CHƯƠNG 2: NGHIÊN CỨU CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN THẤM VÀ ỔN ĐỊNH ĐẬP ĐẤT
2.2. Tính toán ổn định đập đất
2.2.6 Lý thuyết tính toán ổn định mái dốc của modun Slope/w trong
2.2.6.1 Định nghĩa các biến.
Hệ số an toàn được hiểu như là hệ số mà sức kháng cắt của đất phải giảm đi để đưa khối đất sang trạng thái cân bằng giới hạn dọc theo một mặt trượt nào đó.
Cường độ kháng cắt là: S = C’ + (σn –u) tanϕ’ (2.43) S là cường độ kháng cắt
C’ là lực dính hiệu quả
ϕ’ là góc nội ma sát hiệu quả σn là ứng suất pháp toàn phần u là áp lực nước lỗ rỗng
Việc phân tích ổn định bao gồm việc vẽ một mặt trượt ngang qua khối đất và chia mặt trượt thành các cột đất thẳng đứng. Mặt trượt có thể là tròn, hỗn hợp (gồm cung tròn và đoạn thẳng) hoặc bất kỳ hình dạng nào được định nghĩa bởi một chuỗi các đoạn thẳng.
Công thức cân bằng giới hạn giả thiết rằng:
- Đất làm việc như vật liệu tuân theo quan hệ Mohr-Coulomb.
- Hệ số an toàn của thành phần lực dính và thành phần ma sát của sức kháng cắt là bằng nhau cho mọi lớp đất trong mặt trượt.
- Hệ số an toàn là giống nhau cho mọi cột đất trong mặt trượt.
Hình 2.2: Lực tác dụng với mặt trượt dạng tròn
Hình 2.3 : Lực tác dụng với mặt trượt tổ hợp
Hình 2.4: Lực tác dụng với đường trượt đặc biệt W trọng lượng cột đất có bề rộng b và chiều cao h.
N lực pháp tuyến toàn phần tại đáy cột đất S lực cắt huy động được tại đáy cột đất
E lực pháp tuyến nằm ngang tại mặt tiếp xúc giữa các cột đất X lực cắt theo phương đứng tại mặt tiếp xúc các cột đất
D ngoại tải tập trung (dạng phân bố dọc theo phương thẳng góc hình vẽ) kW lực động đất nằm ngang đặt tại trọng tâm mỗi cột đất
R bán kính đối với mặt trượt tròn hay cánh tay đòn của lực cắt huy động được Smđối với mặt trượt dạng bất kỳ.
f độlệch thẳng góc của lực pháp tuyến được tính từtâm xoay hoặc tâm moment.
x là khoảng cách nằm ngang từ tâm cột đất đến tâm xoay hay tâm moment e khoảng cách thẳng đứng từ tâm cột đất đến tâm xoay hay tâm moment d khoảng cách thẳng góc từ tải tập trung D đến tâm xoay hay tâm moment h khoảng cách thẳng đứng từ tâm đáy cột đất đến mặt đất trên cùng (thường là mặt đất tự nhiên)
a khoảng cách thẳng góc từ hợp lực của áp lực nước ngoại lực đến tâm xoay hoặc tâm moment.
A hợp lực của áp lực nước ngoại lực
ω góc hợp bởi phương của tải tập trung với phương nằm ngang (góc nầy tính từchiều dương của trục x theo chiều kim đồng hồ).
α góc hợp bởi tiếp tuyến tại tâm đáy cột đất với phương nằm ngang (góc dương khi nghiêng theo cùng phương với độ dốc tổng thể của mái dốc và ngược lại)
Giá trị của lực cắt huy động được để thoã mãn các điều kiện cân bằng giới hạn:
(c' ( u) tan ')
. n
m
S s
F F
β σ φ
β + −
= = (2.44)
Trong đó σn =N/ β ứng suất pháp trung bình (toàn phần) tại đáy cột đất F là hệ số an toàn
β là chiều dài đáy cột đất dọc theo mặt trượt
Các phương trình cân bằng tĩnh học có thể được dùng để thiết lập hệ số an toàn là tổng hình chiếu các lực theo hai phương và tổng moment.
