5. Hạng của một hệ hữu hạn vector
5.3. Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng
5.3.2. Các phép biến đổi sơ cấp
Các phép biến đổi sau đây đối với hệ vector được gọi là các phép biến đổi sơ cấp: 1. Đổi chỗ 2 vector của hệ.
2. Nhân 1 vector của hệ với một số k 0.
3. Cộng vào một vector của hệ tích của một vector khác trong cùng hệ đó với một số bất kì.
Định lí 5.6
Các phép biến đổi sơ cấp của hệ vector không làm thay đổi hạng của nó.
Chứng minh:
1. Định lí hiển nhiên đúng đối với phép biến đổi sơ cấp thứ nhất.
2. ét một hệ vector n chiều bất kì H { , , … , }. Nhân vector của hệ với một số k 0 ta được hệ vector H {k , , … , }.
Áp dụng định lí 5.5, ta thấy 2 hệ H và H' đều có hạng bằng hạng của hệ vector sau:
H {k , , , … , } Thật vậy:
33 - Vector k biểu diễn tuyến tính qua hệ H:
k k 0 0 - Vector biểu diễn tuyến tính qua hệ H':
1
k(k ) 0 0
Vậy 2 hệ H và H' có hạng bằng nhau, do đó phép biến đổi thứ 2 không làm thay đổi hạng của hệ vector.
2. ét một hệ vector n chiều bất kì H { , , … , }. Cộng vào vector tích của vector với một số k, ta được hệ vector H { k , , … , }.
Áp dụng định lí 5.5, ta thấy 2 hệ H và H' đều có hạng và bằng hạng của hệ vector sau:
H { k , , , … , } Thật vậy:
- Vector k biểu diễn tuyến tính qua hệ H:
k k 0 0 - Vector biểu diễn tuyến tính qua hệ H':
( k ) k 0 0
Vậy 2 hệ H và H' có hạng bằng nhau, do đó phép biến đổi thứ 3 không làm thay đổi hạng của hệ vector.
34
35
Mục lục phần "Tóm tắt kiến thức"
1. Vector và không gian vector ... 38 1.1. Định nghĩa vector và không gian vector tổng quát... 38 1.2. Các ví dụ về không gian vector ... 39 1.3. Một số tính chất của không gian vector ... 40 1.4. Phép trừ 2 vector ... 40 1.5. Vector số học n chiều và không gian vector số học n chiều ... 40 1.5.1. Định nghĩa vector số học n chiều ... 40 1.5.2. Hai vector n chiều bằng nhau ... 41 1.5.3. Định nghĩa không gian vector n chiều ... 41 2. Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vector ... 42 2.1. Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của hệ vector ... 42 2.2. Phép biểu diễn tuyến tính ... 43 2.3. Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính ... 43 2.3.1. Khái niệm độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính ... 43 2.3.2. Các định lí cơ bản về sự độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính ... 45 2.3.3. Tính chất của hệ con độc lập tuyến tính tối đại ... 46 3. Không gian vector con ... 46 3.1. Định nghĩa về không gian vector con ... 46 3.2. Các tính chất của không gian vector con ... 47 3.3. Ví dụ về không gian vector con ... 47 3.4. Không gian con sinh bởi hệ vector ... 47 4. Cơ sở và số chiều của không gian vector... 48 4.1. Hệ sinh ... 48 4.2. Hệ sinh tối thiểu và các đặc điểm của nó ... 49 4.3. Cơ sở và số chiều của một không gian ... 50 4.4. Tọa độ của vector trong cơ sở ... 51 5. Hạng của một hệ hữu hạn vector ... 52 5.1. Cơ sở của một hệ vector ... 52 5.2. Hạng của một hệ vector ... 53 5.3. Các phép biến đổi không làm thay đổi hạng ... 53 5.3.1. Phép biến đổi thêm bớt vector ... 53 5.3.2. Các phép biến đổi sơ cấp ... 54
36
Danh sách các định nghĩa, ví dụ, tính chất, định lí, hệ quả
