Xem xét tấm sandwich FGM có chiều cao h và các cạnh a và b (Hình 4.1). Tấm được hình thành từ hỗn hợp hai vật liệu ceramic và metal. Hai lớp bề mặt của tấm được làm bằng vật liệu FGM với các đặc tính thay đổi liên tục theo hướng chiều dày, trong khi lớp lõi đồng nhất.
(a)
(b) Lõi cứng đồng nhất (c) Lõi mềm đồng nhất
Hình 4.1: Dạng hình học tấm sandwich FGM và hai dạng lõi của tấm
Các đặc tính của tấm của lớp thứ n như Mô đun đàn hồi E, hệ số Poisson , mật độ khối lượng được xác định như sau:
( ) ( )
( ) ( )
n n
t b t Vb
P z P P P (4.1)
trong đó Pt và Pb lần lượt là các đặc tính vật liệu tại mặt trên, mặt dưới và tại lõi.
Hàm mật độ thể tích Vb( )n được xác định bởi:
(1) 0
0 1
1 0
2
1 2
(3) 3
2 3
2 3
,
1 [ , ]
,
p
b
b
p
b
z h
V z h h
h h
V z h h
z h
V z h h
h h
(4.2)
trong đó p là chỉ số vật liệu có giá trị dương.
Ví dụ 1: Khảo sát tần số dao động tự nhiên và lực tới hạn của 2 trường hợp tấm sandwich FG theo hệ số phân phối vật liệu p và tỉ số a/h : với tấm có lõi cứng được làm bằng Al2O3 ( Eb, , b b) , mặt trên và dưới của tấm FG được làm bằng Al ( Et, , t t) , và tấm có lõi mềm được làm bằng Al ( Et, , t t), mặt trên và dưới của tấm FG được làm bằng Al2O3 ( Eb, , b b) .
Để kiểm tra độ chính xác của lý thuyết hiện tại, tần số dao động tự nhiên và lực tới hạn của tấm FG nhận được sẽ được so sánh với nghiên cứu của Li và cộng sự (2008) (3D) [26], Bessaim và cộng sự (2013) [33], Thai và cộng sự (FSDT) (2014) [34] , Nguyen và cộng sự (HSDT) (2014) [35].
Các thông số kích thước hình học và đặc trưng vật liệu được sử dụng trong tính toán: h=0.1m, a=1m, b=1 m. Tấm FG được kết hợp từ 2 vật liệu Aluminum (Al) và Alumina (Al2O3). Thông số vật liệu của Alumina : Eb =380 MPa, b 3800kg/m3,
=0.3, và của Aluminum là Et =70 MPa, t 2700 kg/m3, =0.3.
Để thuận tiện trong so sánh kết quả, các biểu thức trực giao sau được sử dụng:
2 2
3
0 0 3 0 0
0
/ , , 1GPa, 1kg/m
100
cr cr
N a
a E N E
h E h
(4.3)
Bảng 4.1 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên với trường hợp tấm sandwich lõi cứng, tỉ số (a/h=10)
BC p Theory 1-0-1 2-1-2 1-1-1 2-2-1 1-2-1
SSSS 0 Luận văn 2453 1.82453 1.82453 1.82453 1.82453
Nguyen et al. (HSDT) [36] 1.82489 1.82489 1.82489 1.82489 1.82489 Bessaim et al. (Quasi-3D) [32] 1.82682 1.82682 1.82682 1.82682 1.82682 Li et al. (3D) [26] 1.82682 1.82682 1.82682 1.82682 1.82682
1 Luận văn 1.24335 1.30023 1.35339 1.39569 1.43931
Nguyen et al. (HSDT) [36] 1.24332 1.30024 1.35345 1.39579 1.43948 Bessaim et al. (Quasi-3D) [32] 1.24495 1.30195 1.35527 1.39987 1.44143 Li et al. (3D) [26] 1.24470 1.30181 1.35523 1.39763 1.44137
5 Luận văn 0.94632 0.98208 1.04481 1.10907 1.17400
Nguyen et al. (HSDT) [36] 0.94611 0.98193 1.04473 1.10905 1.17403 Bessaim et al. (Quasi-3D) [32] 0.94716 0.98311 1.04613 1.11723 1.17579 Li et al. (3D) [26] 0.94476 0.98103 1.04532 1.10983 1.17567
10 Luận văn 0.92876 0.94324 0.99570 1.06120 1.12320
