BÀI TOÁN TỔNG HỢP

VD 1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc ABC 60o. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD, biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Đáp số: 3 3,  ,   3

6 4

a a

V  d A SBC  

VD 2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc ABD 30 0. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng ABCD thỏa IC 3IA, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt đáy (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ trọng tâm G của mp(SAB) đến mp(SCD).

Đáp số: 3 ,  ,   2 39

16 39

a a

V  d G SCD  

VD 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABD. Cạnh SD tạo với đáy (ABCD) một góc bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến (SBC).

Đáp số: . 3    

15 3 5

, ,

9 57

S ABCD

a a

V  d A SBC  

VD 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông tại S, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho HA=3HD. Gọi M là trung điểm của AB. Biết rằng SA=2 3a và đường thẳng SC tạo với đáy một góc 30o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC).

Đáp số : 8 3 6,  ,   66

3 11

a a

V d M SBC  

VD 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi M,N và P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM, biết SHABCD ,SH a 3  . Tính thể tích khối chóp S.HDC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP).

Đáp số: 3 3,  ,    ,   3

15 4

a a

V  d C SBP d H SBP  

VD 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I, AB=2a, BD= 3AC , mặt bên SAB là tam giác cân dỉnh A, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của AI. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD.

Đáp số: 3 5,  ,  2 35

7 V a d CD SB  a 

VD 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 4a, góc ABC 60 0, H là hình chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD) là trung điểm của OA, góc giữa mp(SCD) và đáy (ABCD) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin của góc tạo bởi OA và (SCD).

Đáp số: V 12a3 3, cosSO SCD,( ) 47

VD 8. Cho hình lăng trụ ABCD.A B C D/ / / / có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên AA/ a , hình chiếu vuông góc của A/ trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm I của AB. Gọi K là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối chóp A .IKD/ và khoảng cách từ I đến A KD ./ 

Đáp số: ' 3    

3 3

, , '

16 4 2

A IKD

a a

V  d I A DK  

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 191

VD 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 2, tam giác SAC có SA a, SC a 3 và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và tính cosin góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABC).

Đáp số: 3 3, cos ,  15

3 5

V a SD SBC  

VD 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a.

Đáp số: 5 3 3,  ;  2 3

24 19

a a

V  d DM SC  

VD 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, tam giác SBC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD , đường thẳng SD hợp với mặt phẳng (SBC) một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa hai (SBD) và (ABCD) . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SG và CD .

Đáp số: . 3  

2 2 6

, ,

9 9

S ABCD

a a

V  d SG CD  

VD 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với ABa, AD2a, BAD600, SC vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , SA hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD .

Đáp số: 3 21,  ,   77

3 11

a a

V  d D SAE  

VD 13. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB2BC2a, SA vuông góc với (ABCD), góc giữa (ABCD) và SC bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM với AC, M trung điểm của BC.

Đáp số : 2 , 3  ;  3 7

14 V a d SM AC  a 

VD 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O , biết AB a,AD 2a , M là điểm trên cạnh AB sao cho MA = 2MB , tam giác SMO cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD . Biết mặt bên (SBC) hợp với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 600 . Tính thể tích khối chóp S.AMOD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và CD theo a .

Đáp số: . 3  

25 3 10 37

, ,

216 37

S AMOD

a a

V  d CD SM  

VD 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , SA vuông góc với đáy ABCD , biết

AB a,AD a 3  , góc giữa mặt phẳng (SAC) và (SBC) bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC .

Đáp số: . 3  

6 10

, ,

6 5

S ABCD

a a

V  d AB SC  

VD 16. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a. Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B') theo a.

Đáp số: 60 , 2 15,  ,  ' '  2.  ,  ' '  15

5

o a

S a d A mp BCC B d O mp BCC B

     

VD 17. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có M là trung điểm cạnh AB, G là trọng tâm tam giác ABC, BC

= 2a, góc ACB 90 , ABC 60 0  0.Góc giữa cạnh bên CC' và mặt đáy (ABC) là 450 , hình chiếu

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 192

vuông góc của C' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của CM. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và cosin của góc giữa hai đường thẳng BC và C'G.