Các phương trình này cùng với các tiêu chuẩn phá hoại là chưa đủ để làm cho bài toán xác định. Vì vậy cần biết thêm các thông tin về phân bố lực pháp tuyến tại đáy các cột đất lẫn phân bố lực tại mặt tiếp giáp giữa các cột đất. Do đó cần thiết lập một số giả thiết liên quan đến phương, độ lớn và điểm đặt của một số lực. Thường thì điểm đặt của lực pháp tuyến tại đáy cột đất đi qua tâm của đáy cột đất.
2.2.6.2 Phương pháp cân bằng giới hạn tổng quát
Phương pháp này sử dụng các phương trình tĩnh học sau để giải tìm hệ số an toàn:
1- Tổng các lực theo phương đứng đối với mỗi cột đất, được dùng để xác định lực pháp tuyến N tại đáy cột đất.
2- Tổng các lực theo phương ngang đối với mỗi cột đất, được dùng để tính toán lực pháp tuyến E tại mặt tiếp giáp giữa các cột đất. Phương trình này được áp dụng khi tích phân toàn bộ khối lượng (từ trái sang phải)
3- Tổng moment đối với một điểm chung cho tất cả các cột đất được dùng để tìm hệ số an toàn Fm cân bằng moment.
4- Tổng các lực theo phương ngang cho tất cả các cột đất, được dùng để tìm hệ số an toàn cân bằng lực Fi.
Hệ số an toàn thoả mãn cả phương trình cân bằng moment và cân bằng lực được xem là hệ số an toàn hội tụ của phương pháp cân bằng giới hạn tổng quát GLE.
2.2.6.3 Hệ số an toàn cân bằng moment.
Với các hình 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 thì tổng môment của tất cả các cột đất đối với một điểm chung là: ∑Wx−∑S Rm −∑Nf +∑kWe±[ ]Dd ±Aa=0 (2.45)
Dấu ngoặc vuông [ ] có nghĩa là các lực này được xem xét chỉ cho cột đất có lực D tác dụng vào nó. Hệ số an toàn theo phương pháp cân bằng môment là:
[ ]
(c' R (N u ) Rtan ')
W Dd Aa
m
x e
F Nf kW
β + − β φ
= ∑− + ± ±
∑ ∑ ∑ (2.46)
(2.45) là phương trình phi tuyến bởi vì lực pháp tuyến N cũng là hàm số của hệ số an toàn.
2.2.6.4 Hệ số an toàn cân bằng lực
Theo phương pháp cân bằng lực, chiếu tất cả các lực tác dụng lên các cột đất theo phương ngang, ta được:
[ ]
(EL−ER)− ( .sin )N α + (Sm.cos )α − (kW)+ D.cosω ± =A 0
∑ ∑ ∑ ∑ (2.47)
số hạng ∑(EL−ER) bằng không khi lấy tổng trên toàn bộ khối trượt.
Hệ số an toàn theo phương pháp cân bằng lực là:
[ ]
(c' .cos (N u ) tan '.cos )
.sin .cos
Ff
N kW D A
β α β α
α ω
+ − Φ
=∑ + − ±
∑ ∑ (2.48)
Đây cũng là phương trình phi tuyến.
2.2.6.5 Lực pháp tuyến trượt tại đáy
Lực pháp tuyến tại đáy mỗi cột đất được xác định từ hình chiếu lên phương đứng của tổng các lực tác dụng lên mỗi cột đất:
[ ]
W (XL X )R N .cosα S .sinm α D.sinω 0
− + − + + − = (2.49)
thay phương trình (2.47) vào (2.48) và giải tìm lực pháp tuyến N:
[ ]
' .sin .sin . tan '
( ) .sin
sin . tan ' cos
R L
c u
W X X D
N F
F
β α β α ω
α α
+ Φ
+ − − +
= + Φ (2.50)
mẫu số (2.50) thường được ký hiệu là mα. Hệ số an toàn được ký hiệu là Fm
khi tính theo phương pháp cân bằng môment và Ff khi tính theo phương pháp cân bằng lực.
