HÓA VƯỢT KHE CHO HỆ THỐNG CHILLER
2.3 Phương pháp tối ưu hóa vượt khe
Trong phần này áp dụng kết quả nghiên cứu trong [12, 14, 15, 20, 48]. Xét bài toán tối ưu (2.8) viết gọn lại theo (2.28):
J(X) → min với X ϵ En (2.28)
2.3.1 Nghiên cứu địa hình của hàm mục tiêu
Mục đích của nội dung này này là giới thiệu công cụ kiểm tra lời giải sau mỗi lần giả bài toán tối ưu bằng thuật toán vượt khe. “Địa hình” của hàm mục tiêu là sự thể hiện hình học thông qua hình dáng và đặc điểm phân bố các mặt mức của nó trong không gian biến số [12, 20]. Theo dáng điệu của mặt mức có thể nhận biết về một số tính chất cơ bản của hàm mục tiêu. Đó là các thông tin quan trọng để hiệu chỉnh và cải tiến cách đặt bài toán ban đầu, đồng thời tìm giải pháp để hoàn thiện thuật toán tối ưu hóa, đặc biệt đối với hàm khe. Ví dụ hàm (2.28) với X = {N1, N2,..., Nn} có dáng điệu mặt mức của hàm thể hiện ở hình 2.3.
Hình 2.3 Dáng điệu mặt mức của hàm mục tiêu tối ưu hoá PPPT giữa các tổ máy làm việc song song
Các mặt mức của hàm nhiều biến có thể biểu diễn qua các đường mức khép kín trong hệ tọa độ phẳng của từng cặp biến. Nếu hàm mục tiêu chỉ có hai biến mà biến này có thể rút ra theo quan hệ phụ thuộc vào biến kia, thì việc dựng các đường đồng mức của nó rất đơn giản. Nhưng thực tế với hàm nhiều biến, đặc biệt là khi hàm mục tiêu dưới dạng ẩn, vấn đề trở nên hết sức phức tạp. Do đó để nghiên cứu địa hình của hàm mục tiêu cần có một phương pháp đặc biệt biểu diễn hình ảnh mặt mức của nó.
Ý nghĩa của việc xây dựng mặt mức hàm mục tiêu thể hiện trong các ý sau đây:
- Căn cứ dáng điệu các mặt mức của hàm số có thể biết được rằng hàm mục tiêu lồi hay không lồi, có một hay nhiều cực trị, có độ khe sâu hay không, hàm tối ưu hóa trơn hay không trơn tại những miền nào đó…
- Theo mật độ phân bố các mặt mức của hàm mục tiêu, xây dựng theo phương pháp hàm phạt, có thể định hướng thay đổi hệ số phạt sao cho giảm “độ khe” của hàm mục tiêu hoặc tăng độ chính xác của lời giải nhận được của bài toán ban đầu;
- Theo vị trí của lời giải nhận được trên đồ thị mặt mức, có thể đánh giá sơ bộ độ chính xác lời giải, đồng thời, có thể đánh giá đặc điểm và tính hiệu quả của các thuật toán đã sử dụng.
Đây là thủ thuật vạn năng biểu diễn mặt mức của hàm mục tiêu bất kỳ, thể hiện dưới dạng các đường đồng mức nằm trong hệ toạ độ hai biến. Bản chất của thủ thuật này là thực hiện thao tác quét trong miền không gian hai biến theo một lưới chia nhất định trong khi các biến khác giữ không đổi. Trên mỗi miền của lưới chia ứng với mỗi giá trị cố định của biến thứ nhất thực hiện quá trình chính xác hoá biến thứ hai để đạt giá trị mức cho trước với độ chính xác cho trước. Tất cả các biểu tượng mặt mức của các hàm mục tiêu xét trong luận án này đều được vẽ bằng thuật toán dựng mặt mức nói trên [12, 20].
2.3.2 Thuật toán vượt khe
Phương trình lặp của phương pháp "Vượt khe" có dạng giống như mọi thuật toán gradien khác [12, 20]:
xk+1 = xk + k+1sk, k =0,1,…, (2.29) trong đó xk, xk+1 – điểm đầu và điểm cuối của bước lặp thứ k+1;
sk – hướng tìm kiếm trong không gian Ơclít En; k+1 – độ dài bước.
