CHƯƠNG 1 XÁC SUẤT VÀ CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
1.4. Xác suất trong chẩn đoán
1.4.3. Mô hình ngưỡng (Threshold Model)
Trước khi cho làm xét nghiệm T, bác sĩ nghi ngờ bệnh nhân bị bệnh B, ký hiệu P(B+), là bao nhiêu?
Dưới góc độ xác suất tại một thời điểm, xác suất bị bệnh, P(B+), là trong khoảng (0;1) Không điều trị Xét nghiệm Điều trị
Tt T P(B)
Tt :là vị trí mà tại đó không có sự khác biệt về giá trị giữa kết quả xét nghiệm với việc không điều trị. Tt được gọi là ngưỡng xét nghiệm.
Nếu P(B+) < Tt bác sĩ cho rằng bệnh nhân không bị bệnh, do đó không cần làm xét nghiệm cũng không cần phải điều trị.
T: là vị trí mà tại đó không có sự khác nhau về giá trị giữa kết quả xét nghiệm với việc có điều trị. T được gọi là ngưỡng điều trị.
Nếu P(B+) > T bác sĩ cho rằng bệnh nhân bị bệnh, do đó bác sĩ cứ điều trị cho bệnh nhân mà không cần làm xét nghiệm.
Ngưỡng xét nghiệm Tt và ngưỡng điều trị T được tính theo công thức sau:
.(1 ) 1
.(1 ) . 1 .
1
t R Sp
T R Sp B Sn B Sn
R Sp
hoặc ( ) . 1
t R
Od T B LR
. 1
. .(1 ) 1 .1
T R Sp BR Sp Sn B Sn R Sp
hoặc ( ) . 1
Od T R
B LR trong đó: R là tỷ lệ rủi ro (Ricks)
B là tỷ lệ lợi ích (benefits)
Hai giá trị Tt và T chia đoạn [0;1] thành ba vùng: vùng không điều trị, vùng xét nghiệm và vùng điều trị. Mức độ rộng hẹp của ba vùng này tùy thuộc vào giá trị Tt và T .
Trường hợp xét nghiệm khá chính xét, ít rủi ro và ít tốn kém, bác sĩ thường cho làm xét nghiệm rộng rãi dù P(B+) cao hay thấp Vùng xét nghiệm rộng ra.
Ngược lại, nếu xét nghiệm ít chính xác hoặc nhiều rủi ro và tốn kém thì bác sĩ ít chỉ định làm xét nghiệm Vùng xét nghiệm thu hẹp lại.
Mô hình ngưỡng giải thích việc bác sĩ cho làm xét nghiệm T hay điều trị hay không điều trị là tùy vào P(B+) rơi vào cùng nào.
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
XÁC SUẤT VÀ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
Bài 1.1. Một lớp học có 60 sinh viên, trong đó có 20 sinh viên nữ. Chọn ngẫu nhiên 1 nhóm gồm 10 sinh viên trong lớp trên. Tính xác suất trong nhóm sinh viên được chọn có:
a) đúng 3 sinh viên nữ. b) có ít nhất 1 sinh viên nữ.
c) không có sinh viên nữ nào. d) có nhiều nhất 8 sinh viên nữ.
Bài 1.2. Một lớp có 50 sinh viên, trong đó có 20 nữ và 30 nam. Trong kỳ thi môn toán có 10 sinh viên đạt điểm giỏi, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Gọi tên ngẫu nhiên một sinh viên trong danh sách lớp. Tìm xác suất gọi được sinh viên đạt điểm giỏi môn toán, biết rằng sinh viên đó là nữ?
Bài 1.3. Một hộp đựng 10 phiếu trong đó chỉ có 2 phiếu có trúng thưởng. Có 10 người lần lượt rút ngẫu nhiên mỗi người một phiếu.
a) Tính xác suất người thứ ba rút được phiếu trúng thưởng?
b) Giả sử người thứ ba rút được phiếu trúng thưởng, tính xác suất người thứ nhất rút được phiếu trúng thưởng?
