Phương pháp vi phân ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất

3. SAI SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP MÔ HÌNH HÓA SAI SỐ

3.2 Phương pháp mô hình hoá sai số

3.2.1 Phương pháp vi phân ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất

Như trong Chương 2 đã trình bày, theo phương pháp D-H, mối quan hệ động học giữa hai khâu liên tiếp i-1 và i bất kỳ được định nghĩa bởi ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất D- H i1Ti. Ma trận D-H phụ thuộc vào bốn tham số khâu là ai, i, di và qi. Với bài toán động học, chỉ một trong bốn tham số khâu là biến đổi: Nếu khớp i là khớp quay, qi là biến khớp còn ai, i, di là các hằng số; nếu khớp i là khớp trượt, di là biến khớp; còn ai, i, qi là các hằng số, được xác định từ cấu trúc hình học của khâu, khớp.

Thực tế việc xác định các tham số hình học này không thể chính xác tuyệt đối bởi nhiều nguyên nhân: Dung sai chế tạo, biến dạng của khâu, khớp dưới tác dụng của lực tác động, khe hở do chế tạo hoặc mòn trong quá trình làm việc...

Các sai số này sẽ dẫn đến kết quả tính toán của bài toán động học không chính xác. Với bài toán động học thuận vị trí và hướng của khâu thao tác được xác định sẽ sai lệch so với thực tế. Với bài toán ngược, ứng với vị trí cần đạt được của khâu thao tác, giá trị các biến khớp được tính toán có thể sẽ sai lệch so với thực tế dẫn đến việc điều khiển robot không chính xác.

Hình ảnh dưới đây biểu diễn sai số của bốn tham số động học theo mô hình D-H:

Hình 3-4: Biểu diễn sai số theo phương pháp D-H

Như vậy là do có sai số ở các tham số động học nên hệ toạ độ thực tế khi có sai số là Oi errorXi errorYi errorZi error của khâu i đặt tại gốc Oi error, và giá trị thực tế của các tham số D-H này sẽ là ai + dai, i + di, di + ddi và qi + dqi và gây ra một vi phân dịch chuyển, được kí hiệu là ma trận dTi, giữa hai hệ toạ độ i và i-1 [15], [16]. Các giá trị sai số dai, di, ddi và dqi có thể là dương, âm hoặc bằng không.

Trong một số tài liệu [20], [22], [26], [27], [28], các tác giả cũng sử dụng biểu diễn sai số theo phương pháp D-H nhưng có bổ sung thêm thành phần sai số của góc i là góc lệch giữa hai trục quay của hai khớp quay liên tiếp song song với nhau, đo quanh theo trục y, một lượng sai số là di, với lý do là khi chế tạo, không thể đảm bảo hai trục quay của hai khớp song song tuyệt đối.

3.2.1.2 Biểu diễn sai số theo phương pháp tọa độ suy rộng

Theo phương pháp tọa độ suy rộng, mối quan hệ động học giữa hai khâu liên tiếp i-1 và i bất kỳ được định nghĩ bởi ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất i1Ti. Ma trận i1Ti sẽ phụ thuộc vào sáu tham số khâu là ai, bi, ci, i, βi và i. Các tham số này khi chế tạo cũng không thể đạt chính xác tuyệt đối so với kích thước danh nghĩa. Do vậy sẽ gây ra sai số ở sáu tham số ai, bi, ci, i, βi và i và được biểu diễn như hình ảnh dưới đây:

Hình 3-5: Biểu diễn sai số theo phương pháp tọa độ suy rộng

Do có sai số nên hệ tọa độ thực của khớp thứ i sẽ là O x y zie ei ie ei sai lệch vị trí và hướng so với hệ tọa độ mong muốn O x y zi i i i tương ứng là dai, dbi, dci, di, dβi và di . Khi đó sáu tham số động học thực biểu diễn mối quan hệ giữa hai hệ toạ độ i và i–1 là

' , ' , ' , ' , ' , '

i i i i i i i i i i i i i i i i i i

a  a da b  b db c  c dc   d    d    d và gây ra một vi phân dịch chuyển, được kí hiệu là ma trận dTi giữa hai hệ toạ độ i và i–1. Các giá trị sai số da db dc di, i, i, i,d i,d i có thể dương, âm hoặc bằng không.

3.2.1.3 Xây dựng mô hình sai số theo phương pháp vi phân ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất

Mô hình sai số được xây dựng theo phương pháp vi phân ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất như trình bày trong [10, 13-16, 18, 19, 20, 28] và đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Nội dung dưới đây nêu lại phương pháp này.