Sự khác biệt về nguyên tắc của phương pháp “Vượt khe” so với các phương pháp khác thể hiện ở quy tắc xác định bước. Theo quy tắc tìm kiếm tối ưu kiểu “Vượt khe”, thì điểm đầu và điểm cuối của mỗi bước lặp luôn luôn nằm về hai phía điểm cực tiểu của hàm mục tiêu trong hướng đó. Quy tắc tìm kiếm tối ưu nói trên gọi là “Nguyên tắc vượt khe”, còn độ dài bước tương ứng gọi là “Bước vượt khe”. Quĩ đạo tối ưu hoá hàm khe rõ rệt theo nguyên lý này tạo ra hình ảnh tựa như điểm tìm kiếm luôn luôn vượt từ bên này sang bên kia mà không rơi xuống "lòng khe". Từ đó xuất hiện tên gọi phương pháp “Vượt khe”.
Nguyên lý “Vượt khe” tạo ra khả năng nghiên cứu “địa hình” tổng thể của hàm mục tiêu tại vùng khe và do đó cho phép xây dựng chiến lược hiệu quả nhất tìm điểm tối ưu.
Hình 2.4 Xác định “Bước vượt khe” avk. h() = J(xk + sk).
2.3.2.1 Thuật toán xác định bước vượt khe
Ta ký hiệu hàm một biến h() = J(xk+sk) đối với bước lặp thứ k+1. Giả sử )
( min
arg 0
*
h
là bước xác định theo điều kiện đạt cực tiểu theo hướng (hình 2.4).
Theo nguyên lý “Vượt khe”, điểm tìm kiếm chuyển dịch từ xk đến điểm xk+1 với bước k+1 = vk xác định theo điều kiện (2.29). Sơ đồ khối thuật toán tìm “bước vượt khe”
thể hiện ở hình 2.5:
)]
( ) 0 ( [ ) ( ) ( )]
( ) 0 ( [
, a b
* * vk * *
vk α λ h h α h α h α λ h h α
α , (2.30)
Trong đó 0 a b 1 – các hệ số “vượt quá” phía trên và phía dưới.
“Bước vượt khe” xác định nhờ thủ tục tìm kiếm một biến. Sơ đồ khối của thủ tục này dẫn trên hình 2.5.
Giả sử cho trước: p > 0, >1, 0<g<1, A>0.
h(0)
h(vk)
h(*)
vk
* 0
h()
Bước 1: Cho p1 = 0, p
p2:= p2 (tăng theo cấp số nhân) cho nhận được đoạn (p1,p2) và chuy
Bước 2: Kiểm tra đi được “Bước vượt khe” với Trái lại, chuyển sang bước 3.
Hình 2.5 Sơ đ Bước 3: Tính p:=p1+g(p Bước 4: Nếu h(p) - h p. Sau đó trở về thực hiện b khe”: vk:=p. ở đây, trở về
Thường cho các giá trị:
vectơ gradien của hàm mục tiêu theo công thức sai phân hữu hạn. Các tham số hiệu chỉnh của thuật toán là các hệ số v
mục tiêu trong thực tế thuật toán “V
a =0; b =0,5; g=0,13.
= 0, p2 = A sau đó tăng liên tiếp các đại lượng này theo luật: p ấp số nhân) cho đến khi h(p2) h(p1) hoặc h(p2)
) và chuyển sang bước 2.
điều kiện đoạn nhỏ: p2 - p1 p. Nếu đúng, ngh ợt khe” với độ chính xác đã cho. Khi đó nhận vk:=p và k
ớc 3.
Sơ đồ khối tìm ''Bước vượt khe” theo điều kiện (2.
+g(p2-p1) và =[h(0)-h(p1)] rồi chuyển sang bư h(p1)>b thì nhận p2:=p, còn nếu h(p)- h(p1)<
ở về thực hiện bước 2. Trường hợp thứ ba xảy ra nghĩa là tìm ở về chương trình chính.
ờng cho các giá trị: A = 0,1; = 1,5; p = dx, ở đây dx bằng gia số dùng khi tính ủa hàm mục tiêu theo công thức sai phân hữu hạn. Các tham số hiệu chỉnh ủa thuật toán là các hệ số vượt khe a, b và hệ số chia khoảng g. Đối với hầu hết các hàm
ục tiêu trong thực tế thuật toán “Vượt khe” có hiệu quả cao với các giá trị không
ợng này theo luật: p1:= p2, ) h(0). Kết quả ta
đúng, nghĩa là không tìm :=p và kết thúc quá trình.