Phương trình (2.50) không thể giải trực tiếp vì hệ số an toàn F và các lực
cắt giữa các cột đất (XL và XR) chưa biết, do đó lực pháp tuyến N thường được giải lặp.
2.2.6.6 Các lực bên trong mặt trượt (nội lực)
Để tính được lực pháp tuyến tại đáy các cột đất theo phương trình (3.8) cần biết lực cắt giữa các cột đất. Lực cắt giữa các cột đất được tính theo tỷ lệ phần trăm của lực pháp tuyến giữa các cột đất dựa theo phương trình kinh nghiệm sau: X=E.λ.f(x)
với λ tỷ lệ phần trăm (ở dạngthập phân) của hàm số được sử dụng f(x) hàm số lực giữa các cột đất mô tả phương tương đối của hợp lực các cột đất.
Hình 2.5 : Hàm thay đổi hướng của nội lực theo phương X 2.2.6.7 Một số phương pháp cân bằng giới hạn khác nhau trong Slope.W
1- Phương pháp Fellenius hay Ordinary:
Giả thiết
- Mặt trượt là mặt trụ tròn tâm, bán kính R.
- Bỏ qua các lực tương tác giữa các thỏi, tức có Ei = Xi = 0 - Điểm đặt của N tại trung điểm của đáy thỏi.
Các phương trình cơ bản:
Hình 2.6 : Sơ đồ lực tính toán theo phương pháp Fellenius
Để xác định N, chiếu các lực tác dụng vào thỏi lên phương vuông góc với đáy thỏi.
N - W. cosα= 0 (2.51)
Suy ra: N = W. cosα
T0 tính theo điều kiện Mohr - Coulomb T0 = (N - ul) tgu' + c'1
T0 = (W. cosα - ul) tgu' + c'1 (2.52)
Với u là áp lực nước lỗ rỗng tại trung điểm đáy thỏi.
Hệ số an toàn K được xác định theo quan điểm 1
K =
Tổng momen chống trượt ∑Mct Tổng momen gây trượt ∑Mgt
0. Mct = T R
∑ ∑
= R . Σ [(W. cosα - ul)tgu' + c'1]
Mgt
∑ = ΣW.x = ΣWsinα . R
= R. Σsinα
Vậy có biểu thức tính hệ số an toàn ổn định theo Fellenius:
K =
Σ[(W. cosα - ul)tgu' + c'1]
ΣWsinα
Mặt trượt nguy hiểm nhất được xác định theo phương pháp thử dần truyền thống ứng với trị số Kminmin.
2- Phương pháp Bishop đơn giản hóa Giả thiết:
- Mặt trượt là mặt trụ tròn tâm O, bán kính R.
- Điểm đặt của N trùng với trung điểm của đáy thỏi
- Hệ số huy động F là như nhau đối với các mảnh và coi là hệ số an toàn ổn định.
- Lực tương tác giữa các thỏi nằm ngang.
Các phương trình cơ bản:
Với sơ đồ lực tổng quát và với các giả thiết nêu trên mỗi thỏi còn lại 5 đại lượng chưa biết cần xác định: N, To, Ep, Xp, hp, F (hệ số huy động đóng vai trò của hệ số an toàn).
Về lý thuyết, phương pháp phân thỏi, chỉ lập được 4 phương trình tương ứng cho một thỏi để giải như sau:
Σh = 0 Σv = 0 ΣM = 0
Điều kiện Mohr - Coulomb:
( ) ' '1
1
o N ul tg
T = F − u − c
Theo phương pháp phân thỏi, có 4 phương trình chứa 5 đại lượng chưa biết. Như vậy, kể cả hệ số an toàn F, bài toán thiếu hai phương trình để giải bài toán.