Nguyen et al. (HSDT) [36] 0.92854 0.94305 0.99558 1.06114 1.12320 Bessaim et al. (Quasi-3D) [32] 0.92952 0.94410 0.99684 1.07015 1.12486 Li et al. (3D) [26] 0.92727 0.94078 0.99523 1.06104 1.12466
CCCC 0 Luận văn 3.17354 3.17354 3.17354 3.17354 3.17354
Thai et al. (FSDT) [33] 3.29360 3.29360 3.29360 3.29360 3.29360 Li et al. (3D) [26] 3.13800 3.13800 3.13800 3.13800 3.13800
1 Luận văn 2.19951 2.29993 2.39129 2.46233 2.53662
Thai et al. (FSDT) [33] 2.28140 2.38640 2.48180 2.55560 2.63300 Li et al. (3D) [26] 2.19020 2.29110 2.38190 2.45110 2.53980
5 Luận văn 1.68027 1.75144 1.86233 1.97275 2.08577
Thai et al. (FSDT) [33] 1.72930 1.80640 1.92690 2.04150 2.16290 Li et al. (3D) [26] 1.66190 1.73930 1.85790 1.96720 2.15720
10 Luận văn 1.64224 1.68284 1.77693 1.88976 1.99850
Thai et al. (FSDT) [33] 1.68580 1.72680 1.83290 1.94970 2.07030 Li et al. (3D) [26] 1.62120 1.66330 1.76860 1.88080 1.99860
Bảng 4.2 Tần số dao động tự nhiên không thứ nguyên với trường hợp tấm sandwich lõi mềm, tỉ số (a/h=10)
BC p Theory 1-0-1 2-1-2 1-1-1 2-2-1 1-2-1
SSSS 0 Luận văn 0.92780 0.92780 0.92780 0.92780 0.92780
Bessaim et al. (Quasi-3D) [32] 0.92897 0.92897 0.92897 0.92897 0.92897 Li et al. (3D) [26] 0.92897 0.92897 0.92897 0.92897 0.92897
1 Luận văn 1.72403 1.68107 1.63674 1.57703 1.55906
Bessaim et al. (Quasi-3D) [32] 1.72814 1.68625 1.64199 1.58430 1.56301 Li et al. (3D) [26] 1.72227 1.67437 1.63053 1.57037 1.55788
5 Luận văn 1.84113 1.83869 1.81275 1.75050 1.74351
Bessaim et al. (Quasi-3D) [32] 1.84465 1.84456 1.82032 1.75972 1.75143 Li et al. (3D) [26] 1.84198 1.82611 1.78956 1.72726 1.72670
10 Luận văn 1.83815 1.84955 1.83237 1.77278 1.77026
Bessaim et al. (Quasi-3D) [32] 1.84113 1.85489 1.83973 1.78163 1.77878 Li et al. (3D) [26] 1.84020 1.83987 1.80813 1.74779 1.74811
CCCC 0 Luận văn 1.61380 1.61380 1.61380 1.61380 1.61380
Li et al. (3D) [26] 1.59667 1.59667 1.59667 1.59667 1.59667
1 Luận văn 2.91897 2.81220 2.71972 2.63645 2.58236
Li et al. (3D) [26] 2.84447 2.71205 2.61914 2.53960 2.50113
5 Luận văn 3.16720 3.10927 3.02396 2.93573 2.86543
Li et al. (3D) [26] 3.11435 2.98733 2.85602 2.77151 2.71561
10 Luận văn 3.17822 3.14393 3.06990 2.98376 2.91404
Li et al. (3D) [26] 3.13632 3.03681 2.89948 2.81400 2.74524
Kết quả tần số dao động được trình bày trong Bảng 4.1 (trường hợp tấm sandwich lõi cứng) thể hiện quan hệ giữa tần số dao động và hệ số phân phối vật liệu p trong các trường hợp điều kiện biên tấm khác nhau. Kết quả cho thấy việc tăng hệ số phân phối vật liệu p (hay tăng thành phần kim loại có mô đun đàn hồi nhỏ hơn gốm) làm cho tần số dao động của tấm giảm dần, hay độ cứng của tấm giảm dần, và ngược lại với bảng 4.2 (trường hợp tấm sandwich lõi mềm) ta thấy khi tăng hệ số phân phối vật liệu p (hay tăng thành phần gốm có mô đun đàn hồi lớn hơn kim loại) làm cho tần số dao động của tấm càng tăng, độ cứng của tấm càng tăng.