Bài 1.4. Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên hai viên đạn vào cùng một bia. Xác suất trúng bia của viên thứ nhất là 0,85; nếu viên thứ nhất trúng bia thì xác suất trúng bia của viên hai là 0,8, còn nếu viên thứ nhất không trúng bia do tâm lý xác suất trúng bia của viên thứ hai là 0,55. Tính xác suất a) cả hai viên đạn trúng bia? b) viên thứ hai trúng bia? c) cả hai viên đều trật?
Bài 1.5. Xác suất bắn trúng bia của mỗi viên đạn là 0,75.
a) Bắn ngẫu nhiên 15 viên đạn. Tính xác suất có trúng bia?
b) Phải bắn ít nhất bao nhiêu viên đạn để xác suất có trúng bia lớn hơn 95%?
Bài 1.6. Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 19%, mắc bệnh huyết áp là 12%, mắc cả hai bệnh này là 5%.
a) Chọn ngẫu nhiên 1 người trong vùng. Tính xác suất để người đó a1) bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp?
a2) không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp?
a3) không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp?
a4) bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp?
a5) không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp?
b) Khám ngẫu nhiên 1 người và thấy có dấu hiệu mắc bệnh huyết áp. Tính xác suất người này bị bệnh tim?
c) Khám ngẫu nhiên 1 người và thấy không có dấu hiệu mắc bệnh huyết áp. Tính xác suất người này không bị bệnh tim?
d) Khám ngẫu nhiên 15 người trong vùng. Tính xác suất trong 10 người được khám không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh tim?
e) Khám ngẫu nhiên 20 người trong vùng. Tính xác suất trong 20 người được khám không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người khỏe mạnh (không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp)?
f) Cần khám tối thiểu bao nhiêu người trong vùng sao cho xác suất có ít nhất một người bị bệnh tim 90%?
Bài 1.7. Trong dân số, tỷ lệ bệnh A là 25%, tỷ lệ bệnh B là 35% và trong số những người bệnh A thì tỷ lệ bệnh B là 75%.
a) Khám ngẫu nhiên một người và thấy người này bị bệnh B. Tính xác suất người này mắc bệnh A?
b) Khám ngẫu nhiên một người khác và thấy người này không bị bệnh B. Tính xác suất người này không bị bệnh A?
c) Khám ngẫu nhiên 15 người, tính xác suất không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh B?
d) Khám ngẫu nhiên 20 người, tính xác suất không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh A?
e) Khám ngẫu nhiên 25 người, tính xác suất không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người bị bệnh A và bị bệnh B?
f) Khám ngẫu nhiên 30 người, tính xác suất có không có người, đúng 1 người, ít nhất 1 người khỏe mạnh (không bị bệnh A cũng không bị bệnh B)?
Bài 1.8. Có ba hộp đựng thuốc. Hộp B1 có 15 lọ thuốc trong đó có 5 lọ hỏng và 10 lọ tốt; hộp B2 có 20 lọ trong đó có 8 lọ hỏng và 12 lọ tốt; hộp B3 có 25 lọ thuốc trong đó có 10 lọ hỏng và 15 lọ tốt.
a) Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp 1 lọ. Tính xác suất trong 3 lọ được lấy có 2 lọ hỏng; ít nhất 1 lọ hỏng;
2 lọ tốt?
b) b1) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên 1 lọ. Tính xác suất lấy được lọ thuốc tốt? lọ thuốc hỏng?
b2) Nếu lấy được lọ tốt, phán đoán lọ tốt được lấy thuộc hộp nào?
c) Dồn chung ba hộp lại, sau đó lấy ngẫu nhiên 3 lọ. Tính xác suất trong 3 lọ được lấy có 2 lọ tốt;
ít nhất 1 lọ tốt; không có lọ hỏng?
Bài 1.9. Một dân số có 45% đàn ông và 55% phụ nữ. Tỷ lệ loạn sắc của đàn ông là 4% và của phụ nữ là 0,5%. Chọn ngẫu nhiên một người trong số đó.
a) Tính xác suất người này bị loạn sắc?
b) Nếu người này bị loạn sắc, tính khả năng người này là phụ nữ?
c) Nếu người này không bị loạn sắc thì khả năng người này là đàn ông bao nhiêu?