ều kiện (2.30).
ước 4.
)< a thì nhận p1:=
ờng hợp thứ ba xảy ra nghĩa là tìm được “Bước vượt
ằng gia số dùng khi tính ủa hàm mục tiêu theo công thức sai phân hữu hạn. Các tham số hiệu chỉnh ối với hầu hết các hàm ợt khe” có hiệu quả cao với các giá trị không đổi sau:
Thủ tục xác định “Bước vượt khe” mô tả trên đây khá đơn giản và khả dụng trong các trường hợp hàm mục tiêu trơn cũng như không trơn.
Phương pháp “Vượt khe” sinh ra các biến thể tuỳ thuộc việc định nghĩa hướng tìm kiếm. Thí dụ các thuật toán “Vượt khe” theo hướng tựa phân giác, theo hướng vuông góc, theo hướng chiếu Affine (VAF), v.v...
Thực tế áp dụng cho thấy các biến thể hiệu quả nhất của phương pháp “Vượt khe” là các thuật toán tối ưu hóa vượt khe theo hướng chiếu Affine (VAF) và theo đối gradien với sự biến đổi metric của không gian [20, 48].
2.3.2.2 Hướng tìm kiếm hướng chiếu Affine
Hướng tìm kiếm trong thuật toán vượt khe hướng chiếu Affine xác định tựa theo đường vuông góc hạ từ đỉnh đến đáy của hình chóp tạo bởi r vectơ đối gradien xác định tại các bước trước đó:
1
0
= i
i- i k
k r
s , s0 = 0, k = 1,2,…, (2.31)
trong đó sk-i = -J(xk-i) là đối gradien của hàm mục tiêu trên bước thứ k-i+1; r = k+1, nếu k< n, trái lại r = n; i là các hệ số trọng, có thể xác định bằng cách giải hệ phương trình tuyến tính sau:
. 1
, 2 0,1,...,
= j , 0 ,
1
0
=
i i
1
0
= i
1 -j - k j- k i- i k
r
r r
(2.32)
i = -J(xi), s0=0
Quá trình lặp của thuật toán vượt khe có thể giải thích như trong hình 2.6 và hình 2.7. Điểm xuất phát bắt đầu từ x0, điểm tìm kiếm chuyển dịch theo hướng đối gradien s0
=0 với “Bước vượt khe” a1 đến điểm x1 có đối gradien tương ứng là 1. Ở đây hướng chuyển động s1 được xây dựng theo đường cao của tam giác tức hình chóp hai chiều với đỉnh x1 và đáy là 1-0.
Hình 2.6 Thể hiện hình học của quá trình tìm kiếm tối ưu theo thuật toán vượt khe Điểm tiếp theo theo hướng s1, từ điểm x1 thực hiện bước vượt khe tới điểm x2 có đối gradien tương ứng là 2. Các vectơ 2, 1, 0 tạo thành một hình chóp với đỉnh là x2. Dọc theo đường vuông góc hạ từ đỉnh này đến đáy của hình chóp xác định vectơ chuyển động s2, trên cơ sở hệ phương trình (2.30) và công thức (2.29). Theo hướng s2 tiếp tục thực hiện quá trình tìm kiếm theo nguyên lý “Vượt khe”, nhận được điểm x3. Quá trình cứ tiếp diễn như vậy cho đến bước lặp thứ k=n. Sau đó, khi k > n, thì trên mỗi bước chỉ lưu bộ nhớ n vectơ đối gradien cuối cùng để dựng hình chóp và đường cao của nó xác định hướng chuyển động tiếp theo sk.
Hình 2.7 Sơ đồ khối tìm ''hướng vượt khe” theo điều kiện (2.30).
Quá trình lặp như trên tiếp diễn cho đến khi thoả mãn các điều kiện dừng đã xác định trước.
Nếu kết hợp hướng chuyển động bất kỳ với quy tắc xác định bước “Vượt khe” thì được một biến thể của phương pháp “Vượt khe”. Mỗi thuật toán phổ biến đã biết cho phép kết hợp với nguyên lý “Vượt khe” sẽ hình thành một thuật toán vượt khe tương ứng đều cho kết quả tăng tốc độ hội tụ.