a. Định nghĩa:
Ta thấy khi có một lực tác dụng lên 1vật thể quay quanh một trục thì sẽ làm vật quay.
Vậy: Mô men của một lực đối với một trục là đại lượng đặng trưng cho tác dụng làm vật quay quanh trục.
Giả sử lựcF không đi qua trục z ta phải xác định mô men của lựcF đối với trục z.
Qua điểm gốc A của lực, dựng mặt phẳng (P) vuông góc với z. PhânF ra 2 thành phần: F =F, +F ,,
Trong đó: F ,,song song với trục z nên không làm cho vật quay quanh trục z .
cònF,nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với trục z nên có tác dụng làm quay vật.
Mà lực F, gây ra quay vật chính bằng tác dụng làm quay vật của lựcF . Do vậy : mZ(F)=mZ(F,)=m0(F,).
Gọi h là khoảng cách từ O (giao điểm của trục z với mặt phẳng P) đến đường tác dụng của F, ta có: m0(F)=±F'.h ⇒ mZ(F)=±F'.h
Từ đó ta có định nghĩa sau :
Mô men của một lực đối với một trục là lượng đại số có giá trị tuyệt đối bằng tích số giữa trị số hình chiếu của lực lên mặt phẳng vuông góc với trục và khoảng cách từ giao điểm của trục với mặt phẳng vuông góc đó đến hình chiếu của lực .
Quy ước: mZ(F)lấy dấu (+) Khi đứng nhìn từ chiều dương của trục xuống mặt phẳng chứa hình chiếu của lực thấy lực có khuynh hướng làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ.
mZ(F) lấy dấu (-) trong trường hợp ngược lại b. Cách tính mô men của một lực đối với một trục:
- Xác định hình chiếu của lực lên mặt phẳng vuông góc với trục (nên lấy mặt phẳng vuông góc với trục chứa điểm đặt lực).
z
h F'
F''
F
P A
H×nh 1-58
- Từ giao điểm của trục với mặt phẳng vuông góc hạ đường vuông góc đến hình chiếu của lực để xác định cánh tay đòn.
- Tính mô men theo công thức trên.
c. Các trường hợp đặc biệt:
- Khi lựcF song song với trục z thì: mZ(F)=0vì F' =0
- Khi lựcF có đường tác dụng cắt trục z thì: mZ(F)=0 vì h = 0
- Khi lựcFnằm trong mặt phẳng vuông góc với trục z (Ftrùng hoàn toàn vớiF, ) thì:
) ( )
(F m0 F
mZ = .
d. Định lý va-ri nhông: Tương tự trong hệ lựcphẳng ta có:
Nếu một hệ lực không gian có hợp lực thì mô men của hợp lực đối với trục nào đó bằng tổng đại số mô men của các lực thành phần thuộc hệ đối với cùng trục ấy.
) ( )
( 0 i
Z R m F
m =
Định lý dùng để xác định vị trí đường tác dụng của lực của hệ lực không gian song song.
Ví dụ: Xác định mô men của lực F2 đối với các trục x,y và z biết cạnh của khối lập phương dài a=2mvà F2 =200N.
Giải
Ta thấy lực F2 có đường tác dụng cắt trục y nên 0
) (F2 = mY
Tính mX(F2): Mặt phẳng vuông góc với trục x chứa điểm đặt lực F2là mặt ABCD. Hình chiếu của F2 lên mặt này là F2'nằm trên cạnh BC.
N CBI
F
F 100 2
2 200 2 cos
2.
'
2 = = =
Giao điểm của trục với mặt phẳng ABCD là điểm D, đường vuông góc hạ từ D đến
'
F2chính là DC=a=2m ⇒mX(F2) =−F2'.a =100 2.2=200 2Nm
Tính mZ(F2): Mặt phẳng vuông góc với trục z và chứa điểm đặt lực F2 là mặt ABFE.
Hình chiếu của F2lên mặt này là F2'' nằm trên cạnh BF.
37
H×nh 1-59 x
O z
y A
E F
I D C
F2
F''
F'
2
2
N IBF
F
F 100 2
2 200 2 cos
2.
''
2 = = =
Giao điểm của trục với mặt phẳng ABFE là điểm E, đường vuông góc hạ từ E đến F2' chính là EF =a=2m ⇒mZ(F2) =−F2''.EF =100 2.2=200 2Nm
1.4.2 ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG CỦA HỆ LỰC PHẲNG KHÔNG GIAN a. Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian bất kỳ:
Khi một hệ lực không gian bất kỳ tác dụng lên một vật rắn có thể làm cho vật rắn ấy tịnh tiến và quay. Chuyển động tịnh tiến có thể phân tích thành ba chuyển động tịnh tiến theo ba trục và chuyển động quay cũng được phân thành ba chuyển động quay quanh ba trục tọa độ ấy. Muốn vật rắn chịu tác động của hệ lực không gian bất kỳ cân bằng thì cả 6 chuyển động trên điều triệt tiêu hoặc chuyển động thẳng và quay đều. Như vậy hệ lực phải thỏa mãn:
∑X =0
∑Y =0
∑Z =0
∑mX(F)=0
∑mY(F)=0
∑mZ(F)=0
Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian bất kỳ cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên ba trục tọa độ bằng 0 và tổng mô men của các lực đối với mỗi trục tọa độ ấy đều phải bằng 0.
Nhận xét: 6 phương trình trên gọi là 6 phương trình cân bằng. Bài toán vật rắn cân bằng dưới tác dụng của hệ lực không gian giải được nhiều nhất là có 6 yếu tố chưa biết.
b. Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian đồng qui:
Giả sử có hệ lực không gian F1,F2,...,Fn đồng quy tại 0. Ta chọn hệ tọa độ Oxyz có gốc trùng với điểm đồng quy của các lực thì ta luôn luôn
có:
∑mX(F)≡0
∑mY(F)≡0
∑mZ(F)≡0
Fn
H×nh 1-60 x
F2
F1
y z
O
Do đó từ điều kiện tổng quát ta có điều kiện cân bằng của hệ lực không gian đồng quy:
∑X =0
∑Y =0
∑Z =0
Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian đồng quy cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên ba trục tọa độ đều phải bằng 0.
c. Điều kiện cân bằng của hệ lực không gian song song:
Hệ lực không gian song song là trường hợp đặc biệt của hệ không gian bất kỳ nên có thể suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực không gian song song từ điều kiện tổng quát.
Giả sử có hệ lực không gian song song F1,F2,...,Fn hình vẽ. Chọn hệ trục Oxyz có trục z song song với các lực thì đương nhiên ta có:
∑X ≡0
∑Y ≡0
∑mZ(F)≡0
Do vậy suy ra điều kiện cân bằng của hệ lực không gian song song là:
∑Z =0
∑mY(F)=0
∑mZ(F)=0 Với trục z song song với các lực.
Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực không gian song song cân bằng là tổng hình chiếu của các lực lên trục song song với các lực và tổng mô men của các lực đối với 2 trục còn lại đều bằng 0.