Bài 1.10. Bệnh A có thể đưa đến hậu quả: Chết 10%, liệt nửa người 40%, liệt hai chân 30%, khỏi hoàn toàn 20%.
a) Tính xác suất người bệnh không chết, người bệnh bị tật (liệt nửa người hoặc liệt hai chân)?
b) Nếu người bệnh không chết, tính xác suất để người đó bị tật?
Bài 1.11. Ở một vùng cứ 100 người thì có 30 người hút thuốc lá. Biết tỉ lệ người bị viêm họng trong số người hút thuốc là 60%, còn trong số người không hút là 10%.
a) Khám ngẫu nhiên một người. Tìm xác suất để người đó bị viêm họng.
b) Giả sử người được khám bị viêm họng. Tìm xác suất anh ta hút thuốc.
c) Nếu người đó không bị viêm họng thì xác suất để anh ta hút thuốc bằng bao nhiêu?
Bài 1.12. Tỷ lệ bệnh B của trẻ em trai trong dân số là 20% và của trẻ em gái là 25%. Khám ngẫu nhiên 7 trẻ em trai và 8 trẻ em gái. Tính xác suất trong 15 trẻ được khám có 1 trẻ, 2 trẻ, không có trẻ, ít nhất 1 trẻ bị bệnh B?
Bài 1.13. Một hồi cứu về bệnh ung thư vú sau phẩu thuật cho biết: Tỷ lệ sống không quá 5 năm là 35%, tỷ lệ có hạch di căn là 30%. Trong hồi cứu này số ca vừa sống qua 5 năm và có di hạch di căn bằng phân nữa số ca không có hạch di căn và không sống quá 5 năm.
a) Một người bị ung thư vú và có hạch di căn. Tính khả năng người này sống quá 5 năm sau phẫu thuật?
b) Một người bị ung thư vú và không có hạch di căn. Tính khả năng người này sống quá 5 năm sau phẫu thuật?
Bài 1.14. Tỷ lệ suy tim trong dân số là 3%, tỷ lệ bướu cổ là 12%, trong những người bướu cổ thì tỷ lệ suy tim là 10%.
a) Khám tối thiểu bao nhiêu người để xác suất gặp được người vừa bị bướu cổ vừa bị suy tim lớn hơn 95%?
b) Khám tối thiểu bao nhiêu người để xác suất gặp được người bị bướu cổ lớn hơn 90%?
c) Một người đến khám, thấy có dấu hiệu suy tim. Tính xác suất người này bị bướu cổ?
d) Một người đến khám, thấy không có dấu hiệu suy tim. Tính khả năng người này không bị bướu cổ?
Bài 1.15. Một bệnh nhân uống nhầm một trong ba loại thuốc A, B, hoặc C bề ngoài rất giống nhau để trong tủ thuốc, biết rằng có 3 lọ loại A, 5 lọ loại B và 2 lọ loại C. Uống nhầm loại thuốc nào cũng gây hạ huyết áp, biết rằng có 75% nếu dùng thuốc loại A, 65% nếu dùng thuốc loại B và 20% nếu dùng thuốc loại C.
a) Tính xác suất bệnh nhân trên bị hạ huyết áp?
b) Giả sử bệnh nhân trên bị hạ huyết áp. Ba loại thuốc trên có cách xử lý khác nhau và không tương thích. Nếu không xử lý kịp thời sẽ để lại di chứng biết rằng khả năng để lại di chứng là 12% nếu uống nhầm thuốc loại A, 15% nếu uống nhầm thuốc loại B và 20% nếu uống nhầm thuốc loại C. Để hạn chế di chứng phải xử lý theo hướng nào? (nhầm A, nhầm B hay nhầm C) Bài 1.16. Theo tài liệu nghiên cứu: trong 100 người bị đau nhói dưới ngực thì có 10 người bị bệnh mạch vành, 20 người bị bệnh đường hô hấp, 30 người bị bệnh đường tiêu hóa và số còn lại khỏe mạnh bình thường. Gọi A là biến cố triệu chứng đau dưới ngực khi gắng sức và hết đau khi nghỉ ngơi. Biết rằng nếu người bị bệnh mạch vành thì chắc chắn có triệu chứng A, nếu bị bệnh đường hô hấp thì 25% có triệu chứng A, nếu bị bệnh đường tiêu hóa thì có 35% có triệu chứng A. Một người có triệu chứng A đến khám bệnh, bác sĩ chỉ nghĩ đến 3 bệnh trên. Khả năng người này bị bệnh nào là cao nhất?
