Lý thuyết về biểu diễn tư thế vệ tinh đã có từ rất lâu và thông qua các phương pháp biểu diễn phương hướng của vật rắn trong một hệ quy chiếu cho trước và có nguồn gốc từ ngành cơ học cổ điển. Phương pháp cổ điển nhất là biểu diễn phép quay khung tọa độ gắn với vật rắn thành khung tọa độ quy chiếu bằng một ma trận cosine chỉ hướng với 9 phần tử. Tuy nhiên, trong các bài toán thực tế, phương pháp ma trận cosine chỉ hướng có nhược điểm là có quá nhiều ẩn số, gây phức tạp trong việc tính toán và xử lý.
Đây là cơ sở để nhà toán học và vật lý học Leonhard Euler cho ra đời phương pháp góc Euler. Việc sử dụng Góc Euler để biểu diễn phương hướng có nhiều ưu điểm to lớn trong các lĩnh vực hàng không – vũ trụ. Bộ 3 góc Euler không chỉ làm đơn giản hóa bài toán động học (3 ẩn số hay vì 9 ẩn số). Phương pháp này còn có ưu điểm nổi bật là tính trực quan do biểu diễn tư thế vệ tinh bằng 3 góc chúc (pitch), nghiêng (roll) và hướng (yaw). Tuy nhiên, nhược điểm của phương pháp biểu diễn tư thế bằng các góc Euler là gây ra hiện tượng “gimbal lock” do những xuất hiện điểm kỳ dị (khi một mặt phẳng tọa độ bất kỳ của khung vật rắn và mặt phẳng tọa độ khung quy chiếu trùng nhau) khiến không thể tìm được nghiệm duy nhất. Đến năm 1980, phương pháp quaternion bắt đầu
được trở thành phương pháp ứng dụng chủ đạo trong các lĩnh vực hàng không – vũ trụ do những ưu điểm về tính toán [1] .
Gần đây, Russell P. Patera đã công bố kết quả nghiên cứu về cơ sở toán học cho biểu diễn tư thế vệ tinh [58] Đây là một phương pháp biểu diễn tư thế vệ tinh hoàn toàn mới, có khả năng cải thiện đáng kể tốc độ tính toán và biểu diễn hình học, hứa hẹn mở ra nhiều hướng nghiên cứu đặc biệt là thử nghiệm các thuật toán ước lượng và điều khiển tư thế vệ tinh.
Dưới đây là mô tả của phương pháp biểu diễn tư thế phố biến nhất (quaternion) và phương pháp mới nhất (Pivot), các phương pháp biễu diễn khác được trình bày trong [1] .
1.3.1 Biểu diễn tư thế vệ tinh bằng quaternion
Quaternion là một phương pháp mô tả tư thế thông dụng nhất trong kỹ thuật vệ tinh hiện nay do không bị suy biến và có thể mô tả góc quay lớn. Quaternion gồm 4 thành phần bao gồm một véc tơ 31 v và một biến vô hướng q4 như sau:
1 2
3 4
4
q q
q q
q
q v ;
1 2 3
q q q
v (1.2)
Ta có thể biểu diễn q dưới dạng góc và trục Euler (,aˆ) như sau:
4
sin 1, 2, 3 2
cos 2
i i
q a i
q
(1.3)
Với 4 tham số, quaternion không có các điểm suy biến, tuy nhiên nó luôn cần thoả mãn ràng buộc đơn vị sau:
T 2 2 2 2
1 2 3 4 1
q q q q
q q (1.4) Quaternion có thể viết dưới dạng số phức cặp 4 như sau:
4 1 2 3
q q i q j q k
q (1.5) Với việc mô tả phép quay (,aˆ) dưới dạng số phức cặp 4 ta có:
ˆ Φ
cos sin
2 2
q a (1.6) Một số tính chất của quaternion:
1 2 q14q24 i q11q21 j q12q22 k q13q23
q q (1.7)
Giá trị bù q* và chuẩn q của quaternion được xác định như sau:
4 1 3 3
2 2 2 2
1 2 3 4
q iq jq kq
q q q q
q
q (1.8)
Phép nhân:
1 1 14
2 2 24
, ,
q q
q v
q v
(1.9)
q q14 24 1T 2 q14 1 q24 2 1 2
1 2
q q v v v v v v (1.10)
Phép đảo:
1
q
q qq (1.11) từ đây ta có
1
q q (1.12) Ma trận quay có thể tính được từ quaternion theo công thức:
q42 T 2 T 2q4
R v v 1 vv v (1.13) trong đó
3 2
3 1
2 1
0 0
0
q q
q q
q q
v (1.14)
Phép quay của điểm p trong không gian xung quanh trục aˆ một góc được mô tả theo quaternion bằng biểu thức:
0,
p
q p (1.15)
1
p q qq q trong đó qp là quaternion của điểm p và
cos ˆsin
2 2
q a (1.16)
-1 cos ˆsin
2 2
q a
quaternion đơn vị qid có dạng
id 1
q 0 (1.17)
Chuỗi quay được biểu diễn bằng tích của các quaternion:
q1 q2 q q1. 2
R R R (1.18) 1.3.2 Biểu diễn tư thế vệ tinh bằng các vec-tơ Pivot
Đây là một phương pháp biểu diễn tư thế vệ tinh hoàn toàn mới đã được Russell P. Patera công bố tại [58] . Nền tảng hình học của phép biểu diễn Pivot là biểu diễn phép quay như một cung trên đường tròn lớn của một mặt cầu đơn vị. Cho một phép quay một khung tọa độ bất kỳ quanh trục Euler e với góc quay (e là Vec-tơ đơn vị đi qua gốc tọa độ), phép quay Pivot tương ứng được xác định như sau:
Hình 1.4. Phép quay Pivot
Trên mặt phẳng quay (mặt phẳng đi qua gốc tọa độ, vuông góc Vec-tơ trục quay e), xác định hai Vec-tơ p1 và p2 là hai Vec-tơ đơn vị, đi qua gốc tọa độ và có góc giữa chúng là 2 .
