1.3. Biến đổi Wavelet (Wavelet transform)
1.3.5. Thiết kế bộ lọc Wavelet
Như chúng ta đã thấy trong phần 1.3.3, trong thực tế biến đổi Wavelet có thể được thực hiện bởi một dãy các bộ lọc, tương tự như các băng con.
Quan hệ giữa phân tích và tổng hợp của tỷ lệ và hàm Wavelet cũng làm theo trong các bộ lọc tổng hợp và phân tích các băng con. Do đó ta có thể sử dụng các khái niệm về các bộ lọc trong (1.7) để thiết kế bộ lọc Wavelet. Tuy nhiên, nếu sử dụng bộ lọc sản phẩm như đã được sử dụng cho các băng con, ta không đạt được bất cứ điều gì mới. Nhưng, nếu chúng ta thêm một số ràng buộc về bộ lọc sản phẩm, đó là thuộc tính của biến đổi Wavelet được duy trì, sau đó một bộ lọc Wavelet có thể được thiết kế.
Một trong những ràng buộc bắt buộc phải được trình bày trong bộ lọc sản phẩm P(z) là bộ lọc kết quả H0(z) và H1(z) là liên tục do yêu cầu của định nghĩa Wavelet .
Hơn nữa, đó là đôi khi mong muốn có Wavelet với số lượng lớn nhất có thể dẫn xuất liên tục. Đặc tính này trong điều kiện của biến đổi z có nghĩa là bộ lọc Wavelet và hậu thức bộ lọc sản phẩm nên có các điểm 0 (zeros) tại z= -1. Kích thước hệ số của số dẫn xuất hoặc số các điểm 0 tại z = -1 là được đưa ra bởi tính đều đặn (tính quy luật) của Wavelet và cũng được gọi là những khoảnh số triệt tiêu. Điều này có nghĩa là để có bộ lọc chuẩn (regular filters), bộ lọc phải có đủ số điểm 0 tại z = -1, lớn hơn số lượng các điểm 0, các bộ lọc là chuẩn hơn.
Vì trong hình ảnh, pha mang thông tin quan trọng cần thiết rằng các bộ lọc phải có bộ đáp ứng pha tuyến tính. Mặt khác, mặc dù các bộ lọc trực giao có một thuộc tính lưu trữ năng lượng, hầu hết các bộ lọc trực giao không có pha tuyến tính. Một lớp đặc biệt của các bộ lọc có pha tuyến tính của cả hai trong phân tích và tổng hợp và rất gần với trực giao được gọi là bộ lọc song trực giao (biorthogonal filters). Trong bộ lọc song trực giao, phân tích thông thấp và tổng hợp thông cao là trực giao với nhau và tương tự các phân tích thông cao và tổng hợp thông thấp là trực giao với nhau, vì thế mà có tên bộ lọc song trực giao. Lưu ý rằng, trong các bộ lọc song trực giao, từ đó thông thấp và thông cao của một trong hai bộ lọc phân tích hoặc tổng hợp có thể có độ dài khác nhau, chúng không phải là bản thân trực giao với nhau.
Vì vậy, cho một bộ lọc Wavelet có ít nhất n điểm 0 tại z = -1, ta chọn bộ lọc sản phẩm được:
) ( ) 1 ( )
(z z 1 2 Q z
P = + − n (1.22)
mà Q(z) có n không rõ hệ số. Tùy thuộc vào sự lựa chọn của Q(z) và của Wavelet đều đặn, ta có thể thiết kế một bộ lọc Wavelet như mong muốn. Ví dụ với:
n = 2 và Q(z) = -1 + 4z-1 - z-2 bộ lọc sản phẩm trở thành:
) 4
1 ( ) 1 ( )
(z = +z−1 4 − + z−1 −z−2
P (1.23)
và với một sự gán trọng số thích hợp cho trực chuẩn (orthonormality) và sau đó phân tích, nó dẫn đến thiết đặt hai bộ (5, 3) và (4, 4) giàn bộ lọc của (1.10).
Hệ số gia trọng (weighting factor) được xác định từ (1.7). Các bộ lọc này đã được xuất phát ban đầu cho băng con, nhưng như ta thấy chúng cũng có thể được sử dụng cho Wavelet. Bộ lọc đôi (5, 3) là bộ lọc được đề nghị cho mã hóa không tổn hao (lossless) trong JPEG 2000. Các hệ số của bộ lọc phân tích của nó được cho trong bảng 1.1.
Bảng 1.1. Bộ lọc phân tích thông thấp và thông cao của bộ lọc song trực giao số nguyên (5, 3)
n Thông thấp Thông cao
0 6/8 + 1
± 1 2/8 - 1/2
± 2 -1/8
Một ví dụ khác với:
) 3 6
6 38 1 ( ) 1 ( ) (
3 6 6 38
1 ) ( 3
4 3 2
1 6
1
4 3 2
1
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
− +
− +
=
+
− +
−
=
=
z z z
z z
z P
z z z
z z
Q và n
(1.24) cặp (9,3) của bộ lọc Daubechies được đưa ra trong Bảng 1.2. Các giàn lọc được đề nghị cho mã hóa ảnh tĩnh trong MPEG-4.