XÁC SUẤT TRONG CHẨN ĐOÁN
Bài 1.17. Bệnh M chỉ có hai loại là M1 và M2. Chỉ xét hai triệu chứng là S1 và S2. Lấy ngẫu nhiên 390 người bệnh M, có 190 người thuộc loại M1 và 200 người thuộc loại M2. Phân tích như sau:
S1 S1 S1 S1
M1: S2 30 100 M2: S2 35 25
S2 20 40 S2 80 60 a) Đặt xét nghiệm T chẩn đoán bệnh M2: T dương tính khi người bệnh M2 có S2 và T âm tính khi
người bệnh M không có S2. Tính độ nhạy, độ chuyên, PV P M T( 2| ), PV P M( 2| )T của T?
b) Đặt xét nghiệm U chẩn đoán bệnh M1: U dương tính khi người bệnh M1 có S2 và U âm tính khi người bệnh M không có S2. Tính độ nhạy, độ chuyên,
( 1| ),
PV P M U PV P M U( 1| ) của T?
Bài 1.18. Bệnh M có hai loại M1 và M2. Bác sĩ chỉ xét hai triệu chứng S1 và S2 đối với bệnh M.
Trong tổng thể các bệnh nhân bị bệnh M, lấy ngẫu nhiên 400 người thì có 208 người bị M1 và 192 người bị M2. Trong 208 người bị M1 có 37 người không có S1 và không có S2, 103 người có S1 và không có S2, 21 người không có S1 và có S2. Trong 192 người bị M2 có 33 người không có S1 và không có S2, 22 người có S1 và không có S2, 74 người không có S1 và có S2.
a) Đối với bệnh nhân bị bệnh M, tính xác suất bị M1 và xác suất bị M2 của bệnh nhân trong các trường hợp sau:
a1) không có S1 và không có S2? a2) có S1 và không có S2?
a3) không có S1 và có S2? a4) có S1 và có S2?
b) Đối với bệnh nhân bị bệnh M, đặt xét nghiệm T chẩn đoán bệnh nhân đó bị M2 như sau: T dương tính khi bệnh nhân có S2 và T âm tính khi bệnh nhân đó không có S2. Tính độ nhạy và độ chuyên của xét nghiệm T?
Bài 1.19. Một người đến khám vì ho ra máu. Theo kinh nghiệm của bác sĩ thì những trường hợp như vậy có thể là:
+ B1 = lao phổi với xác suất 0,60 + B2 = dãn phế quản với xác suất 0,30 + B3 = bệnh khác với xác suất 0,10
Cho bệnh nhân làm xét nghiệm IDR. Kết quả IDR+.
Theo kinh nghiệm của phòng xét nghiệm thì IDR+ trong bệnh nhân lao phổi là 0,70 và dương giả trong bệnh nhân khác là 0,05.
Tính khả năng bệnh nhân trên bị lao phổi?
Bài 1.20. Tỷ lệ bệnh B trong một vùng là 20%. Để chẩn đoán bệnh B, bác sĩ dùng xét nghiệm T1. Biết xét nghiệm T1 có độ nhạy là 90% và độ chuyên là 80%.
a) Khám ngẫu nhiên 20 người trong vùng. Tính xác suất có đúng 3 người, ít nhất 1 người, nhiều nhất 2 người bị bệnh B?
b) Một người đến khám bệnh, bác sĩ cho làm xét nghiệm T1, kết quả T1 dương tính. Tính xác suất người này mắc bệnh B?
c) Bác sĩ cho người này tiếp tục làm xét nghiệm T2, biết độ nhạy và độ chuyên của xét nghiệm T2
bằng nhau và bằng 85%.
c1) Nếu kết quả xét nghiệm T2 của người này là dương tính, tính xác suất người bị bệnh B?
c2) Nếu kết quả xét nghiệm T2 của người này là âm tính, tính xác suất người bị bệnh B?
