Tính chất của vật liệu, điều kiện tải và các thông số quá trình sử dụng trong hàn ma sát khuấy đều quyết định đến bản chất của dòng vật liệu mà từ đó có thể giả thuyết rằng dòng vật liệu có tính chất đàn hồi dẻo, dẻo hoàn toàn, dẻo nhớt hay nhớt hoàn toàn. Do đó, trường dòng vật liệu có thể thu được bằng cách giải phương trình động học lưu chất nếu như vật liệu có đặc tính nhớt hoặc là dẻo nhớt. Tuy nhiên, quá trình biến dạng dẻo được mô hình hóa từ nguyên lý cơ học vật rắn. Trong phần này trường dòng vật liệu sẽ được giải thích bằng nguyên lý động học lưu chất với các giả thuyết là vật liệu phi Newton có tính dẻo nhớt, không nén được. Phương trình bảo toàn khối lượng và bảo toàn moment được giải với miền xác định và giả sử rằng không có sự thay đổi về khối lượng riêng. Việc kết hợp mô hình năng lượng cũng rất cần thiết để xét đến sự phụ thuộc của vật liệu vào tính chất vật liệu và phương trình dẫn nhiệt được hiệu chỉnh bằng dòng
37
vật liệu đối lưu. Phương trình bảo toàn động lượng và khối lượng ở trạng thái tức thời được biểu diễn ở dạng vector như sau [54]:
. .
V V V F
t + = +
(3.8)
Và =.V 0 (3.9)
Với
T
x y z
= là toán tử gradient, V =u v w Tlà vận tốc dòng kim loại, là tensor ứng suất tổng, là khối lượng riêng của vật liệu, F là vector lực toàn phần, và t là biến thời gian. Tensor ứng suất tổng trong phương trình (3.8) được biểu diễn theo định luật Stoke [55]:
( ) ( )V .V T PI
= + − (3.10)
Với P là áp lực thủy tĩnh, là độ nhớt của vật liệu và I là ma trận đơn vị. Từ phương trình 3.8 và 3.9, cùng với các hiệu chỉnh phù hợp do dụng cụ di chuyển, phương trình bảo toàn động lượng có thể được viết thành:
( ) ( ) ( )
. . . T . .
V V V P V V U V F
t + = − + + + +
(3.11)
Với U là vector vận tốc của dụng cụ tương đương với VT theo hướng di chuyển của dụng cụ theo phương y. Cùng với các phương trình bảo toàn năng lượng cũng được giải cho việc phân tích truyền nhiệt và dòng vật liệu. Phương trình điều khiển tổng quát về sự truyền nhiệt trong hệ tọa độ Descartes:
( )
. p T . .
k T Q C U T V T
t
+ = + − (3.12)
Với k là nhiệt dẫn suất có hướng. V là dòng nhiệt đối lưu của dòng kim loại. Cần lưu ý đối với nguồn nhiệt cố định thì phương trình 3.11 và 3.12 có thể điều chỉnh bằng cách thêm vector vận tốc 0 và giải trên hệ tọa độ cố định, trái lại trong phân tích trạng thái ổn định thì thành phần tức thời có thể bỏ qua và giải bài toán trên hệ tọa độ di chuyển, gốc
38
của hệ trục tọa độ đó có thể chọn tại vị trí của dụng cụ. Điều kiện biên giống như mô tả trong phương trình 3.3.
(Hình 3.2) mô tả sơ đồ điều kiện biên vận tốc tương ứng với một dụng cụ vai phẳng và bề mặt phôi. Giả sử một điểm 'A' trên phôi ở bán kính r và một góc θ so với phương của vận tốc hàn VT. Vật liệu được quay ở một tốc độ quay ω. Các thành phần vận tốc tuyến tính trên biên của bề mặt trên của vai dụng cụ được biểu diễn như sau:
sin T; cos , p s
v=r −V u=r R r R (3.13) Vận tốc tại chu vi của đầu khuấy là:
sin ; cos , ;0
p T p p p
v−R −V u=R R =r h H (3.14)
Điều kiện biên vận tốc tại bề mặt đỉnh đầu khuấy là:
sin T; cos , 0 p
v=r −V u=r r R (3.15)
Với Rs, Rp và Hp lần lượt là bán kính của vai, bán kính đầu khấy và chiều cao đầu khuấy của dụng cụ dạng trụ. Nếu bỏ qua chuyển động tiến của dụng cụ, tức là dụng cụ đứng yên, thì khi đó điều kiện biên ở trên trở thành : VT=0.
Từ mô hình lý thuyết, rõ ràng rằng mô hình toán học bao gồm nhiều thông số. Các chuyển biến vật liệu hoặc mô hình vật liệu làm tăng sự phức tạp do nhiệt độ hoặc tốc độ biến dạng phụ thuộc của tính chất vật liệu. Có nhiều phương pháp dự đoán sự chuyển biến vật liệu. Vì dòng vật liệu có tính chất dẻo nhớt phi Newton, độ nhớt có thể được tính toán theo mô hình đơn giản của Hart [56], với ứng suất chảy được chia thành hai thành phần dẻo và nhớt như sau:
Hình 3.2 Điều kiện biên vận tốc trong hàn ma sát khuấy.