Như ở Chương 2 đã trình bày, ma trận biểu diễn vị trí và hướng của khâu thao tác của robot N bậc tự do đối với hệ toạ độ cơ sở gắn tại khâu 0 (giá của robot) là:

0 1 1 1

1 2

1

...n n i

N n i

i

T T T T T



  (3.11)

Theo phương pháp D-H hay phương pháp tọa độ suy rộng mà có thể xác định được ma trận biến đổi thuần nhất từ hệ toạ độ gắn trên khớp thứ i-1 đến hệ toạ độ gắn trên khớp thứ i như đã được trình bày trong Chương 2. Để cho thuận tiện, ta thay kí hiệu i1Ti thành

Ti.

Gọi dTi là ma trận vi phân dịch chuyển của ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất Ti. Gọi ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất thực tế khi có các yếu tố sai số giữa khớp thứ i và i-1 là Tie, ta có thể biểu diễn ma trận dTi như sau:

e

i i i

dT T T (3.12)

Hay

e

i i i

T  T dT (3.13)

Tùy theo phương pháp lựa chọn để biểu diễn cấu trúc động học là phương pháp D-H hay phương pháp tọa độ suy rộng mà ta có biểu thức xác định ma trận vi phân dịch chuyển

dTi khác nhau.

Theo phương pháp mô hình D-H ta có biểu thức xác định dTi như sau:

i i i i

i i i i i

i i i i

T T T T

dT dq d da dd

q  a d



   

   

    (3.14)

Nếu trong trường hợp hai khớp quay song song, thêm thành phần sai số di thì dTi được xác định theo phương pháp D-H sẽ là [20], [22], [26], [27], [28]:

i i i i i

i i i i i i

i i i i i

T T T T T

dT dq d da dd d

q  a d 

 

    

    

     (3.15)

Theo phương pháp tọa độ suy rộng ta có biểu thức xác định dTi như sau:

i i i i i i

i i i i i i i

i i i i i i

T T T T T T

dT da db dc d d d

a b c   

  

     

     

      (3.16)

Nếu ta biểu diễn ma trận dTi dưới dạng khác bằng cách nhân bên phải ma trận Ti với ma trậnTi, ta có thể viết:

i i i

dT T T  (3.17)

Ma trận Ti ta gọi là ma trận sai số vị trí và hướng của khớp thứ i.

Sau khi xác định được ma trận sai số Ti, ta có mối quan hệ thực tế (có tính đến sai số của các tham số động học) giữa hệ toạ độ khớp i và i-1 được biểu diễn như sau:

( )

e

i i i i i

T  T dT T IT (3.18)

Với I là ma trận đơn vị.

Công thứ (3.18) xác định ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất thực tế giữa hai khớp i và i- 1 khi có tính đến các sai số của các tham số hình học, động học của từng khớp đơn lẻ. Để xét ảnh hưởng sai số của tất cả các khớp đến sai lệch vị trí và hướng của khâu thao tác, dưới đây ta xét trường hợp tổng quát cho một robot n khâu động có cấu trúc chuỗi hở.

Xét robot có cấu trúc nốiểu tiếp chuỗi hở có n khâu động, 1 khâu cố định như Hình 3-6:

x0

O0 y0

y1 x1

"1"

"0"

z0

z1

x2 z2 y2

yn-1

zn xn

yn xn-1 zn-1

"2"

"n-1"

"n"

on

Hình 3-6: Robot nối tiếp chuỗi hở có n khâu động

Theo phương trình (3.11) và (3.18) ta có ma trận truyền thực tế TNe biểu diễn vị trí và hướng của khâu thao tác so với hệ toạ độ cơ sở o x y z0 0 0 0 khi có tính đến sai số của các tham số động học ở các khâu, khớp gây ra được biểu diễn như sau:

1 1 2 2

1 1

( )( )...( ) ( )

N N

e e

N i N N i i N N

i i

T T T dT T dT T dT T dT T dT

 

         (3.19)

Ở đây dTNbiểu diễn vi phân dịch chuyển vị trí và hướng của khâu thao tác.

Khai triển phương trình (3.19), để nhận được lời giải đơn giản hơn ta bỏ qua những sai lệch thứ hạng bậc cao thứ hai trở lên [14, 19, 20]), ta có kết quả như sau:

 1 1 

1

... ...

N

N N N i i i N

i

T dT T T T dTT T



   (3.20)

Do dTiT Ti itrong phương trình (3.17), từ phương trình (3.20) ta có:

 1 1 

1

... ...

N

N i i i N

i

dT T T dTT T



 (3.21)

 1  1  1 

1

... ...

