Phương pháp giải phi tuyến

Một số phương pháp giải phi tuyến thường dùng 2.4.1.1. Phương pháp giai tăng tuyến tính

Hình 2.9: Phương pháp gia tăng tuyến tính

Phương pháp gia tăng tuyến tính như Hình 2.9 là phương pháp đơn giản nhất trong việc giải phương trình cân bằng phi tuyến và đạt được kết sau 1 bước giải duy nhất.

Tổng chuyển vị và lực được tính bằng các lấy tổng các giá trị của các bước tải trước đó.

Nhược điểm: phương pháp này là kết quả sẽ tách rời lời giải đúng sau mỗi bước lặp hay nói cách khác sai số sẽ tăng dần sau mỗi bước gia tải, đặc biệt đối với các bài toán chuyển vị lớn [45].

2.4.1.2. Phương pháp lặp trực tiếp

Phương pháp lặp trực tiếp như Hình 2.10 tương đối cơ bản được áp dụng trong một số phần mềm ứng dụng phân tích phi tuyến hình học cho bài toán chuyển vị nhỏ như CALFRAME được lập trình bởi Austrell cùng cộng sự [46].Chuyển vị tổng có được bằng cách tác dụng toàn bộ tải vào một bước lặp đơn. Sau đó, dựa vào kết quả bước lặp trước đó để tính toán nội lực, chuyển vị tổng và cập nhật ma trận độ cứng cát tuyến để tiến hành bước lặp tiếp theo cho đến khi thảo mãn tiêu chuẩn hội tụ. Hạn chế của phương pháp này là chỉ áp dụng cho bài toán phân tích đàn hồi có chuyển vị

vửa và nhỏ. Đối với bài toán phi tuyến vật liệu sai số có thể nhận thấy được là đáng kể [45].

Hình 2.10: Phương pháp lặp trực tiếp 2.4.1.3. Phương pháp lặp gia tăng

Hình 2.11: Phương pháp lặp gia tăng

Thuật toán lập gia tăng Hình 2.11 được trình bày bởi Yang và Kuo [47] là thuật toán sử dụng phổ biến nhất để giải quyết bài toán phân tích phi tuyến. Bởi vì, độ sai lệch giữa ngoại lực tác dụng và nội lực nút phần tử được loại bỏ để dảm bảo sự cân bằng của hệ kết cấu. Do vậy, kết quả đạt được chính xác hơn nhiều so với các phương pháp

Giả định tải trọng gia tăng và lặp không tỉ lệ, véc-tơ ngoại lực tác dụng có thể biểu diễn theo công thức sau:

    Fji  Fji1  ij   F (2.85)

  Fji1 là véc-tơ tổng ngoại lực tác dụng tại cuối bước gia tải thứ i của vòng lặp thứ

j1 , F là lực tham chiếu là hàm của tổng ngoại lực và ij là tham số gia tải.

Phương trình cân bằng phi tuyến cho hệ kết cấu đối với bước gia tải thứ i của vòng lặp thứ j1 là:

     

1 1

i i i i

j j j j

K  U F P

    

  (2.86)

Trong đó:

1 i

Kj

 

 là ma trận độ cứng trong bước gia tải thứ i của vòng lặp thứ  j1.

   Uij là véc-tơ chuyển vị gia tăng.

 1 i

Pj là véc-tơ nội lực nút đã biết.

Giải (2.86) ta được véc-tơ chuyển vị gia tăng, nội lực phần tử được tính toán và đưa vào véc-tơ nội lực nút   Pji . Véc-tơ lực   Rij đại diện cho véc-tơ lực dư giữa ngoại lực hiện tại và nội lực nút đã biết, được tính toán theo:

      Rij  Fji  Pji (2.87)

Tương tự, véc-tơ lực dư cho vòng lặp thứ  j1 có thể tính toán tương tự:

      Rij1  Fji1  Pji1 (2.88)

Thay (2.85) vào (2.88) ta được:

           

   

1 1 1 1

1

i i i i i i

j j j j j j

i i i

j j j

R F P F F P

K U F





   



     

 

    

(2.89)

Vì vậy, phương trình cân bằng gia tăng phi tuyến được viết lại:

     

1 1

i i i i

j j j j

K U  F R

     

  (2.90)

Sau đó chuyển vị được chia thành 2 phần: chuyển vị tiếp tuyến và chuyển vị dư theo công thức:

 Uij ij Uˆij   Uij (2.91)

Trong đó:

 F Kij1 Uˆij (2.92)

  Rij1    Kij1     Uij (2.93)

Đối với một hệ kết cấu có N bậc tự do tương ứng với N phương trình cần giải quyết.

Tuy nhiên, với phương trình (2.90) có N 1 đại lượng cần xác định gồm véc-tơ chuyển vị gia tăng  Uij và tham số lực gia tăngij. Do vậy, để giải phương trình cân bằng (2.90), tham số ij cần xác định theo một cách nào đó.