39
e p y
= + (3.16)
Với thành phần nhớt đại diện cho trở lực ma sát gây nên xô lệch do trượt và thành phần dẻo đại diện cho sự cản trở dòng chảy gây nên xô lệch do rối. Mối tương quan theo thực nghiệm của thành phần nhớt và dẻo như sau:
p exp K b
= −
(3.17)
Và 1/M
v G
a
=
(3.18)
Với
0 exp
K N Q
b b
G RT
= − (3.19)
Và 0exp Q
a a
RT
= − (3.20)
là tốc độ biến dạng và G, Q, Q0, a0, b0, λ, N và M là các thông số vật liệu được xác định từ thí nghiệm [57]. Tuy nhiên, K là một đại lượng vô hướng và giá trị bão hòa của biến này là một hàm của nhiệt độ và tốc độ biến dạng:
m0
K C
=
(3.21) Với φ là nhân tố Fischer [58]:
ln D0
T
= (3.22)
Với D0, m0 và C là các thông số xác định bằng thực nghiệm. Tuy nhiên, độ nhớt có thể được xác định theo mô hình dẻo nhớt của Perzyna [59]:
3
e
= (3.23)
Tốc độ biến dạng hiệu dụng là:
1/2 ij ij
2
=3 (3.24)
40 Với εij là tensor tốc độ biến dạng xác định bởi:
ij
1 2
i j
i j
u u
x x
= + (3.25)
Các biểu thức ở trên nhằm để xác định độ nhớt theo nhiệt độ và tốc độ biến dạng và có thể được sử dụng trực tiếp trong phương trình 3.11. Độ nhớt thường giảm khi nhiệt độ và tốc độ biến dạng tăng, trong đó tốc độ biến dạng là yếu tố có ảnh hưởng lớn nhất đối với độ nhớt.
Các điều kiện biên đã đề cập ở trên chưa xét đến điều kiện tiếp xúc. Điều kiện biên vận tốc tại bề mặt tiếp xúc khi phân tích một nguồn nhiệt tĩnh hay ổn định được hiệu chỉnh thành :
sin , cos
u =r v=r (3.26)
Và Rp r Rs (3.27)
Với δ là biến điều kiện tiếp xúc là đại lượng không thứ nguyên chỉ mức độ dính (trượt) và r là bán kính vị trí xét. Phần còn lại của các điều kiện biên vận tốc được rút ra bằng cách thay đổi phương trình 3.14 và 3.15 theo cách tương tự.
Không có một cơ chế đơn giản nào để ước tính mức độ trượt và do đó biến trạng thái tiếp xúc có thể được tính bằng thực nghiệm. Mức độ trượt được ước tính bằng thống kê tương quan từ các giá trị thực nghiệm đo vận tốc tương đối khác nhau [59]:
0 0
0.2 0.6 1 exp
s
r R
= + − −
(3.28)
Với δ0 là một tham số điều chỉnh, r là khoảng cách của điểm từ trục dụng cụ, ω là vận tốc góc của dụng cụ, RS là bán kính của vai dụng cụ, ω0 là vận tốc quay chuẩn, mà có thể được lấy điểm giữa của dãy tốc độ quay trong một trường hợp cụ thể. Trong trường hợp ma sát thuần túy δ = 0. Để hàn nhôm 1xxx, các giá trị điển hình của δ0 là 1,014 [59]
và các thông số khác cũng thay đổi theo điều kiện hàn. Đối với tốc độ hàn 1,63 mm/s, 600 v/ph và lực ép trung bình là 6,23 kN, và đường kính vai 50 mm, thì giá trị của δ tại
41
bề mặt tiếp xúc vai là khoảng 0,49, ở bề mặt bên của đầu khuấy là khoảng 0,42 và ở bề mặt đỉnh đầu khuấy là khoảng 0,41. Ta thấy δ gần như không đổi cho cả ba bề mặt tiếp xúc và do đó giá trị cho tất cả các bề mặt có thể xấp xỉ khoảng 0,44.
Thông lượng nhiệt biên khi phân tích trạng thái đứng yên hay ổn định hoàn toàn được biểu diễn như sau:
( ) (1 )
s y f
q = r T + − r (3.29) Với τy(T) là ứng suất giới hạn chảy cắt phụ thuộc nhiệt vào độ của vật liệu tại bề mặt tiếp xúc và là hệ số công suất (lượng năng lượng cơ chuyển thành nhiệt). Ứng suất tiếp ma sát τf trong phương trình 3.31 tương đương với áp lực tác dụng ở vai:
f fPT
= (3.30)
Với PT là ỏp lực ộp lờn vai và àf là hệ số ma sỏt giữa vai và phụi. Trong quỏ trỡnh cỏn ngang nghiêng, biểu thức thực nghiệm hệ số ma sát là:
( )
0.5 exp
f X r
= − (3.31)
Với vận tốc dài theo m/s. Tuy nhiên phương trình này chỉ đúng khi vận tốc thay đổi từ 0,1 đến 1,6 m/s [60]. Nếu giả sử ứng suất cắt ma sát bằng ứng suất cắt nhớt tại bề mặt tiếp xúc trong điều kiện ổn định thì:
2 2
f v x y
= = + (3.32)
Với ứng các ứng suất nhớt τx, τx lấy tại biên tiếp xúc và điều kiện biên vận tốc quay được xác định trên mặt phẳng x - y và dòng theo phương z được bỏ qua. Dòng vật liệu nhớt phi Newton có thể được biểu diễn bởi mô hình độ nhớt theo nhiệt độ và tốc độ biến dạng. Khi đó ứng suất cắt là:
" eff
= = (3.33)
Với eff là độ nhớt hiệu dụng phụ thuộc vào nhiệt độ và tốc độ biến dạng, là tốc độ biến dạng cắt. Độ nhớt hiệu dụng được tính bởi:
42
( ) eff,r( )
r T T r
= (3.34)
Và ( ) ( ) ( )
eff,r
3
r r
r r
T T
T
= = (3.35)