Bảng 4.3 Lực tới hạn không thứ nguyênN c r,với tải trọng nén hai trục của tấm sandwich lõi cứng, tỉ số (a/h=10)
BC p Theory 1-0-1 2-1-2 1-1-1 2-2-1 1-2-1
SSSS 0 Luận văn 6.50303 6.50303 6.50303 6.50303 6.50303
Nguyen et al. (HSDT) [36] 6.50566 6.50566 6.50566 6.50566 6.50566 Thai et al. (FSDT) [33] 6.50220 6.50220 6.50220 6.50220 6.50220
1 Luận văn 2.58423 2.92060 3.23270 3.47490 3.75314
Nguyen et al. (HSDT) [36] 2.58410 2.92060 3.23299 3.47544 3.75403 Thai et al. (FSDT) [33] 2.58240 2.91930 3.23200 3.47420 3.75280
5 Luận văn 1.33007 1.52204 1.79032 2.05644 2.36744
Nguyen et al. (HSDT) [36] 1.32948 1.52155 1.79002 2.05633 2.36760 Thai et al. (FSDT) [33] 1.32080 1.51410 1.78550 2.05120 2.36520
10 Luận văn 1.24467 1.37399 1.59798 1.85423 2.14018
Nguyen et al. (HSDT) [36] 1.24406 1.37341 1.59758 1.85403 2.14020 Thai et al. (FSDT) [33] 1.23330 1.36120 1.58970 1.84500 2.13640
CCCC 0 Luận văn 15.9076 15.9076 15.9076 15.9076 15.9076
Thai et al. (FSDT) [33] 15.9226 15.9226 15.9226 15.9226 15.9226
1 Luận văn 6.54577 7.39633 8.16786 8.75288 9.43320
Thai et al. (FSDT) [33] 6.54340 7.39900 8.17530 8.76120 9.44430
5 Luận văn 3.39503 3.92020 4.60603 5.26826 6.04992
Thai et al. (FSDT) [33] 3.34000 3.87380 4.58130 5.24170 6.04450
10 Luận văn 3.14983 3.54177 4.12146 4.76155 5.48603
Thai et al. (FSDT) [33] 3.08250 3.46290 4.07320 4.70840 5.46960
(a) Tấm lõi cứng
(b) Tấm lõi mềm
Hình 4.2 Đồ thị mối quan hệ giữa hệ số phân bố vật liệu p với tần số dao động không thứ nguyên w của tấm sandwich với điều kiện biên (SSSS)
(a) Tấm lõi cứng (b) Tấm lõi mềm
Hình 4.3 Đồ thị mối quan hệ giữa hệ số phân bố vật liệu p với tần số dao động không thứ nguyên w của tấm sandwich với điều kiện biên (CCCC)
(a) Điều kiện biên gối tựa đơn (SSSS)
(b) Điều kiện biên liên kết ngàm (CCCC)
Hình 4.4 Đồ thị mối quan hệ giữa hệ số phân bố vật liệu p với lực tới hạn không thứ nguyên N c r của tấm sandwich lõi cứng
Bảng 4.1, 4.2 và 4.3 thể hiện tần số không thứ nguyên và lực tới hạn của tấm sandwich có liên kết tựa đơn và liên kết ngàm. Kết quả của nghiên cứu trong luận văn này cho thấy sự phù hợp với các nghiên cứu trước đó. Kết quả hầu như gần giống so với nghiên cứu của Nguyen và cộng sự (2010) [36], Bessaim và cộng sự (2010) [32], Li và cộng sự (2010) [26]. Và có một sự chênh lệch không đáng kể so với kết quả nghiên cứu của Thai et al (2009) [33], do nghiên cứu này sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất. Kết quả tần số dao động được trình bày trong Bảng
4.1 (trường hợp tấm sandwich lõi cứng) thể hiện quan hệ giữa tần số dao động và hệ số phân phối vật liệu p trong các trường hợp điều kiện biên tấm khác nhau. Kết quả cho thấy việc tăng hệ số phân phối vật liệu p (hay tăng thành phần kim loại có mô đun đàn hồi nhỏ hơn gốm) làm cho tần số dao động của tấm giảm dần, hay độ cứng của tấm giảm dần, và ngược lại với bảng 4.2 (trường hợp tấm sandwich lõi mềm) ta thấy khi tăng hệ số phân phối vật liệu p (hay tăng thành phần gốm có mô đun đàn hồi lớn hơn kim loại) làm cho tần số dao động của tấm càng tăng, độ cứng của tấm càng tăng.