Định nghĩa không gian vector tổng quát ... 38 Cách chứng minh một không gian vector tổng quát ... 39 Các ví dụ về không gian vector tổng quát ... 39 6 tính chất của không gian vector tổng quát ... 40 Định nghĩa phép trừ 2 vector ... 40
Định nghĩa vector số học n chiều... 40 Định nghĩa 2 vector bằng nhau ... 41 Định nghĩa không gian vector số học n chiều ... 41
Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của một hệ vector ... 42 Các ví dụ về tổ hợp tuyến tính ... 42 2 tính chất của tổ hợp tuyến tính ... 42
Định nghĩa biểu diễn tuyến tính ... 43 Các ví dụ về biểu diễn tuyến tính ... 43 Các trường hợp đặc biệt của biểu diễn tuyến tính ... 43 Định lí mô tả tính chất bắc cầu của biểu diễn tuyến tính ... 43
Định nghĩa độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính ... 43 Cách kiểm tra sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vector ... 44 Các ví dụ về độc lập tuyến tính-phụ thuộc tuyến tính ... 44 6 định lí cơ bản về sự phụ thuộc tuyến tính và các hệ quả của chúng ... 45 Định lí mô tả hệ con độc lập tuyến tính tối đại và hệ quả của nó ... 46
Định nghĩa không gian vector con ... 46 3 tính chất của không gian con ... 47 Các ví dụ về không gian con ... 47 Định lí về giao của các không gian con ... 47
37
Định nghĩa không gian con nhỏ nhất sinh bởi hệ vector ... 47 Định lí mô tả không gian con nhỏ nhất sinh bởi hệ vector ... 48
Định nghĩa hệ sinh ... 48 Các ví dụ về hệ sinh ... 48
Định lí cơ bản về hệ sinh tối thiểu ... 49 Định lí mô tả các đặc điểm của hệ sinh tối thiểu và các hệ quả của nó ... 49
Định nghĩa cơ sở của một không gian vector ... 50 Cách chứng minh một cơ sở của không gian vector ... 50 Ví dụ về cơ sở của không gian vector ... 50
Định nghĩa số chiều của không gian vector ... 51 Ví dụ về số chiều của không gian vector ... 51 Các định lí về số chiều của không gian vector ... 51 Định nghĩa tọa độ của vector trong cơ sở ... 51
Định nghĩa cơ sở của hệ vector ... 52 Định lí mô tả cơ sở của hệ vector và hệ quả của nó ... 52 Ví dụ về cơ sở của hệ vector ... 52
Định nghĩa hạng của hệ vector ... 53 Các định lí về hạng của hệ vector và hệ quả của chúng ... 53 Định nghĩa và định lí về phép biến đổi thêm bớt vector ... 53 Định nghĩa và định lí về các phép biến đổi cơ sở ... 54
38
TÓM TẮT KIẾN THỨC
1.Vector và không gian vector
1.1.Định nghĩa vector và không gian vector tổng quát
Định nghĩa: Cho tập (mỗi phần tử trong tập là một đối tượng đại số như số thực, số phức, đa thức, bộ có thứ tự, ma trận, …) và trường ( hoặc ) với 2 phép toán sau:
+:
( , y) y .:
(k, ) k.
Phép toán thứ nhất ta tạm gọi là phép cộng 2 phần tử, phép toán thứ 2 ta tạm gọi là phép nhân 1 số với 1 phần tử, sao cho 2 phép toán này thỏa mãn 8 tính chất sau (các tính chất này tương tự như những tính chất của phép cộng và phép nhân trong tập số thực hoặc số phức):
1. Tính chất giao hoán của phép cộng 2 phần tử: y y , y
2. Tính chất kết hợp của phép cộng 2 phần tử: ( y) (y ) , y, 3. Tồn tại phần tử trung hòa hay phần tử “không”:
4. Mọi phần tử đều tồn tại phần tử đối của nó:
, ( ) ( ) ( )
5. Tích của một phần tử bất kì với 1 bao giờ cũng bằng chính nó:
1.
