Trong chương này, tác giảsẽtrình bày cơ sởlý thuyết cho đềtài nghiên cứu của mình.
Để đánh giá ảnh hưởng của module độcứng và hệ số Poisson của đất lên chuyển vị tường vây, cần nghiên cứu làm rõảnh hưởng của áp lực đất tác dụng lên tường và gây ra chuyển vị tường vây,thêm vào đó là ảnh hưởng do biến dạng đấtở trước và sau lưng tường khi tường bắt đầu chuyển vị và trong các giai đoạn tiếp theo của quá trình thi công hố đào sâu, đây là nội dung mà tác giảmuốn nhấn mạnh. Mặt khác, đểhiểu rõ kết quảtrong quá trình mô phỏng bằng phương pháp phần tử hữu hạn với phần mềm Plaxis , một phần trong nội dung của chương này sẽtrình bày lý thuyết mô hình tínhđược sử dụng trong phần mềm, và nội dung phần này sẽ được giới hạn trong phạm vi là lý thuyết các mô hìnhđất được sử dụng trong đề tài cụthểlà Morh Coulomb, Hardening Soil.
2.1. LÝ THUYẾT QUAN HỆ ỨNG SUẤT–BIẾN DẠNG TRONG ĐẤT.
2.1.1. Quan hệ ứng suất biến dạng trong giai đoạn đàn hồi
Trong quá trình làm việc của vật liệu, dưới tác động của ngoại lực gây raứng suất, biến dạng cho vật liệu và trong giai đoạn khi ngưng tác động của ngoại lực, biến dạng vật liệu bằng không, không có biến dạng dưvà vật liệu trởvề như ban đầu . Thìđó được gọi là giai đoạn đàn hồi của vật liệu.
Hình 2.1:Ứng xử trong giai đoạn đàn hồi và dẻo theođường cong quan hệ ứng suất - biến dạng [6]
Đàn hồi tuyến tính–Linear elastic
Trong giai đoạn đàn hồi tuyến tính, phương trình toán học biểu diễn tương quan giữa ứng suất và biến dạng được dựa theo định luật Hooke , phương trìnhđược viết với 2 hằng số đàn hồi là module Young E và hệsố Poisson υ
1 (2.1)
(2.2)
1 1 1 2
ij ij kk ij
ij ij kk ij
E E
E E
Biểu thức trên cònđược viết dưới dạng gia sốcủaứng suất & biến dạng là:
1 (2.3)
(2.4)
1 1 1 2
ij ij kk ij
ij ij kk ij
E E
E E
Trong đóijlà hệsốKronecker delta có giá trịbằng 1 khi i = j và bằng 0 khi i≠ j
Và phương trình diễn tả quan hệ ứng suất biến dạng theo định luật Hooke còn được viết dưới dạng của module cắt G và module biến dạng thểtích K
1 1
(2.5)
9 2
(2.6)
ij kk ij ij
ij ij kk ij
K Gs
Ge K
Trong đó:
(2.7) 3
(2.8) 3
(2.9) 3(1 2 )
(2.10) 2(1 )
kk
ij ij ij
kk
ij ij ij
s e K E G E
Với i,j,k là các chỉsốtự do có giá trịtừ 1 đến 3.
Đàn hồi phi tuyến–Nonlinear elastic
Trong thực tế, việcứng xử tuyến tính trong giai đoạn đàn hồi của vật liệu đất là sự lý tưởng hóa, do đó việc dùng mô hìnhứng xử phi tuyến trong giai đoạn đàn hồi có thểmô tả tổng quáthơn ứng xử của đất làm việc trong thực tế.
Có 2 phương pháp thường dùng để diễn tả quan hệ phi tuyến trong giai đoạn đàn hồi là lý thuyết Green’s hyperelastic và lý thuyết hypoelastic.
- lý thuyết mô hình hyperelastic.
Quan hệ ứng suất và biến dạng trong lý thuyết này được diễn tảlà:
& (2.11)
ij ij
ij ij
W
Trong đó W & lần lượt là hàm mật độ năng lượng biến dạng hay là năng lượng biến dạng trên đơn vịthểtích và hàm mật độ năng lượng bù hay là năng lượng bù trên đơn vịthểtich . Phương trình trên thểhiện mối quan hệgiữaứng suất và biến dạng mà không phụthuộc vào lộtrìnhứng suất và biến dạng.
Hình 2.2: Quan hệ ứng suất-biến dạng trong mô hình hyperelastic [6]
Trên đồthì quan hệgiữaứng suất và biến dạng có thểthấy, trong mô hình hyperelastic dùng module cát tuyết để diễn tả quan hệ giữa ứng suất – biến dạng. Và theo mô hình hyperelastic thìứng xửcủa vật liệu tronggiai đoạn đàn hồi này không phụthuộc lịch sửchịu tải, cũng như tốc độvà lộtrình gia dỡtải của vật liệu.