Ví dụ 2: Khảo sát độ võng u3 của tấm sandwich FG theo hệ số phân phối vật liệu p và tỉ số a/h: với tấm có lõi cứng được làm bằng ZrO2 ( Eb, , b b) , mặt trên và dưới của tấm FG được làm bằng Al ( Et, , t t) .
Với bài khảo sát độ võng không thứ nguyên u3 của tấm FG đã được nghiên cứu của Nguyen và cộng sự (HSDT) (2014) [36], Zenkour (2005) [17].
Các thông số kích thước hình học, đặc trưng vật liệu:
h=0.1 m, a=1m, b=1 m. Tấm FG được kết hợp từ 2 vật liệu Aluminum và Alumina (Al2O3). Thông số vật liệu, Zirconia (ZrO2): Eb =151 MPa, b 3000 kg/m3, =0.3.
Aluminum: Et =70 MPa, t 2700 kg/m3, =0.3.
Các công thức được sử dụng trong tính toán :
3 2 0 3
0
10 ( , )
2 2 hE a b
u u
a P (4.4)
với E0 1GPa .
Bảng 4.4 Độ võng giữa tấm u3 của tấm sandwich lõi cứng Al/ZrO2,(Kw=0) tỉ số (a/h=10)
P Theory Scheme
1-0-1 1-1-1 1-2-1 2-1-2 2-2-1
0 Luận văn 0.19607 0.19607 0.19607 0.19607 0.19607
Nguyen et al. (HSDT) [36] 0.19607 0.19607 0.19607 0.19607 0.19607 Zenkour (HSDT) [17] 0.19606 0.19607 0.19607 0.19607 0.19607
1 Luận văn 0.32357 0.29201 0.27099 0.30631 0.28088
Nguyen et al. (HSDT) [36] 0.32369 0.29203 0.27096 0.30638 0.28089 Zenkour (HSDT) [17] 0.32358 0.29199 0.27094 0.30632 0.28085
2 Luận văn 0.37329 0.33288 0.30267 0.35277 0.31618
Nguyen et al. (HSDT) [36] 0.37371 0.33303 0.30268 0.35259 0.31631 Zenkour (HSDT) [17] 0.37335 0.33289 0.30263 0.35231 0.31617
5 Luận văn 0.40916 0.37138 0.33482 0.39171 0.34959
Nguyen et al. (HSDT) [36] 0.41008 0.37199 0.33499 0.39273 0.35011 Zenkour (HSDT) [17] 0.40927 0.37145 0.33480 0.39183 0.34960
10 Luận văn 0.41763 0.38541 0.34823 0.40392 0.36209
Nguyen et al. (HSDT) [36] 0.41853 0.38644 0.34857 0.40549 0.36299 Zenkour (HSDT) [17] 0.41772 0.38551 0.34824 0.40407 0.36215
Tiếp theo kết quả chuyển vị giữa tấm u3 của sandwich lỗi cứng trong bảng 4.4 ta thấy rằng kết quả nghiên cứu tương tự như kết quả nghiên cứu của Nguyen và cộng sự (2014) [36] , Zenkour(2005) [17]. Sự chênh lệch của luận văn với kết quả nghiên cứu này không vượt quá 0.5% , điều này cho thấy rằng kết quả của mô hình tấm sử dụng lý thuyết biến dạng cắt bậc cao trong luận văn này cho kết quả có độ chính xác cao, có thể khảo sát các thông số còn lại của mô hình.