6. Tính chất phân phối của phép nhân 1 số với 1 phần tử đối với phép cộng 2 phần tử: k( y) k ky , y k
7. Tính chất phân phối giữa phép cộng 2 số và phép nhân 1 số với 1 phần tử: (k l) k l k, l
8. Tính chất kết hợp giữa phép nhân 2 số với phép nhân 1 số với 1 phần tử: (kl) k(l ) k, l
thì được gọi là một không gian vector trên trường , hay còn được gọi là một - không gian vector.
Mỗi phần tử trong được gọi là một vector, mỗi phần tử trong được gọi là một vô hướng. Phép toán thứ nhất gọi là phép cộng 2 vector, phép toán thứ 2 gọi là phép nhân 1 vô hướng với 1 vector.
39
Như vậy để chứng minh một tập và 2 phép toán cộng 2 phần tử và nhân 1 số với 1 phần tử trên tập và trường là một -không gian vector, ta cần chứng minh những điều sau:
1. kín đối với phép cộng 2 phần tử, tức là , y y
2. kín đối với phép nhân 1 số với 1 phần tử, tức là k k
3. 2 phép toán cộng 2 phần tử và nhân 1 số với 1 phần tử thỏa mãn 8 tính chất ở trên.
trong đó mục 3 là mục quan trọng nhất.
1.2.Các ví dụ về không gian vector
Ví dụ 1: {( , , ) } và
Ta định nghĩa 2 phép toán cộng 2 vector và nhân 1 vô hướng với 1 vector như sau : ( , , ), (y , y , y ), k
( y , y , y ) k (k , k , k )
Khi đó cùng 2 phép toán trên là một -không gian vector.
Vector không : ( , , )
Vector đối của vector ( , , ) là ( , , )
Ví dụ 2: ( ) là tập các ma trận vuông cấp n (n là số nguyên dương cho trước) với các phần tử trong ma trận là số phức và . Ta ét phép cộng 2 vector là phép cộng 2 ma trận và phép nhân 1 vô hướng với 1 vector là phép nhân 1 số với 1 ma trận.
Khi đó ( ) cùng 2 phép toán trên là một -không gian vector.
Ví dụ 3: và P là tập các đa thức 1 biến có bậc n (n là số nguyên dương cho trước), tức là :
P {p ∑ a
|a i ,1,2, … , n}
Ta định nghĩa phép cộng 2 vector như phép cộng 2 đa thức và phép nhân 1 vô hướng với 1 vector như phép nhân 1 số với 1 đa thức. Khi đó P cùng với 2 phép toán trên là một -không gian vector, trong đó vector không là đa thức 0.
Ví dụ 4: {( , , ) } và
40
Ta định nghĩa 2 phép toán cộng và nhân như sau : ( , , ), (y , y , y ), k
( y , y , y ) k (k , , )
cùng 2 phép toán trên không phải là một không gian vector do tính chất 7 không thỏa mãn:
Lấy ví dụ với (1,2,3), k 1, l 2
(k l) (1 2). (1,2,3) 3. (1,2,3) (3,2,3)
k l 1. (1,2,3) 2. (1,2,3) (1,2,3) (2,2,3) (3,4,6) (k l) k l
1.3.Một số tính chất của không gian vector Cho là một -không gian vector.
1. Vector là duy nhất.
2. , là duy nhất.
3. , , . 4. . k. k 5. ( 1)
6. k k k hoặc
1.4.Phép trừ 2 vector
Định nghĩa: Hiệu của 2 vector và là một vector kí hiệu là X-Y và được ác định như sau:
( )
Phép trừ 2 vector theo định nghĩa trên là phép toán ngược của phép cộng 2 vector.