Hình 1.5. Biến đổi của Pivot Vec-tơ biểu diễn bằng các phép quay quanh trục cố định
1. Thực hiện phép quay R1 một góc 180 độ quanh p1, từ p2 ta có p 2. 2. Thực hiện phép quay R2 một góc 180 độ quanh p 2, từ p1 ta có p 1.
3. Dễ dàng thấy rằng p 1 và p 2 chính là p1 và p2 sau khi thực hiện phép quay ( , )
R e . Như vậy bằng cách thực hiện liên tiếp hai phép quay R1 và R2 , ta thu được kết quả của phép quay R( , )e . Nói cách khác, phép quay R( , )e còn có thể được biểu diễn bởi hai Vec-tơ p1 và p2.
Với cách biểu diễn Pivot này, ta có thể thấy rằng hai Vec-tơ p1 và p2 không cần thiết phải được xác định cụ thể: ta có thể chọn một cặp Vec-tơ bất kỳ trên mặt phẳng quay sao cho góc giữa chúng là 2.
Điểm mạnh của phép quay Pivot là khả năng tổng hợp các phép quay rất dễ dàng bằng cách lựa chọn sao cho Vec-tơ Pivot thứ hai của phép quay thứ nhất trùng với Vec- tơ Pivot thứ nhất của phép quay thứ hai. Tức là:
( ) ( ). ( 3)
R p ,p1 3 R p ,p1 2 R p ,p2 (1.19) 180 độ
180 độ p1
p2
p'2
p'1
Hình 1.6. Tam giác cầu mô tả tổng hợp các phép quay
Về bản chất hình học, các Vec-tơ Pivot chính là giao tuyến của các mặt phẳng quay. Với hình thức biểu diễn bằng hai Vec-tơ, một bộ tham số Pivot sẽ có 6 phần tử.
Tuy nhiên, do hai Vec-tơ Pivot luôn nằm trên cùng một mặt phẳng, nên thực tế chỉ có 4 phần tử là độc lập.
Tuy nhiên, đến nay vẫn chưa có công trình công bố nào về các kết quả nghiên cứu và ứng dụng phương pháp Pivot. Đây hứa hẹn sẽ mở ra các hướng nghiên cứu mới nhằm đánh giá tiềm năng ứng dụng của cách biểu diễn trong ước lượng và điều khiển tư thế vệ tinh.
1.3.3 Sai lệch tư thế vệ tinh Ma trận sai lệch tư thế R
Tư thế vệ tinh được xác định qua ma trận quay R R ib. Gọi o là khung toạ độ mong muốn ta có Rd Rio. Và ta muốn b được quay trùng với o nghĩa là RRdTa có thể định nghĩa ma trận sai lệch tư thế R như sau :
-1 T
d ib d ib
R R R R R (1.20) Khi sai lệch tư thế bằng 0 lúc đó ta có R1.
Tính sai lệch tư thế với quaternion q
Khi sử dụng quaternion ta xác định sai lệch tư thế q có dạng:
p3
p2
p1
4 d
4 4
d d
T
d d
q q q
v 1 v v q q q
v (1.21)
trong đó
1d
2d d
d
3d 4d
4d
q q
q q
q
q v là quaternion mong muốn và
1 2
3 4
4
q q
q q
q
q v là quaternion
thực tế. Ta có
4 1 2 3
1 1
1 4 3 2
2 2
2 3 4 1
3 3
3 2 1 4
4 4
d d d d
d d d d
d d d d
d d d d
q q q q
q q
q q q q
q q
q q q q
q q
q q q q
q q
(1.22) Với sai lệch quaternion bằng 0, quaternion sai lệch có thể lấy 2 giá trị
d 1
q q q 0
(1.23)
1 2 3 a
u u u
u (1.24)
Do những ưu điểm của phương pháp biểu diễn tư thế bằng quaternion, nên đây là phương pháp phổ biến và hiệu quả cho các thuật toán xác định và tư thế trên vệ tinh nhỏ. Trong khuôn khổ của luận án này, tác giả cũng chọn quaternion là phương pháp biểu diễn tư thế để phục vụ cho các phân tích, tính toán và mô phỏng. Ngoài ra, phương pháp biểu diễn tư thế bằng các vec-tơ Pivot cũng được nghiên cứu và đề xuất phương án xác định tư thế vệ tinh nhằm đặt nền tảng cho các thuật toán dự đoán tư thế sau này sử dụng phép biểu diễn này [58] .