Bài 1.21. Một người “nghi ngờ” mình bị bệnh B nên xin làm xét nghiệm để kiểm tra. Có hai xét nghiệm T1 và T2 có chi phí và cách thực hiện như nhau. Biết độ nhạy và độ chuyên của T1 là 85% và 90%; còn T2 là 92% và 82%.
a) Nên chọn xét nghiệm nào để kiểm tra người này? Tại sao?
b) Biết tỷ lệ bệnh này trong dân số là 20/00 và xét nghiệm vừa chọn của người này có kết quả dương tính. Tính khả năng người này bị bệnh B?
c) Một người đến khám bệnh, bác sĩ cho làm xét nghiệm T, kết quả T âm tính. Tính xác suất người này không mắc bệnh B?
Bài 1.22. Số bệnh nhân đến khám tại một phòng khám thường bị một trong ba bệnh B1, B2, B3 với tỷ lệ 35%, 45%, 20%. Để chẩn đoán, bác sĩ dùng ba xét nghiệm T1, T2, T3, kết quả mỗi xét nghiệm là + hay – (ký hiệu 1 hay 0)
Biết 1 1 1
2 2 3
(001| ) 0,3; (100 | ) 0,25; (011| ) 0,45 (000 | ) 0,25; (010 | ) 0,75; (111| ) 1
P B P B P B
P B P B P B
a) Một bệnh nhân đến khám có T1 âm, T2 dương thì khả năng người này bị bệnh B1, B2, B3 là bao nhiêu?
b) Tương tự câu a) nhưng T1 âm, T2 âm?
c) Chứng tỏ rằng chỉ cần 2 trong 3 xét nghiệm trên là đủ chẩn đoán bệnh B1, B2 hoặc B3?
Bài 1.23. Bệnh B có 3 loại B1, B2, B3 lần lượt có tỷ lệ tương ứng là 30%, 20% và 50%. Để chẩn đoán bệnh B, bác sĩ dùng xét nghiệm T, biết P T B | 1 25%; P T B | 2 10%;
| 3 85%
P T B
a) Một người đến khám bệnh, Bác sĩ cho làm xét nghiệm T, kết quả dương tính. Tính xác suất người đó bị bệnh B1? B2? B3?
b) Một người đến khám bệnh, Bác sĩ cho làm xét nghiệm T, kết quả âm tính. Tính xác suất người đó bị bệnh B1? B2? B3?
Bài 1.24. Hai xét nghiệm T1 và T2 được dùng để chẩn đoán bệnh B. Bệnh này không lây lan và diễn tiến bệnh là tử vong nếu không được chẩn đoán và điều trị; việc điều trị bệnh này cũng không tốn kém. Biết xét nghiệm T1 cho âm giả 2%, dương giả 25% và xét nghiệm T2 cho âm giả 25%, dương giả 2%.
a) Tính độ nhạy và độ chuyên của xét nghiệm T1 và T2?
b) Nếu chỉ dùng 1 trong hai xét nghiệm để chẩn đoán bệnh nhân nghi ngờ mắc bệnh B, nên dùng xét nghiệm nào? Tại sao?
Bài 1.25. Chị A đến khám bệnh vì thấy đau ở vú. Bác sĩ nghi ngờ chị A bị K vú với xác suất là 0,001. Chị A được cho làm xét nghiệm T1 và có kết quả là dương tính biết xét nghiệm T1 có độ nhạy là 99% và độ chuyên là 88%. Sau khi có kết quả T1, chị A được cho làm tiếp xét nghiệm T2
và kết quả xét nghiệm T2 cũng dương tính, biết xét nghiệm T2 có độ nhạy 88% và độ chuyên là 99%.
a) Tính xác suất chị A bị K vú?
b) Với 2 xét nghiệm T1, T2 nên cho chị A làm xét nghiệm nào trước và xét nghiệm nào sau? Giải thích?