Hình 2.7 : Sơ đồ lực tính toán theo phương pháp Bishop đơn giản Cách giải của Bishop:
Giữa N và To có quan hệ theo điều kiện Mohr - Coulomb.
( ) ' '1
1
o N ul tg
T = F − u − c (2.53)
Chiếu hệ lực tác dụng vào thỏi đất lên phương vuông góc với đáy thỏi và giải đối với N, có:
N = W + (Xp - Xt)cosα - (Ep - Et)sinα (2.54)
Xét cân bằng momen toàn khối đất trượt đối với tâm 0, bán kính R, có
ΣW.x = ΣTo.R (2.55)
Trong đó: x = R.sinα
Thay (2.53) (2.54) vào (2.55) và giải đối với F, có:
( ) ( )
[( ]
sin
p t p t
Wcl W X X c
F os E E tg
W
α sinα
α
φ
+ + −
Σ
= − −
Do thiếu phương trình để giải bài toán, Bishop giả thiết lực tương tác có phương nằm ngang. Do vậy biểu thức (2.54) có dạng đơn giản sau:
Xt = Xp = 0
( )
[( - ]
sin
p t
Wcl W E E s
W
F inα φtg
α Σ
+ −
=
Để giải bài toán, chiếu hệ lực tác dụng vào thỏi, coi là cân bằng theo phương đứng và phương ngang và giải đối với (Ep – Et), có:
1 cos sin
sin cos
p t
W tg cl W
F F
E E
tg F
α φ α
φ α α
+ −
− =
+ (2.56)
Có biểu thức tính F cho hai trường hợp:
( cos ) /
sin
cl Wtg m
F W
α φ
α
=∑ +
∑ (2.57)
Với cos sin
m tg
F α α φ
= +
(2.58)
- Xét đến áp lực nước lỗ rỗng u:
[ ' cos ( cos ) '] /
sin
c l W ul tg m
F W
α α φ
α
+ −
=∑
∑ (2.59)
Trong đó: cos sin
m tg
F α α φ
= +
3- Phương pháp Janbu đơn giản hóa
Giả thiết X = 0 và E ≠ 0 (Không xét đến các lực cắt tại mặt tiếp giáp giữa các cột đất)
Lực pháp tuyến tại đáy cột đất:
' .sin .sin . tan '
[ .sin ] sin . '
cos
c u
W D
N F
tan F
β α β α φ ω
α φ α
− + +
=
+
Đối với phương pháp Janbu lực tác dụng lên khối trượt thường không thỏa mãn điều kiện cân bằng moment.
Đối với phương pháp Bishop hay Janbu mặc dù E ≠ 0 nhưng ta không cần phải xác định E mà vẫn tính được hệ số an toàn F vì E không xuất hiện bất kỳ phương trình nào dùng để tính Fm hay Ff với các phương pháp đồng
thời thỏa mãn cả phương trình cân bằng moment và phương trình cân bằng lực, đầu tiên ta cần giải để tìm lực pháp tuyến E giữa các cột đất.
4- Phương pháp Janbu tổng quát
Phương pháp Janbu giả thiết điểm đặt của lực tương tác nằm trên một đường có tên gọi là đường tương tác (line of thrust).
Hình 2.8: Sơ đồ tính toán theo phương pháp Janbu Các giả thiết:
- Mặt trụ dạng tròn, tâm O, bán kính R hoặc dạng bất kỳ.
- Hệ số huy động là như nhau đối với các thỏi.
- Các điểm đặt của các lực tương tác giữa các thỏi nằm trên một đường cong.
- Điểm đặt của lực N nằm ở giữa đáy thỏi.