2.4.1.4. Phương pháp lặp Newton Raphson (NR) và Modified Newton Raphson (MNR)

Từ phương pháp lặp gia tăng được trình bày ở trên, ta đặt hệ số 1i 1cho bước lặp đầu tiên trong mỗi bước gia tăng (j=1) và ij 0 cho các bước lặp còn lại (j  2) ta có được thuật toán NR hay còn gọi thuật toán điều khiển lực. Tuy nhiên, do trong mỗi bước lặp khối lượng tính toán là rất lớn, để giảm khối lượng tính toán ở mỗi lặp của mỗi bước gia tăng tải thuật toán MNR được áp dụng. Trong thuật toán MNR, ma trận độ cứng tiếp tuyến không đổi ở các bước lặp j  2, mặc dù độ hội tụ chậm hơn so vơi NR Torkamani [45].

Thuật toán NR và MNR Hình 2.12 có thể áp dụng một cách hiệu quả để theo dõi ứng xử biến dạng và khả năng chịu tải trước điểm tới hạn của kết cấu. Tuy nhiên, trong trường hợp ứng xử của hệ vượt qua điểm tải giới hạn A như Hình 2.14, cả 2 phương pháp sẽ suy biến, thậm chí không thể đạt được lời giải chính xác. Vì thế, phương pháp điều khiển lực không thể áp dụng cho phân tích sau giới hạn.

Hình 2.12: Phương pháp NR và phương pháp MNR

Hình 2.13: Phương pháp điều khiển chuyển vị

Một nhược điểm khác của thuật toán này là điểm tải giới hạn khó có thể xác định chính xác nếu không chia nhỏ bước tải gia tăng đến một giá trị đủ nhỏ. Nên một số

tác giả đã áp dụng kết hợp NR với thuật toán công hằng để khắc phục nhược điểm này.

Hình 2.14: Đặc trưng tổng quát của phân tích kết cấu Thuật toán điều khiển chuyển vị tổng quát

Thuật toán giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp điều khiển chuyển vị tổng quát (Generalized Displacement Control Method - GDCM) được đề xuất bởi Yang và Shieh [49] được nhiều tác giả sử dụng để dò tìm đường cân bằng của hệ.

Tuy nhiên, nghiên cứu gần đây của Leon cùng cộng sự [50] đã chỉ ra rằng, phương pháp GDCM còn phụ thuộc vào việc lựa chọn hệ số tải ban đầu, dẫn đến lời giải có thể kém chính xác hoặc không hội tụ nếu chọn không đủ nhỏ.

Thuật toán giải hệ phương trình phi tuyến bằng phương pháp điều khiển chuyển vị tổng quát GDCM được thực hiện như sau:

2.4.2.1. Hệ phương trình cân bằng được biểu diễn ở dạng tổng quát Hệ phương trình cân bằng được biểu diễn dưới dạng:

   

f d  f (2.94)

với  là hệ số tải, flà ngoại lực tác dụng.

Tại bất kỳ cấu hình biến dạng nào, nếu sự cân bằng giữa nội lực và ngoại lực chưa đạt được thì vectơ lực dư (residual force vectơ) sẽ được tính toán:

 r  f  f  d (2.95) Phép tính lặp sẽ được thực hiện cho đến khi điều kiện hội tụ được thỏa mãn. Ở vòng lặp thứ j của bước tải thứ i, thủ tục lặp sẽ được tính toán như sau:

     

1 1

i i i i

j j j j

     

K  d f r (2.96)

với Kij1 là ma trận độ cứng tiếp tuyến ở bước tải j1, phụ thuộc vào cấu hình chuyển vị  1

i

dj và vectơ lực dư  1 i j

r ở bước j1 phụ thuộc vào hệ số tải ij1 và  dij1 .Sau mỗi bước lặp, thành phần chuyển vị tổng và hệ số tải được xác định:

     dij  dij1  dij (2.97)

1

i i i

j j j

     (2.98)

Vectơ lực dư trong (2.95) sẽ được tính toán:

 rij1 ij1 f  f  dij1 (2.99)

Yang và Shieh [49] đã đề xuất một phương trình ràng buộc để tìm hệ số tải gia tăng

i

j

 :

i i i i i

j   j bj j cj

a d (2.100)

Trong phương pháp GDCM, chuyển vị gia tăng của bước lặp thứ j được chia thành 2 phần:

 dij  ij   dp ji  dr ji (2.101)

Tương ứng như vậy, phương trình (2.96) cũng được tách thành 2 hệ phương trình:

   

1

i i

j p j

   

K  d f (2.102)

   

1 1

i i i

j r j j

   

K  d r (2.103)

Từ (2.100) và (2.101), phương trình ràng buộc được viết lại như sau:

i i i

j j r j

i

j i i i

j p j j

c

   b

   

a d

a d (2.104)