N

N i N i i N

i

T T T  T T T



 

  (3.22)

Đặt ma trận

1 1 1 1

1 1 2...

0 0 0 1

u u u u

i i i i

i i i N

n o r p

U T T  T      

   

 

  (3.23)

Ta có thể viết lại phương trình (3.22) như sau:

 11 1

1 N

N N i i i

i

dT T UTU



  (3.24)

Gọi TNlà ma trận sai số tịnh tiến theo ba trục và quay quanh ba trục Đề các của khâu thao tác, ta có thể biểu diễn vi phân dịch chuyển vị trí và hướng của khâu thao tác ở dạng khác như sau:

N N N

dT T T (3.25)

Thì từ phương trình (3.24), (3.25) ta có:

 11 1

1 N

N i i i

i

T U TU

  



 (3.26)

Vì TNlà ma trận sai số của khâu thao tác: ba sai số chuyển động tịnh tiến

, ,

N N N

dx dy dz và sai số chuyển động quay xN,yN,zN quanh ba trục đối hệ tọa độ cố định gắn với giá robot, từ đó ta có:

ans( , , ) ( , ) ( , ) ( , )

N N N N N N N

T Tr dx dy dz Rot x x Rot y y Rot z z

     (3.27)

Viết dưới dạng ma trận:

0

0

0

0 0 0 0

N N N

N N N

N

N N N

z y dx

z x dy

T y x dz

 

 

  

  

  

 

 

 

 

(3.28)

Trong tài liệu [14, 19] chỉ ra rằng với ma trận tổng quát có biểu thức dạng T1Tthì ta có thể viết ma trận tương đương như sau:

0 .( ) .( ) .( ) .

.( ) 0 .( ) .( ) .

.( ) .( ) 0 .( ) .

0 0 0 0

n o r n p n d n

n o o r p o d o

r n o r p r d r

  

  

  

    

 

      

 

     

 

 

(3.29)

Với:

o r n r n o n o r

 

 

 

(3.30)

Ở đây T được viết dưới dạng tổng quát hoá là một tổ hợp của bốn véc tơ thành phần n, o, r và p như sau:

0 0 0 1

n o r p

T  

  

  (3.31)

Từ phương trình (3.26), (3.28) và sử dụng tính chất ở phương trình (3.29) ta được:

 

 

 

1 1 1

1

1 1 1

1

1 1 1

1

1 1

1 1

1 1

. ( ).

. ( ).

. ( ).

. . .

N u u u

N i ei i i ei

i

N u u u

N i ei i i ei

i

N u u u

N i ei i i ei

i

N u

N i ei

i

N u

N i ei

i

N u

N i ei

i

dx n p p n

dy o p p o

dz r p p r

x n

y o

z r







 

 

 

  



  



  







 

 

 

    

 

    

 

    



















(3.32)

Ở đây niu1,oiu1,riu1,piu1là các véc tơ thành phần của ma trận Ui1 được định nghĩa ở phương trình (3.23).

Đặt pN dxN dyN dzNtvà N xN yN zNtvà

N M

N

de p



 

  

  (3.33)

deM được gọi là véc tơ sai lệch vị trí và hướng của khâu thao tác của robot. Như vậy ta có mô hình sai số của robot biểu diễn mối quan hệ giữa sai lệch vị trí và hướng của khâu thao tác và các sai số hình học, động học theo phương pháp vi phân ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất được xác định bởi (3.32).

Như đã nêu ra ở trên, khi xây dựng mô hình sai số của robot theo phương pháp vi phân ma trận biến đổi tọa độ thuần nhất ta đã bỏ qua các phần tử sai số ở thứ hạng từ bậc hai trở đi để có phương trình (3.20), do vậy mô hình sai số được xây dựng theo phương pháp này có hạn chế nếu áp dụng trong trường hợp yêu cầu robot đạt độ chính xác cao để ứng dụng robot trong các trường hợp nhiệm vụ công nghệ đòi hỏi độ chính xác cao, còn trường hợp không yêu cầu quá cao về độ chính xác thì ta hoàn toàn có thể áp dụng mô hình sai số theo phương pháp này.

Nhằm mục đích xây dựng được mô hình sai số mà không phải bỏ qua các phần tử sai số ở thứ hạng bậc cao, nội dung tiếp theo luận án đưa ra phương pháp biểu diễn sai số khác, dựa trên phương trình động học đã thiết lập được. Như vậy, để nhận được mô hình sai số chính xác thì việc thiết lập phương trình động học robot cần phải được thực hiện chính xác, vấn đề này đã được thực hiện trong Chương 2.