CHƯƠNG 3 CÁC PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
3.10. Các công thức tính xấp xỉ
3.10.3. Xấp xỉ phân phối siêu bội bằng phân phối nhị thức
N (p0,p1) thì ( , )
F
X B n p
Ý nghĩa: Giả sử X H(N;NA;n) Với n 0,05
N thì X B(n;p) với p NA N
+ ( ) ; 1
A A
i n i
N N N i i n i
n n N
P X i C C C p q q p
C
Chú ý: Khi np10;nq10 thì phân phối siêu bội cũng có thể xấp xỉ bởi phân phối chuẩn.
Ví dụ 3.15: Trong một lô hàng có 10.000 lọ thuốc trong đó có 1.000 lọ thuốc hỏng. Lấy ngẫu nhiên 100 lọ thuốc trong lô hàng trên. Tính xác suất trong 100 lọ thuốc được lấy có
a) đúng 25 lọ thuốc hỏng? b) từ 5 đến 45 lọ thuốc hỏng?
Giải:
a) Gọi X là số lọ thuốc hỏng trong 100 lọ thuốc hỏng được lấy X H 10000;1000;100
Xác suất trong 100 lọ thuốc được lấy có đúng 25 lọ thuốc hỏng là
25 75
1000 9000 10000100
( 25)C C
P X C
Vì n 0,01 0,05
N nên X B (100;0,1)
25 25 75 6
( 25) 1000,1 0,9 8,9729 10
P X C x
b) Vì np = 10 10 và nq = 90 10 X N(10; 9)
Xác suất trong 100 lọ thuốc được lấy có từ 5 đến 45 lọ thuốc hỏng là
45 10 5 10
(5 45) 0,9525
3 3
P X
Nhận xét: Sử dụng máy tính, ta tính được
25 75
1000 9000 6 10000100
( 25)C C 7,998 10
P X x
C
5 95 45 55
1000 9000 1000 9000
100 100
10000 10000
(5 45) ( 5) ... ( 45)C C ... C C 0,9668
P X P X P X
C C
5 5 95 45 45 55
100 100
(5 45) ( 5) ... ( 45) 0,1 0,9 ... 0,1 0,9 0,9763
P X P X P X C C
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
Bài 3.1. a) Cho X N 10;9. Tính
a1) P7X 11 a2) P X 6 a3) P X 8
a4) P X| 6 | 7 a5) P X| 10 | 3 a6) P X| 10 | 3
b) Biết X có phân phối chuẩn với E(X) = = 5 và P5X 100,475. Tính b1) P3X 9 b2) P X 5,5 b3) P X 8
c) Chia phân phối N15;64 thành 5 lớp có xác suất bằng nhau?
Bài 3.2. Chiều cao của thanh niên ở một địa phương là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình là 175cm và độ lệch tiêu chuẩn là 4cm. Hãy xác định
a) Tỷ lệ thanh niên địa phương trên có chiều cao trên 180cm?
b) Tỷ lệ thanh niên địa phương trên có chiều cao từ 166cm đến 177cm?
c) Tính giá trị h , nếu biết rằng có 33% thanh niên địa phương trên có chiều cao dưới mức h?
d) Tìm giới hạn biến động chiều cao của 90% thanh niên địa phương trên xung quanh giá trị trung bình?
Bài 3.3. Một đề thi trắc nghiệm gồm 10 câu hỏi có 4 phương án trả lời (trong đó chỉ có 1 phương án đúng). Một thí sinh không học bài, trả lời một cách ngẫu nhiên tất cả câu hỏi trên. Tính xác suất:
a) Thí sinh trên trả lời đúng 2 câu hỏi?
b) Thí sinh trên trả lời đúng ít nhất 2 câu hỏi?
c) Thí sinh trên trả lời đúng nhiều nhất 2 câu hỏi?
d) Thí sinh đậu môn này khi trả lời đúng từ 4 câu hỏi trở lên.
d1) Tính xác suất thí sinh trên đậu môn này?
d2) Tính xác suất thí sinh trên đậu môn này nếu đã biết trả lời đúng 2 câu hỏi?
d3) Tính xác suất thí sinh trên đậu môn này nếu đã biết trả lời đúng ít nhất 2 câu hỏi?
e) Nếu mỗi câu trả lời đúng +1điểm, sai -0,5đ. Tính xác suất thí sinh trên đạt được từ 4 điểm trở lên?