Yang và Shieh [49] đã gán các hệ số trong phương trình (2.101) là aij   1i dp1i1 và

i 0

bj  nên hệ số tải gia tăng được viết lại là:

1

1 1

1

1 1

i i i i

j p r j

i

j i i i

p p j

c 

 





   

    

d d

d d (2.105)

Tại bước lặp đầu tiên chọn c1i c và các bước kế tiếp cij10, hệ số tải gia tăng được tính:

1

1 1 1

1 1

1 1

1 1

i i i

p p

i

j i i

p r j

i i

p p j

c j

j

 







 

  

    

  



d d

d d

d d

(2.106)

Tại bước lặp đầu tiên, Yang và Shieh [49] đã cho dp01  dp11 do đó c được xác định:

 11 2 p11 p11

c  d d (2.107)

Với   11  được cho trước ở bước tải đầu tiên. Ở bước tải kế tiếp hệ số tải được tính toán:

1/2

1i GSP

 

   (2.108)

với GSP là thông số độ cứng tổng quát (Generalized Stiffness Parameter):

1 1

1 1

1

1 1

GSP pi p i

p p



 

  

d d

d d (2.109)

Các bước giải hệ phương trình phi tuyến theo thuật toán điều khiển chuyển vị tổng quát

Bước 1: Lựa chọn hệ số gia tài đầu tiên  , số lượng bước gia tải N, hệ số gia tải lớn nhất 

Bước 2: Khởi tạo biến {𝑓 }={0}, {𝑟 }={0}, {𝑑 }={0},  ={0}

Bươc 3: Với vòng lặp đầu tiên (j=1) của mỗi bước gia tải i:

- Thiết lập ma trận độ cứng tổng thể [K ] - Giải hệ phương trình [K ] ∆𝑑 =f

- Tính hệ số tải gia tăng ∆ : Với i=1, ∆ = ∆ ; Với i2, Tính GSP và ∆ như sau:

∆ = ∆ √𝐺𝑆𝑃

- Nếu GSP có giá trị âm, nhân ∆ với -1 và đổi chiều tải trọng Bước 4: Với bước lặp j  2

- Tính toán ứng suất, biến dạng theo các quan hệ ứng suất biến dạng của vật liệu để cập nhật ma trận độ cứng tiếp tuyến có kể đến ứng xử phi đàn hồi. Cập nhật ma trận độ cứng tổng thể 𝐾

- Tính các chuyển vị gia tăng:

𝐾 ∆𝑑 =f 𝐾 ∆𝑑 =𝑟

- Xác định hệ số tải gia tăng

   

   

1 1

1 1

i T i

p r j

i

j i T i

p p j







 

  

 

d d

d d

Bước 5: Xác định chuyển vị gia tăng ∆𝑑 ; hệ số tải  như sau:

i i i i

j j p j r j

   d d  d ij ij1 ij

Bước 6: Cập nhật véc tơ chuyển vị tổng và véc tơ ngoại lực

1

i i i

j  j   j

d d d Fexternal  ijf

Bước 7: Tính toán véc tơ nội lực

 

inter 1 1 1 2 2 2

F  N Q M N Q M Bước 8: Tính toán véc tơ lực dư

, ,

i i i

j external j internal j

R F F

Lưu đồ thuật toán pheo phương pháp điều khiển chuyển vị tổng quát

Hình 2.15: Lưu đồ thuật toán giải phi tuyến theo phương pháp điều khiển chuyển vị tổng quát

Yes No

Bước lặp thứ j=j+1

Yes

No ĐK hội tụ

Xác định hệ số tải gia tăng ∆

Xác định chuyển vị gia tăng ∆𝑑 ; hệ số tải  Cập nhật chuyển vị tổng 𝑑 ; tải ngoại lực f

Tính toán nội lực f(d), lực dư r

ĐK dừng gia tải

max, i<N

Kết thúc Tính ma trận độ cứng 𝐾

Giải hệ PTPT: 𝐾 ∆𝑑 =f; 𝐾 ∆𝑑 =𝑟

Bước gia tải kế tiếp i=i+1

Khởi tạo biến

{𝑓 }={0}, {𝑟 }={0}, {𝑑 }={0},  ={0}

Bắt đầu

Xác định  , N,  , đặc trưng tiết diện

Ưu điểm của thuật toán điều khiển chuyển vị tổng quát so với các phương pháp khác

Hình 2.16: Đặc trưng thông số độ cứng tổng quát Ưu điểm của phương pháp GDCM so với các phương pháp khác:

- Ổn định số luôn luôn đạt được ở những điểm gần điểm tới hạn và điểm snap- back.

- Sự biến đổi phi tuyến của hệ kết cấu được kể đến thông qua thông số độ cứng tổng quát GSP

- Sự thay đổi dấu của GSP ở điểm giới hạn là chỉ định tốt để thay đổi phương của lực tác dụng.

Lực

Chuyển vị

CHƯƠNG TRÌNH PHÂN TÍCH