a) Lịch sử
Phương pháp phần tử hữu hạn được bắt nguồn từ những yêu cầu giải các bài toán phức tạp vềlý thuyết đàn hồi, phân tích kết cấu trong xây dựng và kỹ thuật hàng không. Nó được bắt đầu phát triển bởi Alexander Hrennikoff (1941) và Richard Courant (1942). Mặc dù hướng tiếp cận của những người đi tiên phong là khác nhau nhưng họ đều có một quan điểm chung, đó là chia những miền liên tục thành những miền con rời rạc. Hrennikoff rời rạc những miền liên tục bằng cách sử dụng lưới tương tự, trong khi Courant chia những miền liên tục thành những miền có hình tam giác cho cách giải thứ hai củaphương trình vi phân từng phần elliptic, xuất hiện từ các bài toán về xoắn của phần tử thanh hình trụ. Sự đóng góp của Courant là phát triển, thu hút một số người nhanh chóng đưa ra kết quả cho PPVPTP elliptic được phát triển bởi Rayleigh, Ritz, và Galerkin. Sự phát triển chính thức của PPPTHH được bắt đầu vào nửa sau những năm 1950 trong việc phân tích kết cấu khung máy bay và công trình xây dựng, và đã thu được nhiều kết quả ở Berkeley (xem Early Finite Element Research at Berkeley) trong những năm 1960
trong ngành xây dựng. Phương pháp này được cung cấp nền tảng toán học chặt chẽ vào năm 1973 với việc xuất bản cuốn Strang và tổng kết trong An Analysis of The Finite element Method và kể từ đó PPPTHH được tổng quát hóa thành một ngành củatoán ứng dụng, mộtmô hình số họccho các hệ thống tự nhiên, được ứng dụng rộng rãi trong kĩ thuật, ví dụ nhưđiện từ học và động lực học chất lỏng.
Sự phát triển của PPPTHH trong cơ học kết cấu đặt cơ sở chonguyên lý năng lượng, ví dụ như:nguyên lý công khả dĩ, PPPTHH cung cấp một cơ sở tổng quát mang tính trực quan theo quy luật tự nhiên, đó là một yêu cầu lớnđối với những kỹ sư kết cấu.
b) Ứng dụng
Phương pháp Phần tử hữu hạn thường được dùng trong các bài toán Cơ học (cơ học kết cấu, cơ học môi trường liên tục) để xác định trường ứng suất và biến dạng của vật thể.
Ngoài ra, phương pháp phần tử hữu hạn cũng được dùng trong vật lý học để giải cácphương trình sóng, như trongvật lý plasma, các bài toán về truyền nhiệt, động lực học chất lỏng, trường điện từ.
c) Phương Pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp phần tử hữu hạn là phương pháp sốđể giải các bài toán được mô tả bởi cácphương trình vi phân riêng phầncùng với cácđiều kiện biên cụ thể.
Cơ sở của phương pháp này là làmrời rạc hóa các miền liên tụcphức tạp của bài toán. Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con (phần tử). Các miền này được liên kết với nhau tại các điểm nút. Trên miền con này, dạngbiến phântương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên cáchàm xấp xỉtrên từngphần tử, thoả mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tục giữa các phần tử.
Về mặt toán học, phương pháp phần tử hữu hạn (PPPTHH) được sử dụng để giải gần đúng bài toán phương trình vi phân từng phần (PTVPTP) và phương trình tích phân, ví dụ nhưphương trình truyền nhiệt. Lời giải gần đúng được đưa ra dựa trên việc loại bỏ phương trình vi phân một cách hoàn toàn (những vấn đề vềtrạng
thái ổn định), hoặc chuyển PTVPTP sang một phương trình vi phân thường tương đương mà sau đó được giải bằng cách sử dụngphương pháp sai phân hữu hạn, vân vân.
PPPTHH không tìm dạng xấp xỉ của hàm trên toàn miền xác định V của nó mà chỉ trong những miền con Ve (phần tử) thuộc miền xác định của hàm.Trong PPPTHH miền V được chia thành một số hữu hạn các miền con, gọi là phần tử. Các miền này liên kết với nhau tại các điểm định trước trên biên của phần tử được gọi là nút. Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị củađạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử. Các giá trị này được gọi là cácbậc tự do của phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán.
