CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU KHUNG ĐỠ - ĐỘNG CƠ – CHONG CHÓNG ĐẨY
2.2 Giải bài toán trị riêng và bài toán đáp ứng cưỡng bức
2.2.2. Phương pháp Time Newmark giải đáp ứng cưỡng bức
Chuyển động của một cơ hệ dưới tác động của ngoại lực gọi là đáp ứng (response) của hệ thống và thường gọi là đáp ứng cưỡng bức. Để giải các phương trình động lực học kết cấu dưới tác động của lực kích thích bất kỳ
0 0
( ) ,
+ + = t
Mq Cq Kq p
q q (2.81)
Có hai phương pháp hiệu quả để giải hệ phương trình vi phân chuyển động của hệ kết cấu (2.81) gọi là phương pháp chồng chất mode (tiêu biểu như phương pháp chuyển vị mode, phương pháp gia tốc mode...) và phương pháp tích phân trực tiếp [11].
cho trước (điều kiện ban đầu)
MSHV: 1670760 37 HV: Phạm Hồng Thanh Các kỹ thuật khai triển theo mode được áp dụng cho trường hợp các hệ rời rạc và hệ liên tục [11]. Chúng dựa trên việc phân tích mode tuyến tính và bằng cách biểu diễn đáp ứng động lực học theo khai triển chuỗi dạng riêng. Hiệu quả của phương pháp chồng chất mode vẫn đáng kể miễn là các dạng (mode) cơ bản vẫn chiếm ưu thế trong đáp ứng.
Trong trường hợp ngược lại, khi phổ tần số cần bao gồm một số lượng các dạng dao động (mode dao động) để đảm bảo sự hội tụ tựa tĩnh và phổ dao động, các kỹ thuật triển khai theo các dạng riêng nên được thay thế bằng các phương pháp tích phân trực tiếp. vì cho độ chính xác cao hơn. Tuy nhiên, việc tích phân trực tiếp các phương trình chuyển động không thể dùng như một hộp đen. Thực sự, các thông số của phương pháp (bước thời gian và các thông số tự do khác) phải được điều chỉnh chính xác theo độ chính xác và độ ổn định yêu cầu và cũng để kiểm soát được tính trơn của kết quả số (numerical damping).
Ưu điểm của phương pháp này, so với các phương pháp chồng chất mode, việc tích phân trực tiếp không bị giới hạn cho các trường hợp tuyến tính mà có thể mở rộng cho các hệ phi tuyến [11]. Phương pháp này dựa trên các sai phân theo thời gian.
Trong nghiên cứu này, các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và ma trận giảm chấn K, M, C trong (2.53) có dạng đối xứng nên có thể sử dụng được phương pháp chồng mode. Tuy nhiên phương pháp tích phân trực tiếp để giải hệ phương trình đề cập trên được lựa chọn do tính tổng quát của nó. Nó còn được biết đến là phương pháp Time Newmark. Phương pháp này cũng thuận tiện khi cho phép loại tải trọng được mô tả bất kỳ bằng hàm theo thời gian.
Theo phương pháp tích phân Time Newmark, nghiệm của hệ phương trình trên được tìm như sau [11].
Phương pháp Time Newmark là phương pháp tích phân từng bước theo thời gian.
Vectơ trạng thái của hệ tại thời điểm tn+1= +tn h được suy ra từ vectơ trạng thái đã biết tại thời điểm tn dựa trên khai triển Taylor của chuyển vị và vận tốc.
(2.82)
trong đó Rs là phần dư của khai triển ứng với bậc s:
(2.83) Dựa vào (2.82) ta có tính vận tốc và chuyển vị của hệ tại thời điểm tn+1.
MSHV: 1670760 38 HV: Phạm Hồng Thanh (2.84)
Ta biểu diễn q theo khoảng thời gian [tn, tn+1] theo hàm qnvà qn+1tại các điểm giới hạn khoảng thời gian:
(2.85)
Nhân các phương trình (2.85) với (1-) và , ta có:
(2.86)
Tương tự, nhân (2.85) với (1-2) và , ta có:
(2.87) Thay (2.86) và (2.87) vào các thành phần tích phân trong (2.84), ta có:
(2.88)
và sai số tương ứng
(2.89)
Các hằng số và là các thông số liên quan đến mô hình toàn phương. Chọn
dẫn đến biểu thức nội suy tuyến tính của các gia tốc trong khoảng thời gian [tn, tn+1]. Cũng vậy khi chọn
MSHV: 1670760 39 HV: Phạm Hồng Thanh tương ứng với giá trị trung bình của gia tốc trong khoảng thời gian.
Thay (2.88) vào (2.84), ta có các công thức xấp xỉ dưới đây ứng với phương pháp Time Newmark
(2.90) Giả thuyết rằng các phương trình động lực học (2.81) là tuyến tính nghĩa là các ma trận M, C, và K đều độc lập với q, áp dụng (2.90) vào phương trình chuyển động tại thời điểm tn+1 để tính gia tốc
(2.91) Hệ thống các phương trình tuyến tính (2.91) tương ứng với ma trận lặp:
là ma trận đối xứng và xác định dương nhờ vào đặc trưng của các ma trận M, C và K.
Tiến hành với bước lặp thời gian là hằng số, ma trận có thể được phân tích thành tích các ma trận một lần cho tất cả. Khi đó ta có thể tính các vận tốc và các chuyển vị q̇n+1
và qn+1 theo (2.90).
Phương pháp Newmark cho tích phân hàm ẩn theo thời gian của các phương trình động lực học kết cấu (2.81) được tóm tắt bằng sơ đồ khối trên Hình 2.6.
Nhằm tăng hiệu quả, giải thuật được tổ chức theo các dự đoán:
(2.92)
MSHV: 1670760 40 HV: Phạm Hồng Thanh Hình 2. 6 - Giải thuật của sơ đồ tích phân Newmark cho các hệ tuyến tính