Dạng 1: ( 2 phương trình hình chiếu + 1 phương trình mo men).
Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên 2 trục tọa độ và tổng mô men của các lực đối với một tâm bất kỳ nằm trong mặt phẳng chứa các lực đều phải bằng 0.
∑FX =0
∑FY =0
∑mO(F)=0
Chứmg minh: Theo điều kiện cân bằng tổng quát Hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng thì R' = 0
MO = 0 Mà véc tơ chính R'có hình chiếu lên các trục x và y là
R'= (∑FX)2 +(∑FY)2 Nhưng vì (∑FX)2, (∑FY)2luôn > 0 ⇒R' =0khi ∑FX =0
và ∑FY =0
CònMO = mO(F1)+mO(F2)+...+mO(Fn)=∑mO(F) nên MO =0 khi ∑mO(F)=0 Dạng 2: ( 2 phương trình mô men + 1 phương trình hình chiếu).
Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng mô men của các lực đối với 2 điểm A,B bất kỳ trong mặt phẳng chứa các lực và tổng hình chiếu của các lực lên trục x không vuông góc với phương AB đều phải bằng 0.
∑mA(F)=0
∑mB(F)=0
∑FX =0 Trục x không vuông góc với AB Chứng minh : Ta thấy điều kiện cần là hiển nhiên vì:
Nếu hệ đã cho cân bằng thì tổng hình chiếu của các lực lên trục nào đó và tổng mô men của các lực đối vưới tâm nào cũng phải bằng 0.
Ta còn phải chứng minh điều kiện đủ tức là hệ lực phẳng thỏa mãn các phương trình trên thì cân bằng. Thật vậy thỏa mãn ∑mA(F)=0thì mô men chính MO =0⇒ Hệ chỉ còn khả năng thu về 1 hợp lực R.
Theo định lý Va ri nhông thì nếu có hợp lực R thì:
Khi thỏa mãn: ∑mA(F)=0thì Rphải đi qua A
∑mB(F)=0thì Rphải đi qua B
Vậy khi thỏa mãn 2 phương trình mô men thì nếu có Rthì Rphải đi theo phương AB vì trục x không vuông góc với phương AB nên thỏa mãn ∑FX =0 tức là RX = 0 thì R phải bằng 0 ⇒ Hệ cân bằng lực
Dạng 3 (3 phương trình mô men )
Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng bất kỳ cân bằng là tổng mô men của các lực đối với 3 điểm ABC không thẳng hàng đều phải bằng 0.
∑mA(F)=0
∑mB(F)=0 với A,B,C không thẳng hàng
∑mC(F)=0
Chứng minh: Ta thấy điều kiện cần là hiển nhiên. Ta còn phải chứng minh điều kiện đủ: Thỏa mãn ∑mA(F)=0thì mô men chính MO =0⇒ Hệ chỉ còn khả năng thu về 1 hợp lực R.
Thỏa mãn cả 3 phương trình trên thì nếu có Rthì Rphải đi qua cả 3 điểm A,B,C nhưng vì A,B,C không thẳng hàng nên điều đó không thể xảy ra.
31
Vậy hợp lực R = 0
Các điều kiện cân bằng ở 3 dạng trên được áp dụng để giải các bài toán vật rắn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng bất kỳ.
Tùy từng bài toán cụ thể mà ta chọn 1 điều kiện để áp dụng cho thích hợp.
Ví dụ 1: Thanh dài 2m đầu A ngàm chặt vào tường đầu B chịu tác dụng của 1 lực KN
F =3 hợp với thanh AB 1 góc α =600(như hình vẽ).
Xác định phản lực của thanh AB tại ngàm.
Giải
Vì thanh AB bị ngàm tại A nên nó không thể tịnh tiến và cũng không thể quay theo bất kỳ phương nào được. Do vậy tại A có 3 thành phần phản lực XA;YA và mA
Vậy dầm AB cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng(F;XA;YA;mA). Chọn hệ trục xAy như hình vẽ và chiếu các lực lên hệ trục tọa độ.
Viết phương trình cân bằng cho dần AB ta có:
∑FX = XA −F.cosα =0⇒ XA =F.cos600 =312=1,5KN
∑FY =YA −F.sinα =0⇒YA =F.sin600 =3 32 =2,6KN
∑mA(F)=mA −F.AH =0⇒mA =F.AB.sin600 =3.2. 32 =5,2KNm
1.3.5 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG SONG SONG Hệ lực phẳng song song là trường hợp đặc biệt của trường hợp đặc biệt của hệ lực phẳng vì vậy ta có thể suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực
phẳng song song từ điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ.
Giả sử có hệ lực phẳng song song (F1,F2,...Fn ) Ta chọn hệ trục tọa độ xoy có trục ox vuông góc với các đường tác dụng của các lực khi đó hình chiếu của các lực lên trục x là: ∑FX =0
Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên trục song song với chúng và tổng mô men của các lực đối với điểm bất kỳ tring mặt phẳng chứa các lực đều phải bằng 0.
∑FX =0
mA yA xA A
y
F α
B x
H 2m
H×nh 1-47
...
x y
F1
F2
Fn
H×nh 1-51 O
∑mO(F)=0
Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng song song cân bằng là tổng mô men của các lực đối với 2 điểm A,B trong mặt phẳng chứa các lực, 2 điểm A,B không cùng nằm trên đường song song với đường tác dụng của các lực đều phải bằng 0.
∑mA(F)=0
∑mB(F)=0 A,B không song song với phương của các lực Ví dụ1: Dầm AB chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều với tải trọng q=4KN/m. Xác định phản lực tại 2 gối đỡ A và B.
Biết AC=CB=2mnhư hình vẽ
Giải
Trên đoạn AC =2m dầm chịu lực phân bố đều với cường độ tác dụng là q nên khi tính phản lực ta thay hệ lực phân bố đều bằng 1 lực tập trung R song song cùng chiều có trị số
KN AC
q
R= × =4×2=8 và đặt ở chính giữa đoạn AC.
Phản lực NA;NB tại gối đỡ A và B có phương song song với R
Vậy dầm AB cân bằng dưới tác dụng của hệ lực phẳng song song (R;NA;NB). Chọn hệ trục xAy như hình vẽ và chiếu các lực lên hệ trục tọa độ.
Viết phương trình cân bằng cho dầm AB ta có:
∑mA F NB AB R AC NB RABAC 2KN 4
2 2 8 2
0 . . 2
. )
( =
×
= ×
=
⇒
= +
=
∑FY = NA +NB −R=0⇒ NA =R−NB =8−2=6KN
1.4 HỆ LỰC KHÔNG GIAN
Hệ lực không gian là hệ gồm các lực có đường tác dụng không nằm trong cùng một mặt phẳng. Đây là hệ lực tổng quát nhất, nhưng lại có nhiều khái niệm, kiến thức có thể suy ra, mở rộng từ hệ lực phẳng.