Đáp số: . ' ' ' 2 3 3, cos ' 5

ABC A B C 4 13

V  a IGC  

VD 18. Cho lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có đáy là tam giác vuông tại C, AB = 2a, cạnh bên AA' a 3 . Đỉnh B' có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Góc giữa cạnh bên và đáy bằng 600 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABB'A') .

Đáp số: 3 3 3, cos 3

4 13

V  a AMC 

VD 19. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ cóAB a,BC 2a,  ABC 60 0, hình chiếu vuông góc của A’

trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt phẳng (A’BC).

Đáp số: '. 3  

2 51 , ,( ' )

3 51

A ABC

a a

V  d G A BC  

VD 20. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông tại AAB a, BC 2a  . Hình chiếu vuông goác của A' trên mp(ABC) trùng với trung điểm của AC.Góc giữa 2 mp (BCC'B') và (ABC) bẳng 600.Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa 2 đường thẳng AA' và BC.

Đáp số: . ' ' ' 3  

3 3

, , '

4 2

ABC A B C

a a

V  d BC AA  

VD 21. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có tam giácABC vuông tạiC.Mlà trung điểm của A'C'.

Biết AC a,BC a 3 ; mặt phẳng (ABC') hợp với mặt phẳng (ABC) góc 600. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách AM và BC' theo a.

Đáp số: . ' ' ' 3    

3 3 3

, , '

4 43

ABC A B C

a a

V  d C BC N  

VD 22. Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a (a > 0) .Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AB.Góc của đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC) có số đo bằng 450 .Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’, A’C.

Đáp số: . ' ' ' 3  

2 3

, ;

ABC A B C 3

V a d BB A C   a 

VD 23. Cho hình lăng trụ ABC.A B C/ / / có đáy ABC là tam giác vuông tại A và góc ABC30o . Biết M là trung điểm của AB, tam giác MA C/ đều có cạnh a và nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy hình lăng trụ. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A B C/ / / và khoảng cách giữa hai đường thẳng AC,BB ./

Đáp số: 3 3,  ;  6

7 2

a a

V  d AC BB  

VD 24. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' , BB' = a góc giữa BB' và mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Tam giác ABC vuông tại C , BAC 60 0. Hình chiếu vuông góc của B' trên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm của tam giác ABC . Tính thể tích tứ diện A'ABC và khoảng cách giữa AC và BB' theo a.

Đáp số: ' 3  

9 3 51

, , '

208 34

A ABC

a a

V  d AC BB  

VD 25. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc A = 60o chân đường vuông góc hạ từ B' xuông ABCD trùng với giao điểm 2 đường chéo đáy biết BB' = a. Tìm góc hợp bởi cạnh bên và đáy. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của hình hộp và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B') theo a.

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 193

Đáp số: 60 ; o S a 2 15, d A mp BCC B ,  ' ' a 515

VD 26. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O , BAD 60 o, hai mp(SBD) và mp(SAC) cùng vuông góc với mp(ABC), mp(SAB) tạo với mp(ABC) một góc arctan 2

3

  .

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD với bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD.

Đáp số: 3 3, 3

12 3

a a

V  R 

VD 27. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là trung điểm H của AB. Đường trung tuyến AM của tam giác ACD có độ dài bằng a 3

2 , góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Đáp số: 3 3, 3

12 3

a a

V  R 

VD 28. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD . Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và tính thể tích , diện tích mặt cầu đó.

Đáp số: . 3 3, 7

6 12

S ABCD

V a Ra 

VD 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , AB 2a,AD 2a 3  , các cạnh bên bằng nhau và bằng 3a , gọi M trung điểm của OC. Tính thể tích khối chóp S.ABMD và diện tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SOCD.

Đáp số: . 3 15 , 31 2

S ABMD 3

V a S a 

VD 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bến SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABCD ?

Đáp số: . 3 3, 21

6 6

S ABCD

a a

V  R 

VD 31. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi , góc ABC = 60 , SA = SB = SC , chiều cao của hình chóp là a , góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60 . Tính thể tích S.ABCD . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ACB , S.ACD . Tính khoảng cách từ D đến (SBC).