Các phương trình cơ bản:
- Từ điều kiện cân bằng của thỏi theo phương đứng có:
W + XL – XR - Ncosα - T0sinα = 0 (2.60) - Từ điều kiện cân bằng của thỏi theo phương ngang có:
EL – ER + N.cosα - To.sinα = 0 (2.61)
- Từ điều kiện cân bằng momen lấy với trung điểm của đáy mỗi thỏi có:
( ) ( ) 0
2 2 2 2
R R R L R
b b b b
E t tgα E t tgα X X
− + + − + + =
(2.62)
Nếu tính toán lần lượt từ thỏi đỉnh xuống thỏi chân thì các đại lượng có chỉ số "L" coi như đã biết. Do đó, trong các phương trình (2.60), (2.61), (2.62) có các đại lượng chưa biết: ER, XR, tR, N, To.
Giữa N và T0 có quan hệ theo biểu thức Coulomb
0
1[( ) ' ' ]
T N ul tg c l
F ϕ
= − +
(2.63)
Để có biểu thức xác định hệ số an toàn F, lấy cân bằng của các lực tác dụng vào khối đất trượt (gồm n thỏi) theo phương ngang: Với điều kiện lực biên không có:
Σ(EL – ER) + ΣNsinφ - ΣT0cosφ = 0 (2.64)
Thay (3.24) vào (3.25) có:
(EL ER) sin 1[(N ul tg) ' c l' ].cos 0
α F ϕ α
Σ − + Σ − − + = (2.65)
Vậy theo phương pháp Janbu tổng quát, có hệ 5 phương trình chứa 6 đại lượng cần tìm: ER, XR, tR, N, S, F. Với mặt trượt cho trước, bài toán là siêu tĩnh. Để giải được bài toán, Janbu giả thiết đường tương tác, tức giả thiết các đại lượng tR.
5- Phương pháp GLE Giả thiết:
- Mặt trượt dạng trụ tròn, tâm O, bán kính R.
- Hệ số huy động F là như nhau đối với các thỏi và lấy làm hệ số an toàn ổn định của mặt đất.
- Độ nghiêng của lực tương tác được xác định theo biểu thức:
X ( ) E =λf x
(2.66)
Với f(x) là hàm xác định, được gọi là hàm biến thiên của hướng tác dụng của lực tương tác (Hình 2.9)
- Điểm đặt của N trùng với trung điểm của đáy thỏi.
Hình 2.9: Quy ước nội lực theo phương pháp GLE
Trong phương pháp GLE, hàm f(x) = sinx với 0 ≤ x ≤ L (0, L là tọa độ hai điểm chiếu của điểm đỉnh và chân của khối đất trượt lên phương x nằm ngang λ là một hằng số, đóng vai trò tham số của bài toán cần phải tính toán.
Phương pháp GLE khác với phương pháp Spencer chỗ góc nghiêng của lực tương tác thay đổi nhưng về thuật toán tính góc nghiêng θ của Spencer và tham số λ của GLE là như nhau:
Các phương trình cơ bản:
- Chiếu các lực tác dụng vào thỏi theo phương đứng:
Σv = W + (Xt – Xp) - Ncosỏ - T0sinỏ = 0 (2.67)
- Quan hệ giữa T0 và N được thiết lập theo điều kiện bền Mohr - Coulomb
0
' '
( )tg c
T N ul l
F F
= − ϕ +
(2.68) Thay (2.68) vào (2.67) và giải ra đối với N
1
W ( p) c'1sin ulsin X X
F F
N mα
α α
+ − − +
=
(2.69) Trong đó mα xác định theo biểu thức mα = cosα + sinα
' tg
F φ
- Từ điều kiện cân bằng momen của khối đất trượt (tệp n thỏi) đối với tâm 0.
ΣM/0 = ΣWx - ΣT0.R = 0 (2.70)
Thay (2.69) vào (2.70) và giải ra đối với F (Ký hiệu là Fm, gọi là Fmomen)
[(N-ul)tg '+lc']R F W.
x
=∑ φ
∑ (2.71)
Với N xác định theo (2.69). Phương trình (2.71) là phi tuyến đối với F vì N phụ thuộc F và mα cũng chứa F. Xin lưu ý rằng, (2.68) và (2.69) chứa đại lượng (Xl – Xp) chưa biết.