Trong việc giảiphương trình vi phân thường, thách thức đầu tiên là tạo ra một phương trình xấp xỉ với phương trình cần được nghiên cứu, nhưng đó là ổn định số học (numerically stable), nghĩa là những lỗi trong việc nhập dữ liệu và tính toán trung gian không chồng chất và làm cho kết quả xuất ra xuất ra trở nên vô nghĩa. Có rất nhiều cách để làm việc này, tất cả đều có những ưu điểm và nhược điểm.
PPPTHH là sự lựa chọn tốt cho việc giải phương trình vi phân từng phần trên những miền phức tạp (giống như những chiếc xe và những đường ống dẫn dầu) hoặc khi những yêu cầu về độ chính xác thay đổi trong toàn miền. Ví dụ, trong việc mô phỏng thời tiết trên Trái Đất, việc dự báo chính xác thời tiết trên đất liền quan trọng hơn là dự báo thời tiết cho vùng biển rộng, điều này có thể thực hiện được bằng việc sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn.
Sự phát triển và ứng dụng rộng rãi của máy tính điện tử đã làm thay đổi sâu sắc cách xem xét và sử dụng các phương pháp tính toán kết cấu. Với công cụ máy tính điện tử người ta có thể chọn các thuật toán tổng quát, soạn thảo các chương trình mang tính tự động hóa cao, áp dụng cho một lớp các bài toán có chung tính chất chủ yếu. Một trong những phương pháp số sử dụng máy tính điện tử trong tính toán kết cấu hiện nay là phương pháp phần tử hữu hạn. Trong phương pháp phần tử hữu hạn, vật thể liên tục được thay thế bằng một số hữu hạn các phần tử rời rạc có hình dạng đơn giản, có kích thước càng nhỏ càng tốt nhưng hữu hạn. Chúng được nối với nhau
ở một số điểm quy định gọi là nút. Các phần tử này vẫn giữ nguyên vật thể liên tục trong phạm vi mỗi nút nhưng do có hình dạng đơn giản và kích thước bé nên cho phép nghiên cứu dễ dàng hơn dựa trên cơ sở quy luật về sự phân bố chuyển vị và nội lực. Các đặc trưng cơ bản của mỗi phần tử được xác định và mô tả dưới dạng các ma trận độ cứng của phần tử. Các ma trận này dùng để ghép các phần lại thành một mô hình rời rạc hóa của kết cấu thực dưới dạng ma trận cứng của cả kết cấu.
Các tác động ngoài gây ra nội lực và chuyển vị của kết cấu được quy về các ứng lực tại các nút và được mô tả trong ma trận tải trọng nút. Các ẩn số cần tìm là các chuyển vị (hoặc nội lực) tại các nút được xác định trong ma trận chuyển vị nút (hoặc ma trận nội lực nút). Các ma trận độ cứng, ma trận tải trọng và ma trận chuyển vị nút được liên kết với nhau trong phương trình cân bằng theo quy luật tuyến tính hay phi tuyến tùy theo ứng xử của kết cấu và các tác động lên kết cấu.
Như vậy, thuật toán phần tử hữu hạn được dựa trên sự nghiên cứu và xác lập các ma trận cơ bản cùng với quy luật liên hệ giữa các ma trận để phản ánh gần đúng các ứng xử thực tế của kết cấu và các tác động lên kết cấu. Hệ phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn có dạng như sau:
[K ] {D =} { F} (2.5) Trong đó: - [K]: là ma trận độ cứng của toàn kết cấu.
- {D}: véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu.
- {F}: véc tơ ngoại lực nút.
Đây là phương trình cân bằng lực tại toàn bộ các nút của hệ. Sau khi xét điều kiện biên (nút có chuyển vị hoặc không chuyển vị đã biết trước) thì hệ này hoàn toàn có thể giải được. Kết quả giải hệ phương trình trên cho ta chuyển vị của toàn kết cấu ở hệ tọa độ chung, từ đó sẽ tìm ra chuyển vị nút của mỗi phần tử trong hệ tọa độ riêng của phần tử, sau đó sẽ xác định được nội lực, ứng suất, biến dạng của điểm bất kỳ trong phần tử.
Khi có xét tới áp lực mạch động, hệ phương trình có bản sẽ có dạng như sau:
[K ] {D} = { F}+ { }Fd t (2.6)
{ }Fd t = f u( )i it=1,n (2.7) Trong đó: - Ui là lưu tốc tại chất điểm thứ i
- Fd là áp lực mạch động