1 1 2
. . . 2.2 2
2 2
SSBC SM BC a a a Do: SM2 SA2 AM2 2 a2 SM a 2
Bài tập:
Bài toán liên quan khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng:
1. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA=SB=SC=a. Tính thể tích hình chóp và khoảng cách từ S đến mp(ABC)
2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD 3 2
a hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD).
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, ABC 30o, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
4. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’
lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh AB, góc giữa A’C và mặt đáy bằng 60o. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mp(ACC’A’).
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
6. Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD’A’) và (ABCD) bằng 60o. Tính thể tích khối lăng trụ đã chó và khoảng cách từ điểm B’ đến mặt phẳng (A’BD) theo a.
7. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA’ a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B’C.
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy, 120o
BAD , M là trung điểm cạnh BC và SMA 45o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC).
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 187
9. Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’AD vuông cân, A’C a . Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a.
10. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a ; mặt phẳng (SBC) vuông góc mặt phẳng (ABC). Biết SB 2 a 3 và SBC 30o. Tính thể tích khối chớp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C.
Tính theo a thể tích khối tứ diện I.ABC và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC).
12. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông tại A, AC=a, ACB 60o. Đường thẳng B’C tạo với mặt phẳng (ACC’A’) một góc 30o. Tính thể tích lăng trụ theo a và khoảng cách giữa điểm C’ và mặt phẳng (AB’C).
Các bài toán liên quan đến tỉ số thể tích :
13. Cho tình chóp S.ABC có AB, AC, SA đôi một vuông góc. M, N lần lượt là trung điểm SB và SC. Tính:
a. Thể tích hình chóp S.AMN biết AB=AC=SA=a
b. Mp(AMN) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
14. Cho hình chóp S.ABC có điểm M là trung điểm SA. Mặt phẳng qua M và song song mp(ABC) cắt SB tại N, SC tại P. Tính:
a. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.ABC b. Tỉ số thể tích giữa S.MNP và S.AMN
15. Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, AC đôi một vuông góc. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SC tại C’, cắt SB tại B’ chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa 2 phần đó.
16. Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) qua SG và song song với AB chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
17. Cho tứ diện đều ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD, M là điểm trên cạnh SA sao cho SN=3NA. Mp(NGB) chia hình chóp thành hai phần, tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
18. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, có SA=SB=SC và đôi một vuông góc.
a. Mặt phẳng qua trung điểm M của BC và vuông góc AC chia hình chóp thành hai phần. Tính thể tích hai phần đó.
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 188
b. Điểm N trên cạnh BD và BD=3BN, mặt phẳng qua N và vuông góc CD chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
19. Cho hình chóp S.ABC có điểm M trên SA sao cho AM=2SM, N trên SB sao cho BN=2SN. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chí khối chóp thành 2 phần.
Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
20. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành, M là trung điểm SB. Mặt phẳng qua AM là song song với BC chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.
21. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, M là điểm trên cạnh SB. Mặt phẳng qua AM và song song BD chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó trong các TH sau:
a. SM=2MB
b. M là trung điểm SB
22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có AD//BC, mặt phẳng qua AD song song BC cắt SB tại M, cắt SC tại N chia hình chóp thành hai phần bằng nhau . Tính tỉ số SM
SB 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, mặt phẳng (P) qua AB cắt SC, SD tại
M và N chia hình chóp thành hai phần bằng nhau. Tính tỉ số SM SC
24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. B’, D’ lần lượt là trung điểm của SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của S.AB’C’D’ và S.ABCD 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SA=a . Mặt
phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB tại B’, SC tại C’, SD tại D’. Tính tỉ số thể tích giữa hai hình chóp S.AB’C’D’ và S.ABCD.
26. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. M, N, P lần lượt là trung điểm AB, AD, SC . Chứng minh mp(MNP) chia hình chóp thành hai phần bằng nhau.
27. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều a, SA vuông góc đáy và SA=2a. M là trung điểm SB. Mặt phẳng qua AM song song BC cắt SC tại N. Tính thể tích hình chóp S.AMN và khoảng cách từ A đến mp(SBC)
28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy và SB tạo với đáy một góc 45o. Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc SC cắt SB tại B’, SC tại C’, SD tại D’. Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’và:
a. Khoảng cách từ S đến mp(AB’C’D’) b. Khoảng cách từ B’ đến mp(SAC)
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 189
29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật SA vuông góc đáy SA=AB=a, AC=2a.
Điểm M là trung điểm SA và N trên SB thõa mãn SN=2NB, mặt phẳng (P) qua MN và song song AD cắt SC tại P, SD tại Q.
a. Tính tỉ số thể tích của hai phần hình chóp được chia bởi mp(P). Từ đó suy ra thể tích S.NMPQ
b. Tính khoảng cách từ C đến mp(MNPQ)
30. Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Điểm C’ là trung điểm SC, mặt phẳng qua AM và song song BD cắt SB tại B’, SD tại D’. Tính thể tích khối đa diện B’C’D’.ABCD và khoảng cách từ giao điểm O của AC và BD đến mp(AB’C’D’) Các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
31. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA=2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
32. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, AB=BC=2a ; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm AB ; mặt phẳng qua SM và song song với BC cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và AD ; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH a 3 . Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.
34. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB a , AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC và tính cosin góc giữa hai đường thẳng AA’ và B’C’.
35. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU
THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 190