Đáp số: 3 3,  ,   3 13, 21

6 13 6

a a a

V  d D SBC  R 

VD 32. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC = 60 . SA vuông góc với ABCD , góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC , SABD , SBCD.

Đáp số: . 3 3, 1 129, 2 5 , 3 13

4 12 4 12

S ABCD

a a a a

V  R AI R AH R SJ 

VD 33. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A , góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 300 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB' và BC . Biết A'N = a. Hãy tính thể tích các khối ABC.A'B'C' , A.MBC', khoảng cách giữa hai đường thẳng B'C' và A'N và tính thể tích hình cầu (S) ngoại tiếp khối chóp A'BCC'B' theo a.

Đáp số: . ' ' ' 3 . ' 3   3

3 3 13 13

, , ' ', ' ,

8 16 4 6

ABC A B C A BMC

a a a a

V  V  d B C A N  V  

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 194

VD 34. (A – 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, 3a

SD 2 , hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).

Đáp số: 3,  ,   2

3 3

a a

V  d A SBD  

VD 35. (B – 2014) Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A'C và mặt phẳng đáy bằng 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách từ điểm B đến (ACC'A').

Đáp số: V3a38 3, d B , ACC A' '  3a1313

VD 36. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A ' B' C' có AA' a 2 , đường thẳng B ' C tạo với mặt phẳng

ABB' A' một góc 45o. Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC.

Đáp số: 3 6 ,  , ,   30

5 V a d A BC d a 

VD 37. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có tam giác ABC là tam giác vuông tại A có

AB a, BC2a. Gọi M trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của A' trên mp(ABC) là trung điểm của AM. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC'A') bằng 600. Tính thể tích lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng B'M và AC.

Đáp số: 3 2 3,  , '   3

8 2

a a

V  d K B MN  

VD 38. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, biết AB 2a,AC 2a 3  . Gọi I trung điểm của BC, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn AI, biết góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và cosin của hai đường thẳng SB và AC.

Đáp số : V a3 3, cos SB d, cosSBG 17 

VD 39. Cho hình chóp S.ABC có SA a,SB 2a,SC  3a và ASB 60 , 0 BSC90 ,0 CSA 120 0. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

Đáp số: 3 2,  , ,   2  , ,   2 6

2 3

SAB

a a

S  d Q BC d  d H BC d  

VD 40. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a,AD 2a, có SA vuông góc với đáy ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SB. Biết khoảng cách giữa SB và DM bằng a 10

5 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và góc giữa hai đường thẳng DM và AN.

Đáp số: 2 3 2, cos 6

3 6

V a NAG 

VD 41. Cho hình trụ có đáy là hình tròn tâm O và O ' . Gọi A, B là hai điểm lần lượt thuộc hai đường tròn (O) và (O ') . Dựng đường sinh BB' . Biết thể tích của hình trụ là a3

3

 ; AB 2a 6

 3 ; khoảng cách từ tâm O ' đến AB' là a 33

6 . Tính bán kính đáy và đường cao của hình trụ.

Đáp số: . 41 2 5 2 . , ,

36 4 3

a h a

V  h R a h

      

 

VD 42. Một hình nón tròn xoay có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh bằng a.Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình nón đó. Một mặt phẳng đi qua đỉnh tạo với mặt phẳng đáy một góc 600 . Tính diện tích thiết diện được tạo nên.

TÀI LIỆU LUYỆN THI 2016 – ĐẠT 7 ĐIỂM TRUNG TÂM HIẾU HỌC MINH CHÂU

THẦY TÀI : 0977.413.341 Trang 195

Đáp số: 1 3 2 , 2 2

12 DAM 3

V a S a 

VD 43. Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O đến AB bằng a và SAO 30 0 , SAB 60 0 . Tính diện tích xung quanh hình nón.

Đáp số: Sxq a2 3.

VD 44. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, biết ADDC a ,

AB 2AD , mặt bên SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD.

Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SA và BC.

Đáp số: . 3  

6 42

, ,

4 7

S ABCD

a a

V  d BC SA  

VD 45. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB2a,BC4a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm của AC. Góc giữa hai mặt phẳng (BCC'B') và (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC.

Đáp số: 3 3 3,  , ' '  2  , ' '  3

2 V a d A BCC B  d H BCC B  a