- lý thuyết mô hình hypoelastic
Một sai sót hiển nhiên trong mô hình ứng xử đàn hồi không tuyến tính theo lý thuyết hyperelastic là dùng module cát tuyến thểhiện mối quan hệgiữaứng suất và biến dạng, và ứng xửnày không phụthuộc lịch sử chịu tải, lộtrình và tốc độgia tải. Và điều này là không đúng vớiứng xửcủa vật liệu đất một cách tổng quát.
Do đó để cải thiện sự hạn chếnày của mô hình theo lý thuyết hyperelastic , một mô hình thểhiệnứng xử của đất khác được đưa ra là hypoelastic , trong đó quan hệgiữa gia số ứng suất và biến dạng là tuyến tính thông qua module độ cứng thay đổi là một hàm sốcủa trạng tháiứng suất hoặc trạng thái biến dạng.
(2.12)
ij Cijkl mn kl
Trong đó: Cijklđược xem như là yếu tốdiễn tả ứng xửtức thời trong một khoảng gia sốthời gian nhỏhay là trong khoảng gia số ứng suất , gia sốbiến dạng .
Hình 2.3: Quan hệ ứng suất-biến dạng trong mô hình hypoelastic [6]
Trong những mô hìnhđơn giản nhất của mô hình hypoelastic, quan hệ ứng suất và biến dạng dưới dạng gia số được thành lập một cách trực tiếp từ việc mởrộng mô hìnhđàn hồi tuyến tính đẳng hướng bằng việc thay hằng số đàn hồi bằng module tiếp tuyến là hàm của các bất biếnứng suất hoặc bất biến biến dạng. Đây là phương pháp phổbiến trong việc ứng dụng vào các bài toán địa kỹthuật. Một vài mô hìnhđơn giản đã được đưa ra bởi các nhà nghiên cứu như Kondner (1963), Kulhawy et al (1969), Duncan et al (1970,1978) và một sốtác giảkhác.
Và trong mô hình hypoelastic nổi bật lên 3 dạng phương trình toán học thể hiện ứng xửcủa đất trong giai đoạn làm việc đàn hồi phi tuyến là: hyperbolic, parabolic và dạng hàm mũ . Trong đó mô hình dạng hyperbolic đã được tổng quát hóa và áp dụng tốt trong phương pháp phần tửhữu hạn đểgiải quyết bài toán phi tuyến trong cơ học đất.
2.1.2. Quan hệ ứng suất biến dạng trong giai đoạn chảy dẻo
Trong một vài thí nghiệm đơn giản như nén 1 trục, hoặc cắt, điểm bắt đầu xuất hiện biến dạng dẻo hay gọi là ngưỡng dẻo, điểm dẻo có thể được quan sát trực tiếp từ đường cong ứng suất –biến dạng, và trong điều kiện không gian ứng suất 2 chiều thì tập hợp các điểm dẻo tạo thành 1 đường cong dẻo hay và với không gianứng suất 3 chiều thì tập hợp các điểm dẻo tạo thành một mặt trong không gian ứng suất mà tại đây, vật liệu bắt đầu xuất hiện biến dạng dẻo, và đó gọi là mặt chảy dẻo . Phương trình toán học đểdiễn tả đường cong dẻo hay mặt chảy dẻo được gọi là tiêu chuẩn chảy dẻo ( yield criteria)
Hình 2.4: Đồthị diễn tảsựchảy dẻo của vật liệu [2]
Khi bắt đầu chảy dẻo, độ gia tăng biến dạng dẻo được tính theo công thức sau
(2.13)
p ij
ij
d g
Trong đó f được gọi là hàm chảy dẻo, và dλ là tham sốgia tải . Quy luật chảy dẻo
Khi ứng xử của vật liệu đạt đến ngưỡng dẽo, nghĩa là trạng thái ứng suất lúc bấy giờnằm trên mặt , biến dẻo. Và tại ngưỡng dẽo, biến dạng dẻo xuất hiện. Việc xác định biến dạng dẻo, cũng như tốc độbiến dạng dẻo được xác định theo công thức sau.
(2.14)
p ij
ij
d d g
Trongđó dλ là một đại lượng vô hướng có giá trị dương khi biến dạng dẻo xảy ra.
Và g = g(ij ) = g(I1, I2, I3 ) = 0, g được gọi là hàm thế năng dẻo, nếu hàm thế năng dẻo g trùng với mặt dẻo thìđó được gọi là quy luật chảy dẻo kết hợp. Nếu hàm thế năng dẻo g khác với mặt dẻo thìđó là chảy dẻo không kết hợp
Hình 2.5 : Quy luật chảy dẻo kết hợp [2]
Năm 1953, Koiter đãđề nghịmột công thức tổng quát cho quy luật chảy là:
1
(2.15)
n
p i
ij i
i ij
d d g
Druker năm 1950, 1951, 1954 đãđưa ranhững định đềcho sự ổn định của vật liệu trong suốt chu kỳlàm việc gia tải cũng như dỡtải.
