áp dụng cho các hình ảnh hay video mà băng tần này có thể được mã hoá cho phù hợp.
Đối với hiệu quả nén của các băng tần cao hơn, cũng như đối với một loạt các khả năng mở rộng, các hệ số Wavelet cao hơn để được mã hoá với một cấu trúc cây số không giống như Wavelet cây zero (EZW - thuật toán đầu tiên được giới thiệu bởi Shapiro). Phương pháp này và các biến thể của nó được dựa trên hai khái niệm về lượng tử hóa xấp xỉ kế tiếp, và sự khai thác những điểm tương đồng của các băng tần (dải) cùng hướng.
3.2.1. Lượng tử hóa xấp xỉ kế tiếp (Quantization by successive approximation) Lượng tử hóa xấp xỉ kế tiếp là biểu diễn của một giá trị hệ số Wavelet trong điều kiện của các bước tiền lượng tử hóa kích thước nhỏ dần. Số lượng bước của xấp xỉ phụ thuộc vào biến dạng định lượng như mong muốn. Để xem xấp xỉ kế tiếp dẫn đến sự lượng tử hóa như thế nào, hãy xem xét hình 3.2, nơi mà một hệ số chiều dài L được tinh chế trở thành giá trị lượng tử cuối cùngLˆ .
Hình 3.2. Nguyên tắc của xấp xỉ kế tiếp
Quá trình này bắt đầu bằng cách chọn một đơn vị chiều dài bằng l. Giá trị của l được thiết lập để phân nửa các hệ số lớn nhất trong hình ảnh. Nếu hệ số lớn hơn l, nó được biểu diễn theo l, nếu không thì giá trị của nó được thiết lập bằng 0. Với các giá trị vượt quá l, sai số giữa giá trị của nó với l được biểu diễn bằng giá trị l’ mới. Quá trình được tiếp tục, sao cho các sai cuối cùng là chấp nhận được. Do đó, bằng cách tăng số lượng bỏ qua những lỗi trong các biểu diễn của L cho L ˆ do có thể được làm nhỏ tuỳ ý.
Đối với hình 3.2, chiều dài lượng tử hoá L có thể được diễn tả như:
32 16 2 1 32
1 16 0 8
0 4 1 2
ˆ 0 l l l l l l l l
l
L = × + × + × + × + × + × = + + (3.4)
Với cách tiếp cận này, chỉ cần dựa trên l, các hệ số của nó tương ứng là 0 hay 1. Quá trình này được trong thực tế, tương đương với biểu diễn nhị phân của số thực, được gọi là biểu diễn mặt phẳng bit, trong đó mỗi số được biểu diễn bởi một chuỗi các ký hiệu 0 và 1. Bằng cách tăng số lượng các chữ số, sai số trong biểu thị có thể được làm nhỏ tuỳ ý.
Lượng tử hoá mặt phẳng bit là một hình thức xấp xỉ kế tiếp đã được sử dụng trong một số bộ mã hoá - giải mã (codecs) tiêu chuẩn như tiêu chuẩn JPEG2000. Ở đây, các hệ số Wavelet lần đầu tiên biểu diễn ở độ chính xác tối đa có thể. Điều này phụ thuộc vào độ phân giải điểm ảnh đầu vào (ví dụ như 8 bit) và hệ số dải động của bộ lọc Wavelet . Các biểu tượng biểu diễn cho hệ số lượng tử hoá được mã hoá một bit tại một thời gian, bắt đầu với bit có giá trị cao nhất (most significant bit - MSB) và trước cho bit có giá trị thấp nhất (least significant bit - LSB). Vì vậy, đối với một M-bit, lượng tử hoá mặt phẳng (plane quantisation) với kích thước của bước lượng tử hoá tốt nhất Δ, đơn vị ước lượng là Δ2M-l. Δ được gọi là kích thước bước lượng tử hoá cơ bản.
3.2.2. Những điểm giống nhau giữa các băng tần
Một biến đổi Wavelet hai giai đoạn (bảy băng tần) của ảnh được minh họa trong hình 1.10. Có thể thấy rằng các băng tần dọc giống như các phiên bản thu nhỏ của nhau, cũng như các băng tần ngang và đường chéo. Quan tâm đặc biệt trong các ảnh con là một thực tế rằng hệ số không có nghĩa từ các băng tần của cùng một hướng có xu hướng trong cùng một địa điểm tương ứng. Ngoài ra, các biên được xấp xỉ tại cùng một vị trí tương ứng. Xét rằng các ảnh con của các băng tần thấp hơn (giai đoạn cao hơn của phân giải) có một nửa kích thước của các băng tần cao hơn, sau đó người ta có thể làm cho một cây tứ phân (quad tree) biểu diễn của các băng tần cùng hướng, như trong hình 3.3 cho mười băng tần (biến đổi Wavelet ba giai đoạn).
Hình 3.3. Cây tứ phân biểu diễn của các băng tần cùng một hướng Trong hình này một hệ số trong băng tần dọc thấp nhất, LH3, tương ứng với bốn hệ số của băng tần LH2 trực tiếp cao hơn của nó, mà liên quan đến 16 hệ số trong LH1. Vì vậy, nếu một hệ số trong LH3 là bằng 0, có khả năng là con của nó trong những băng tần cao hơn của LH2 và LH1 là bằng 0.
Điều này cũng đúng cho băng tần ngang và đường chéo. Cây số không là một cách biểu diễn hiệu quả cho một nhóm lớn các số 0 của hệ số Wavelet . Ở
đây, rễ của cây số không đòi hỏi phải được xác định và sau đó là hậu duệ ở băng tần cao hơn có thể được bỏ qua.