Bảng 1.2. Bộ lọc phân tích thông thấp và thông cao của Daubechies (9, 3) lọc song trực giao
n Thông thấp Thông cao
0 0.99436891104360 0.70710678118655
± 1 0.41984465132952 -0.35355339059327
± 2 -0.17677669529665
± 3 -0.06629126073624
± 4 0.03314563036812
Một bộ lọc song trực giao phổ biến là giàn bộ lọc Daubechies (9,7), khuyến khích cho mã hóa hình ảnh có tổn hao (lossy) trong các tiêu chuẩn JPEG2000. Các hệ số của bộ lọc phân tích thông thấp và thông cao được giải trong bảng 1.3. Các bộ lọc này được biết là có hiệu quả nén cao nhất.
Bảng 1.3. Bộ lọc phân tích thông thấp và thông cao của Daubechies (9, 7) lọc song trực giao
n Thông thấp Thông cao
0 0.85269865321930 -0.7884848720618
± 1 0.37740268810913 0.41809244072573
± 2 -0.11062402748951 0.04068975261660
± 3 -0.02384929751586 -0.06453905013246
± 4 0.03782879857992
Bộ lọc tổng hợp thông thấp và thông cao tương ứng có thể được bắt nguồn từ các bộ lọc phân tích ở trên, sử dụng các mối quan hệ giữa các bộ lọc tổng hợp và phân tích được đưa ra bởi (1.4). Đó là G0(z)=H1(-z) và G1(z)=-H0(-z).
Ví dụ
Hình 1.10 cho thấy tất cả bảy subimages tạo ra bởi các bộ mã hóa của hình 1.9 cho một khung đơn của trình tự kiểm tra vườn hoa, với một phân nhánh 9 (nine-tap) thông thấp và phân nhánh 3 thông cao cặp bộ lọc phân tích Daubechies ( 9, 3), được đưa ra trong Bảng 1.2. Các bộ lọc này đã được đề nghị cho phép mã hoá ảnh tĩnh trong MPEG-4, mà đã được hiển thị để đạt được hiệu quả nén tốt.
Hình 1.10. (a) Bảy subimages tạo ra bởi các bộ mã hóa của hình 1.9 (b) Bố trí của các băng riêng lẻ
Hình ảnh ban đầu (không được hiển thị) kích thước là 352 điểm ảnh bởi 240 dòng. Băng 1-4, tại hai cấp độ của các phân khu, được 88 bởi 60, và băng 5-7 là 176 bởi 120 điểm ảnh. Tất cả các băng, nhưng băng 1 (LL2) đã được khuếch đại bởi một hệ số 4 và một độ lệch +128 để tăng cường khả năng hiển thị các mức chi tiết thấp. Phạm vi cho nén băng thông phát sinh chủ yếu là từ các mức năng lượng thấp xuất hiện trong subimages thông cao.
Từ đó tại biên ảnh của tất cả các điểm ảnh đầu vào không có giá trị, một phần mở rộng của các kết cấu đối xứng đầu vào được thực hiện trước khi áp dụng biến đổi Wavelet ở mỗi mức. Các loại đối xứng mở rộng có thể khác nhau. Ví dụ như trong MPEG-4, để đáp ứng các điều kiện xây dựng lại hoàn hảo với Daubechies cặp bộ lọc phân tích (9, 3) tap, hai loại đối xứng mở rộng được sử dụng.
Loại A chỉ được sử dụng ở giai đoạn tổng hợp. Nó được sử dụng ở giai đoạn mép đuôi (trailing edge) của lọc thông thấp và mép trước (leading edge) của lọc thông cao. Nếu các điểm ảnh tại biên của các đối tượng được biểu diễn bởi abcde, sau đó mở rộng loại A trở thành edcba | abcde, nơi mà các
ký tự trong kiểu chữ đậm là những điểm ảnh trên bản gốc và chúng ở trong mặt trơn là những điểm ảnh mở rộng. Lưu ý rằng trong một cặp bộ lọc phân tích (9,3) của bảng 1.2, các cặp bộ lọc tổng hợp sẽ được (3, 9) với G0(z)=H1(-z) và G1(z)= -H0(-z) , như đã được thể hiện trong (1.4).
Loại B là phần mở rộng được sử dụng cho cả mép trước và mép đuôi của các bộ lọc phân tích thông thấp và thông cao. Đối với các bộ lọc tổng hợp, nó được sử dụng tại mép trước của thông thấp, nhưng ở mép đuôi của thông cao. Với loại mở rộng các điểm ảnh ở mép trước và trở thành mép đuôi edcb | abcde và abcde | dcba, tương ứng.