Bài 3.4. Tại một đại lý bưu điện, các cuộc gọi xuất hiện ngẫu nhiên và độc lập với nhau và trung bình có 3 cuộc gọi một phút. Biết số cuộc gọi trong một khoảng thời gian cố định có phân phối Poisson. Tính xác suất để có
a) ít nhất 1 cuộc gọi trong 2 phút?
b) không có cuộc gọi nào trong 30 giây?
c) nhiều nhất 2 cuộc gọi trong 20 giây?
Bài 3.5. Khi truyền một loại huyết thanh cho 1000 trung bình có 1 trường hợp bị phản ứng. Dùng huyết thanh trên truyền cho 3000 người. Tính xác suất trong 3000 người được truyền huyết thanh a) có đúng 5 người bị phản ứng?
b) có nhiều nhất 2 người bị phản ứng?
c) có ít nhất 4 người bị phản ứng?
Bài 3.6. Có 2 hộp thuốc. Hộp I có 15 lọ thuốc trong đó có 5 lọ thuốc A và 10 lọ thuốc B; hộp II có 20 lọ thuốc trong đó có 7 lọ thuốc A và 13 lọ thuốc B.
a) Lấy ngẫu nhiên 6 lọ thuốc ở hộp I, tính xác suất có 3 lọ thuốc A; nhiều nhất 2 lọ thuốc B?
b) Lấy ngẫu nhiên 9 lọ thuốc ở hộp II, tính xác suất có 5 lọ thuốc A; ít nhất 2 lọ thuốc B?
c) Lấy ngẫu nhiên từ lô thứ I ra 5 lọ thuốc và từ lô II ra 10 lọ thuốc. Tính xác suất trong 15 lọ thuốc được lấy có 3 lọ thuốc A; ít nhất 2 lọ thuốc B?
d) Lấy ngẫu nhiên từ lô thứ I ra 5 lọ thuốc và từ lô II ra 10 lọ thuốc. Nếu biết giá lọ thuốc A là 300.000 đồng/lọ và giá lọ thuốc B là 500.000 đồng/lọ. Tính trung bình và phương sai của tổng giá tiền 15 lọ thuốc được lấy?
Bài 3.7. Tỷ lệ mắc bệnh A của một vùng là 15%.
a) Khám ngẫu nhiên 10 người ở vùng đó. Tính xác suất trong 10 người được khám gặp được ít nhất một người mắc bệnh A? Cần phải khám tối thiểu bao nhiêu người để xác suất gặp ít nhất một người bị bệnh A không ít hơn 98%?
b) Khám những người trong vùng đó cho đến khi gặp người mắc bệnh A thì dừng. Gọi X là số lần khám. Tìm hàm mật độ xác suất của X? Tính trung bình và phương sai của X?
Bài 3.8. Tỷ lệ lỗi khi dập thuốc của xí nghiệp A là 0,0004. Một lô hàng gồm 10.000 viên thuốc do xí nghiệp A dập. Tính xác suất trong lô hàng trên có
a) ít nhất 2 viên thuốc bị lỗi?
b) đúng 30 viên thuốc bị lỗi?
c) từ 40 đến 45 viên thuốc bị lỗi?
Bài 3.9. Có 10 máy cùng sản xuất 1 loại thuốc, trong đó có 3 máy loại A và 2 máy loại B và 5 máy loại C. Xác suất để thuốc do máy loại A, B, C sản xuất đạt chất lượng lần lượt là 75% , 90%
và 80%. Chọn ngẫu nhiên 1 máy trong 10 máy trên, rồi từ máy đó sản xuất 120 viên thuốc.
a) Tính xác suất sản xuất được ít nhất 85 viên thuốc đạt chất lượng?
b) Giả sử đã sản xuất được ít nhất 85 viên thuốc đạt chất lượng, xác suất chọn được máy loại nào cao nhất?
Bài 3.10. Bệnh M có hai loại M1 và M2. Đối với bệnh nhân bị bệnh M, lượng Cholesterol của bệnh nhân bị M1 có phân phối chuẩn với trung bình 1,50 và độ lệch chuẩn là 0,25. Còn lượng Cholesterol của bệnh nhân bị M2 có phân phối chuẩn với trung bình 2,50 và độ lệch chuẩn là 0,25. Đặt phép chẩn đoán: Nếu bệnh nhân bệnh M có lượng Cholesterol lớn hơn 2 thì chẩn đoán bệnh nhân đó bị M2; còn nếu lượng Cholesterol từ 2 trở xuống thì chẩn đoán bệnh nhân đó bị M1. Tìm xác suất sai lầm của phép chẩn đoán trên trong mỗi trường hợp?
