Ta thấy không gian L { } có duy nhất một hệ sinh là S { }, hệ sinh này vừa là hệ sinh tối thiểu vừa là hệ sinh tối đại của không gian L. Vậy trong các không gian L { } thì các hệ sinh tối thiểu và không tối thiểu của nó có đặc điểm gì?
Trước khi xem xét hệ sinh tối thiểu, ta sẽ chứng minh một số đặc điểm của hệ sinh không tối thiểu:
Định lí 4.2
Hệ sinh S là một hệ sinh không tối thiểu của không gian L { } khi và chỉ khi hệ sinh S là hệ vector phụ thuộc tuyến tính.
Chứng minh:
( ): Giả sử hệ sinh S { , , … , } không phải là hệ sinh tối thiểu, tức là tồn tại ít nhất một hệ sinh S { , , … , } có p < m. Do các vector của hệ S đều biểu diễn tuyến tính qua hệ S' nên theo định lí 2.5 ta có hệ sinh S phụ thuộc tuyến tính.
( ): Giả sử S { , , … , } là một hệ sinh phụ thuộc tuyến tính của không gian L.
Do L { } S { }, ta suy ra L { } S { }, mà S phụ thuộc tuyến tính cho nên S phải có ít nhất 2 vector, đồng thời trong hệ S phải có ít nhất một vector biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại. Giả sử đó là vector , suy ra mọi vector trong hệ S đều có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ S { , … , }.
Do mọi vector trong không gian L đều biểu diễn tuyến tính qua hệ S, nên chúng đều biểu diễn tuyến tính qua hệ S', hay hệ S' là một hệ sinh của không gian L. Từ đó suy ra hệ S không phải là hệ sinh tối thiểu của không gian L.
24
Theo chứng minh ( ) của định lí 4.2, do S' là một hệ con thực sự của hệ sinh S nên ta có hệ quả sau:
Hệ quả 4.2.1
Mọi hệ sinh không tối thiểu của không gian L { } đều tồn tại ít nhất một hệ con thực sự của nó là hệ sinh.
Từ hệ quả 4.2.1, ta rút ra đặc điểm cơ bản của hệ sinh tối thiểu dưới đây:
Định lí 4.3
Hệ sinh , , … , là hệ sinh tối thiểu (số vector ít nhất) của không gian L khi và chỉ khi mọi hệ con thực sự của , , … , đều không phải là hệ sinh.
Chứng minh:
( ): Điều này hiển nhiên đúng bởi vì một hệ sinh mà tồn tại ít nhất một hệ con thực sự của nó là hệ sinh thì nó không phải là một hệ sinh tối thiểu.
( ): Theo hệ quả 4.2.1, ta suy ra điều phải chứng minh.
Để xác định hệ sinh tối thiểu của một không gian vector theo định lí 4.3 là rất khó.
Định lí dưới đây sẽ mô tả các đặc điểm của hệ sinh tối thiểu, qua đó cho chúng ta phương pháp tìm hệ sinh tối thiểu của một không gian vector.
Định lí 4.4
Giả sử S là một hệ sinh của không gian L { }. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương:
(i) S là một hệ sinh tối thiểu của L.
(ii) S là một hệ sinh độc lập tuyến tính của L.
(iii) S là một hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của L.
(iv) S là một hệ sinh mà mọi vector của L biểu diễn tuyến tính qua S theo cách duy nhất.
Chứng minh:
ét S { , , … , } là một hệ sinh của không gian L { }.
( ) ( ): Theo định lí 4.2, ta có điều phải chứng minh.
( ) ( ): ét mọi hệ vector độc lập tuyến tính của không gian L. Do mọi vector của đều có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ sinh S, nên theo hệ quả 2.5.1, ta có số vector của W phải nhỏ hơn hoặc bằng số vector của S. Do đó S là một hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của L.
25
( ) ( ): S { , , … , } là hệ vector độc lập tuyến tính tối đại nên theo hệ quả 2.9.1, mọi vector của không gian L đều biểu diễn tuyến tính qua hệ S theo cách duy nhất. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
( ) ( ): Ta chứng minh thông qua bổ đề sau: "Với mọi hệ sinh S phụ thuộc tuyến tính của không gian L { }, tồn tại ít nhất một vector L biểu diễn tuyến tính qua hệ S theo nhiều hơn 1 cách".
Giả sử S { , , … , } là một hệ sinh phụ thuộc tuyến tính của không gian L { }, suy ra S phải có ít nhất 2 vector, đồng thời trong hệ S phải có ít nhất một vector biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại. Giả sử đó là vector , tức là:
k k k
Khi đó vector có ít nhất 2 cách biểu diễn tuyến tính qua hệ S:
0 k k k 1 0 0 0 Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Hệ quả 4.4.1
Mọi hệ sinh tối thiểu đều có số vector bằng nhau.
ét S và S' là 2 hệ sinh tối thiểu bất kì của không gian L { }. Theo định lí 4.4, S và S' là 2 hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của không gian L, do đó hai hệ S và S' phải có số vector bằng nhau (theo hệ quả 2.9.2).
Hệ quả 4.4.2
Mọi hệ n vector n chiều độc lập tuyến tính đều là hệ sinh tối thiểu của không gian . Suy ra mọi hệ sinh tối thiểu của không gian đều có số vector đúng bằng n.
Theo định lí 2.6, mọi hệ vector n chiều có số vector lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính, cho nên mọi hệ n vector n chiều độc lập tuyến tính đều là các hệ vector độc lập tuyến tính tối đại của . Theo định lí 4.4, chúng đều là hệ sinh tối thiểu của không gian , từ đó suy ra mọi hệ sinh tối thiểu của không gian đều có số vector đúng bằng n.
Theo định lí 4.4, nếu S là một hệ sinh tối thiểu của không gian L thì mọi vector của L biểu diễn tuyến tính qua S theo cách duy nhất. Tính "sinh" và tính "duy nhất" này là những đặc điểm của một cơ sở của không gian L.