- Chiếu các lực tác dụng vào khối đất trượt (gồm n thỏi) theo phương ngang và coi các lực tương tác giữa các thỏi là nội lực:
ΣFh = ΣNsinα - ΣT0 cosα = 0 (2.72)
Thay vào và giải ra đối với F (ký hiệu là Ff, gọi là Flực):
[(N-ul)tg '+c'l]
f sin
F N
φ
=∑ α
∑ (2.73)
Trong đó: N xác định theo (2.67), chứa đại lượng chưa biết (Xt – Xp) nên phải dùng biện pháp tính thử dần.
2.2.6.8 Tổng hợp các giả thiết của các phương pháp khác nhau trong Slope.W
Bảng 2.2: Các điều kiện cân bằng tĩnh học được thỏa mãn bởi các phương pháp cân bằng giới hạn khác nhau
Phương pháp
Cân bằng lực Cân bằng moment Phương
thứ 1 (*) (dọc)
Phương thứ 2 (*) (ngang) Thông thường hay Fellenius
Bishop đơn giản hóa Janbu đơn giản hóa
Thỏa Thỏa Thỏa
Không thỏa Không thỏa
Thỏa
Thỏa Thỏa Không thỏa
Phương pháp
Cân bằng lực Cân bằng moment Phương
thứ 1 (*) (dọc)
Phương thứ 2 (*) (ngang) Janbu tổng quát hóa
Spencer
Morgenstern - Price
Cân bằng giới hạn tổng quát Hiệp hội kỹ sư Mỹ
Lowe-Karafiath
Thỏa Thỏa Thỏa Thỏa Thỏa Thỏa
Thỏa Thỏa Thỏa Thỏa Thỏa Thỏa
(**) Thỏa Thỏa Thỏa Không thỏa Không thỏa
(*)Bất kỳ một trong hai phương trực giao thể được chọn tổng hợp lực.
(**) Cân bằng moment được dùng để tính nội lực cắt.
Bảng 2.3: Các giả thiết dùng trong các phương pháp cân bằng giới hạn khác nhau
Phương pháp Giả thiết
Thông thường hay Fellenius Bishop đơn giản hóa
Janbu đơn giản hóa
Janbu tổng quát hóa Spencer
Morgenstern-Price
Không xét lực giữa các cột đất
Hợp lực của lực giữa các cột đất nằm ngang (không có lực cắt giữa các cột đất)
Hợp lực của lực giữa các cột đất nằm ngang Một thừa số hiệu chỉnh theo kinh nghiệm fo
được dùng để tính đến lực cắt giữa các cột đất.
Vị trí của lực pháp tuyến giữa các cột đất được xác định bởi một điểm đặt lực giả thiết.
Hợp lực của lực giữa các cột đất có độ nghiêng không đổi trong toàn mặt trượt (tức hàm số lực f(x) = const)
Phương của hợp lực của lực giữa các cột đất
Phương pháp Giả thiết
Cân bằng giới hạn tổng quát
Hiệp hội kỹ sư Mỹ
Lowe-Karafiath
được xác định sử dụng một hàm số bất kỳ.
Phần trăm của hàm số λ cần thỏa mãn cân bằng lực và cân bằng moment được chương trình Slope/w tự tính toán.
Phương của hợp lực của lực giữa các cột đất được xác định sử dụng một hàm số bất kỳ.
Phần trăm của hàm số, tức λ, cần để thỏa mãn cân bằng lực và cân bằng moment được tính toán bằng cách tìm điểm gặp nhau của đồ thị hệ số an toàn λ.
Phương của hợp lực của lực giữa các cột đất là:
- Bằng độ dốc trung bình từ điểm bắt đầu đến điểm kết thúc của mặt trượt, hoặc
- Song song với mặt đất tự nhiên.
Phương của hợp lực của lực giữa các cột đất bằng giá trị trung bình của độ dốc mặt đất và độ dốc đáy mặt trượt