Từ các tính chất 6 và 7, ta dễ dàng suy ra các tính chất tương tự đối với phép trừ 2 vector:
k( ) k k (k l) k l
1.5.Vector số học n chiều và không gian vector số học n chiều 1.5.1.Định nghĩa vector số học n chiều
Định nghĩa: Một bộ n số thực có thứ tự (x1, x2, …, n) được gọi là một vector số học n chiều (gọi tắt là vector n chiều).
Để phân biệt các vector, ta gán tên cho mỗi vector bằng các chữ cái in hoa. Để gán tên cho vector (x1, x2, …, n) là ta viết:
X = (x1, x2, …, n)
41
Số thực xi (i 1, 2, …, n) đứng ở vị trí thứ i trong bộ n số thực ở vế phải gọi là thành phần thứ i của vector X. Bộ n số thực ác định vector X ở trên có thể xếp thành 1 dòng hoặc 1 cột:
( )
Cần chú ý rằng vector n chiều không chỉ đơn thuần là một bộ n số thực, mà là bộ n số thực có thứ tự.
1.5.2.Hai vector n chiều bằng nhau
Định nghĩa 2 vector n chiều bằng nhau cũng tương tự như định nghĩa 2 bộ n số thực có thứ tự bằng nhau:
Định nghĩa: 2 vector n chiều ( , , … , ) và (y , y , … , y ) được coi là bằng nhau khi và chỉ khi các thành phần ở vị trí tương ứng của chúng đôi một bằng nhau:
y i 1, 2, … , n
Khái niệm 2 vector bằng nhau chỉ áp dụng cho các vector có cùng số chiều n.
1.5.3.Định nghĩa không gian vector n chiều
Từ định nghĩa không gian vector tổng quát, ta có định nghĩa không gian vector số học n chiều như sau:
Định nghĩa: Không gian vector số học n chiều (gọi tắt là không gian vector n chiều) là tập hợp tất cả các vector n chiều, trong đó phép cộng 2 vector và phép nhân 1 vô hướng (1 số) với 1 vector được ác định như sau:
( , , … , ), (y , y , … , y ), k
( y , y , … , y )
k (k , k , … , k )
Vector không là vector có tất cả các thành phần bằng 0 : ( , , … , )
Vector đối của vector ( , , … , ) là vector ( 1) ( , , … , )
Không gian vector n chiều được kí hiệu là .
Các vector (1, , … , ), ( ,1, … , ), … , ( , , … ,1) được gọi là các vector đơn vị của không gian .
Trong các phần tiếp theo, ta chỉ ét không gian vector n chiều và các không gian con của nó. Các khái niệm, định lí, tính chất, … được trình bày tiếp theo có thể được suy
42
rộng cho không gian vector tổng quát và các không gian con của không gian vector tổng quát.
2.Các mối liên hệ tuyến tính trong không gian vector
2.1.Định nghĩa tổ hợp tuyến tính của hệ vector
Định nghĩa: Cho hệ m vector , , … , . Mỗi tổng ∑ k (k i 1,2, … , m) được gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vector , , … ,
Các số k (i 1,2, … , m) được gọi là các hệ số của tổ hợp tuyến tính.
Nhìn vào công thức của tổ hợp tuyến tính, ta thấy nó được ây dựng bởi 2 phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector. Như vậy có thể nói:
Mỗi tổ hợp tuyến tính của hệ , , … , là kết quả của các phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector trên các vector của hệ , , … , . Và ngược lại, kết quả của các phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector trên các vector của hệ
, , … , là một tổ hợp tuyến tính của hệ , , … , .
Ví dụ: vector 3( 2 ) 8 (4 5 ) là kết quả của các phép toán cộng 2 vector và nhân 1 số với 1 vector trên 3 vector , , ; lại có 11 cho nên cũng là một tổ hợp tuyến tính của 3 vector
, , .