- Mặt chảy dẻo phải là đường cong lồi trong không gianứng suất.
- Mặt chảy dẻo và thế năng dẻo phải trùng nhau ( trong quy luật chảy dẻo kết hợp), độ gia tăngbiến dạng dẻo là vecto trực giao với mặt chảy dẻo.
- Điều kiện suy bền “softening” sẽ không xảy ra, vật liệu phải không sụp đổ trong suốt quá trình chảy dẻo hoặc là cường độcủa nó phải không giatăngtrong khi phá hoại dưới việc tăng tải.
Nói một cách tổng quát, tiêu chuẩn ổn định của Druker có thể mô tảqua công thức toán học sau:
0 (2.16)
p
ij ij
d d Mô hình chảy dẻo lý tưởng ( perfect plastic )
Hình 2.6: Quan hệ ứng suất - biến dạng trong mô hình chảy dẻo hoàn toàn
Trong vật liệu chảy dẻo lý tưởng, mặt chảy dẻo là cố định trong không gian ứng suất mà không phải là mởrộng hay dịch chuyển .
Hàm chảy dẻo là hàm của tensorứng suất hay là hàm của các bất biến tensoứng suất đối với vất liệu đẳng hướng.
Trong quá trình biến dạng dẻo
ij 0 (2.17)
f Mà ta có tenso độ tăng biến dạng dẻo
(1) (2.18)
p ij
ij
d d f
0 (2.19)
ij ij
df f d
Theo điều kiệnổn định
0 (2.20)
p
ij ij
d d
Đối với vật liệu chảy dẻo lý tưởng , phương trìnhđiều kiệnổnđịnh trởthành:
0 2.21
p ij ij
d d
Phương trình trên chỉra rằng, trong suốt quá trình biến dạng dẻo xảy ra,ứng suất vẫn là hằng sốtrong khi biến dạng dẻo vẫn tăng.
Áp dụng nguyên tắc chuỗi sốcủa việc lấy vi phân cho vếbên phải của phương trình (1) . Ta có:
2.22
p mm mn
ij
kk ij mn ij
s
f f
d d
s
Bằng các phép biến đổi toán học ta có công thức tính tensor gia tăng biến dạng dẻo
3 2.23
p kk
kk
d d f
Tenso biến dạng lệch của tenso gia tăng biến dạng dẻo được tính là:
2.24
p ij
ij
de d f
s
Mô hình chảy dẻo tái bền (work hardening plastic)
Hình 2.7: Quan hệ ứng suất –biến dạng trong mô hình chảy dẻo tái bền [8]
Khác với mô hình chảy dẻo lý tưởng, mô hình chảy dẻo tái bền nghĩa là mặt dẻo không phải là cố định và có thể thay đổi khi biến dạng dẻo bắt đầu xảy ra. Và một vấn đề chính trong mô hình dẻo tái bền là xác định tính chất của sự thay đổi mặt dẻo hay hàm chảy dẻo ngay sau khi biến dạng dẻo xảy ra. Và quy tắc của sự thay đổi mặt dẻo hay là sự phát triển của mặt được gọi là quy tắc tái bền ( hardening rule) . Một cách tổng quát có 3 quy tắc tái bền được đưa ra đó là
- Tái bền đẳng hướng ( isotropic hardening ) - Tái bền động ( Kinematic hardening) - Tái bền phối hợp ( Mixed hardening)
Trong phạm vi đề tài nghiên cứu ,3 mô hình đất lựa chọn sử dụng để mô phỏng công trình là Morh Coulomb, Hardening Soil Model, và Soft Soil Model chỉ có quy tắc tắc bền đẳng hướng . Do đó, vềphần cơ sởlý thuyết tác giảchỉtrình bày quy tắc tái bền đầu tiên là tái bền đẳng hướng ( isotropic hardening)
Trong mô hình chảy dẻo tái bền với quy tắc tái bền đẳng hướng, mặt dẻo ban đầu khi biến dạng dẻo bắt đầu sẽ được mởrộng ra một cách đẳng hướng.
Vào năm 1957 Drucker và cộng sự đãđềnghịlần đầu tiên rằng đất có thể được mô hình hóa như là một vật liệu đàn hồi –dẻo tái bền. Và họ đưa ra mô hình mặt dẻo giống như là mặt dẻo von Mises mởrộng , với hình nónđược thêm vào.