Bài 3.11. Một lô thuốc viên có trọng lượng trung bình của 1 viên thuốc 150mg và phương sai
2 12,25mg2
a) Tìm trọng lượng X0 sao cho có 20% các viên thuốc thuộc lô thuốc trên có trọng lượng lớn hơn X0?
b) Tính tỷ lệ các viên thuốc thuộc lô thuốc trên có trọng lượng thuộc khoảng ;1,07?
c) Theo quy định, viên thuốc đúng tiêu chuẩn phải có trọng lượng xung quanh trọng lượng trung bình với sai số cho phép 5% trọng lượng trung bình. Lấy ngẫu nhiên 5000 viên thuốc trong lô hàng trên, có bao nhiêu viên thuốc đúng tiêu chuẩn?
Bài 3.12. Trọng lượng (mg) của thuốc viên A có phân phối chuẩn với trọng lượng trung bình 250mg và độ lệch chuẩn 10mg. Các viên thuốc A được đóng thành vĩ, mỗi vĩ 10 viên. Vĩ thuốc được gọi là đạt tiêu chuẩn nếu vĩ có trọng lượng từ 2485mg đến 2555mg. Lấy ngẫu nhiên 100 vĩ thuốc A.
a) Tính tỷ lệ các vĩ thuốc A đạt tiêu chuẩn?
b) có đúng 40 vĩ thuốc A đạt tiêu chuẩn?
b) Tính xác suất có ít nhất 85 vĩ thuốc A đạt tiêu chuẩn?
Bài 3.13. Trọng lượng của mỗi viên thuốc trong một lô hàng có phân phối chuẩn với trung bình 252,60mg và phương sai 17,64mg2.
a) Tính tỷ lệ các viên thuốc có trọng lượng từ 245mg đến 255mg?
b) Tìm trọng lượng X0 sao cho có 20% các viên thuốc thuộc lô thuốc trên có trọng lượng nhỏ hơn X0?
c) Tính tỷ lệ các viên thuốc thuộc lô thuốc trên có trọng lượng thuộc khoảng
0,85 ;1,25 ?
Bài 3.14. Áp lực tâm trương động mạch phổi (mmHg) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình 5,1 mmHg và độ lệch chuẩn 1,7 mmHg.
a) Tính tỷ lệ người có áp lực tâm trương động mạch phổi từ 3,4 mmHg đến 8,5 mmHg?
b) Tính xác suất để gặp người có áp lực tâm trương động mạch phổi lớn hơn 8,5 mmHg?
c) Tính xác suất để gặp người có áp lực tâm trương động mạch phổi nhỏ hơn 1,7 mmHg?
d) Chọn ngẫu nhiên 10 người. Tính xác suất có
d1) đúng 5 người có áp lực tâm trương động mạch phổi lớn hơn 8,5 mmHg?
d2) ít nhất 8 người có áp lực tâm trương động mạch phổi lớn hơn 8,5 mmHg?
d3) nhiều nhất 8 người có áp lực tâm trương động mạch phổi lớn hơn 8,5 mmHg?
d4) số người có áp lực tâm trương động mạch phổi lớn hơn 8,5 mmHg nhiều khả năng nhất trong 10 người được chọn?
e) Chọn ngẫu nhiên 20 người. Tính xác suất có
e1) đúng 10 người có áp lực tâm trương động mạch phổi nhỏ hơn 1,7 mmHg?
e2) ít nhất 2 người có áp lực tâm trương động mạch phổi nhỏ hơn 1,7 mmHg?
e3) nhiều nhất 18 người có áp lực tâm trương động mạch phổi nhỏ hơn 1,7 mmHg?
e4) số người có áp lực tâm trương động mạch phổi nhỏ hơn 1,7 mmHg nhiều khả năng nhất trong 10 người được chọn?
f) Chọn ngẫu nhiên 200 người. Tính xác suất có
f1) đúng 15 người có áp lực tâm trương động mạch phổi từ 3,4 mmHg đến 8,5 mmHg?
f2) ít nhất 125 người có áp lực tâm trương động mạch phổi từ 3,4 mmHg đến 8,5 mmHg?
f3) nhiều nhất 150 người có áp lực tâm trương động mạch phổi từ 3,4 mmHg đến 8,5 mmHg?
f4) số người có áp lực tâm trương động mạch phổi từ 3,4 mmHg đến 8,5 mmHg nhiều khả năng nhất trong 200 người được chọn?