Hàm chảy dẻo có phương trình là:
Khi trạng tháiứng suất trên mặt phá hoại:
1 2 2 1
( , ) 2.25
f h I J J Q I Khi trạng tháiứng suất trên mặt nón:
1 2 2 1
( , , ) , 2.26
f H I J J F I Trong đóκđược gọi là tham sốtái bền, và có dạng là: g kkp
Và công thức tính biến dạng dẻo lúc này là:
1 2 2
1 2.27
2
p
ij ij ij
f f
d d s
I J J
Trong đó thành phần biến dạng dẻo thểtích là:
1
3 2.28
p kk
d d f
I
Và thành phần biến dạng lệch là:
2 2
1 2.29
2
p
ij ij
de f s
J J
2.2. LÝ THUYẾT QUAN HỆ ỨNG SUẤT TRONG PHẦN MỀM PLAXIS Mô hình Morh Coulomb
Mô hình Morh Coulomb là mô hìnhứng xử đất đàn hồi–dẻo lý tưởng. Theo nguyên tắc cơ bản của đàn hồi – dẻo, biến dạng cũng như tốc độ của biến dạng bao gồm 2 thành phần, phần đàn hồi và phần dẻo:
2.30
e p
e p
Hình 2.8: Quan hệ ứng suất–biến dạng trong mô hình Morh Coulomb [14]
Trong mô hình Morh Coulomb, trong giaiđoạn đàn hồi quan hệgiữa độ gia tăng ứng suất và độ gia tăng biến dạng tuân theo định luật Hooke và có phương trình như sau:
' De. e De. p 2.31
Tốc độ gia tăng biến dạng dẻo được tính theo công thức quy luật chảy dẻo không kết hợp.
. ' 2.32
p g
Trong đó:
g–chính là hàm thế năng dẻo
–là hệsốnhân dẻo. Khiứng xử là đàn hồi thuần túy thìλ= 0và trong trường hợpứng xửchảy dẻo> 0
= 0cho trường hợp f < 0 hay ' 0
T
f e
D
> 0cho trường hợp f = 0 hay ' 0
T
f e
D
Hình 2.9: Mặt dẻo Morh Coulomb trong không gian ứng suất [14]
Mô hình Hardening Soil model
Khác với mô hình đàn hồi –dẻo lý tưởng Morh Coulomb , mặt dẻo của mô hình tái bền đẳng hướng Hardening Soil không cố định trong không gianứng suất mà mởrộng đẳng hướng do biến dạng dẻo sinh ra.
Quan hệ ứng suất biến dạng trong mô hình Hardening Soil là dạng hyperbolic lần đầu tiên được đưa ra bằng công thức toán lần đầu tiên bởi Kondner (1963) và sau đó được sử dụng trong mô hình đất của Duncan & Chang (1970). Trong mô hình này, lý thuyết dẻo được sử dụng hơn là lý thuyết đàn hồi. Một cái khác biệt nữa trong mô hình Hardening Soil model là đưa góc dãn nỡψvà giới thiệu mũ chảy dẻo ( cap yield)
Hình 2.10: Đường cong quan hệ ứng suất lệch–biến dạng trong mô hình HSM [14]
Hàm chảy dẻo trong mô hình Hardening Soil là:
2.33
f f p
Trong đó f là hàm củaứng suất và p là hàm của biến dạng dẻo
1 1
2 2
; 2 2 2.34
1 /
p p p p
v
i a ur
q q
f E q q E
Hình 2.11: Mặt dẻo trong mô hình HSM trong không gianứng suất [14]
Trong chương này, tác giả đã trình bày lại mối quan hệ ứng suất biến dạng trong đất với 2 giai đoạn là đàn hồi và chảy dẻo, trong giai đoạn đàn hồi có 2 mô hình làđàn hồi tuyến tính và đàn hồi phi tuyến, trong đó đàn hồi tuyến tính là dựa trên định luật Hooke về quan hệ ứng suất biến dạng. Mô hìnhứng xử đàn hồi phi tuyến được đưa ra lần đầu tiên do Kondner đề nghị năm 1963, sau đó được Duncan–Chang phát triển trong đó quan hệ ứng suất biến dạng là một đường cong hyperbolic.
Trong giai đoạn chảy dẻo, 2 trạng thái chảy dẻo được trình bày là chảy dẻo hoàn toàn và không kết hợp được sử dụng trong mô hình Mohr Coulomb và chảy dẻo tái bền đẳng hướng kết hợp được sử dụng trong mô hình Mohr Coulomb. Do trong đềtài luận văn này, tác giảchỉ sử dụng 2 mô hình là Mohr Coulomb và Hardening Soil nên quan hệ ứng suất- biến dạng tác dụng chỉtrình bày trong phạm vi 2 mô hình kểtrên .