Dễ dàng thấy 2 tính chất sau:
Tổng của 2 tổ hợp tuyến tính bất kì của hệ , , … , là một tổ hợp tuyến tính của hệ đó.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Tích của 1 tổ hợp tuyến tính bất kì của hệ , , … , với 1 số k bất kì là một tổ hợp tuyến tính của hệ đó.
k( ) (k ) (k ) (k )
Hai tính chất trên chứng tỏ:
Định lí: Tập hợp các tổ hợp tuyến tính của hệ vector n chiều , , … , là một không gian con của không gian .
43 2.2.Phép biểu diễn tuyến tính
Định nghĩa: Ta nói rằng vector có thểbiểu diễn tuyến tính (gọi tắt là biểu diễn tuyến tính)qua hệ vector n chiều , , … , khi và chỉ khi tồn tại một tổ hợp tuyến tính của hệ vector , , … , bằng vector X, tức là tồn tại các số thực k , k , … , k sao cho:
k k k
Đặc biệt nếu vector X biểu diễn tuyến tính qua 1 vector ( k ) thì ta nói rằng vector X tỉ lệ với vector Y.
Như vậy để kiểm tra xem vector có thể biểu diễn tuyến tính qua hệ , , … , hay không, ta chỉ cần giải phương trình k k k (thông qua việc giải hệ phương trình tuyến tính). Mỗi nghiệm (k , k , … , k ) của phương trình là một cách biểu diễn tuyến tính vector qua hệ , , … , .
Ví dụ 1: Vector (3, 3, ) biểu diễn tuyến tính qua hệ vector ( ,1,3), (2, 1, 2), ( 5,4,8) do 3 4
Ví dụ 2: Vector không biểu diễn tuyến tính qua mọi hệ vector:
Tổ hợp tuyến tính ở vế phải (với tất cả các hệ số bằng ) được gọi là tổ hợp tuyến tính tầm thường.
Dĩ nhiên, mỗi vector , , … , đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , :
1
Tổng quát hơn, mỗi tổ hợp tuyến tính của p vector bất kì trong m vector , , … , (p m) đều biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , .
Định lí sau đây cho thấy phép biểu diễn tuyến tính có tính chất bắc cầu.
Định lí: Nếu vector biểu diễn tuyến tính qua các vector , , … , và mỗi vector (i 1,2, … , m) đều biểu diễn tuyến tính qua các vector , , … , thì vector biểu diễn tuyến tính qua các vector , , … , .
2.3.Độc lập tuyến tính – Phụ thuộc tuyến tính
2.3.1.Khái niệm độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa: Cho hệ m vector , , … , . Ta nói hệ vector , , … , độc lập tuyến tính khi và chỉ khi vector không chỉ biểu diễn tuyến tính qua hệ vector
, , … , bằng tổ hợp tuyến tính tầm thường, tức là:
44
∑ k
k i 1,2, … , m
Ngược lại, nếu tồn tại tổ hợp tuyến tính không tầm thường của hệ vector , , … , bằng vector không, tức là:
(k , k , … , k ) ( , , … , ) ∑ k
thì ta nói hệ vector , , … , phụ thuộc tuyến tính.
Như vậy để kiểm tra xem một hệ vector , , … , là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính, ta chỉ cần giải phương trình k k k (thông qua việc giải hệ phương trình tuyến tính thuần nhất):
Nếu phương trình chỉ có nghiệm tầm thường (k , k , … , k ) ( , , … , ) thì hệ vector , , … , độc lập tuyến tính.
Nếu phương trình có vô số nghiệm thì hệ vector , , … , phụ thuộc tuyến tính (do tồn tại nghiệm không tầm thường).
Ví dụ 1: ét sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vector đơn vị , , … , . Ta giải phương trình k k k thông qua hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
{
1k k k k 1k k k k 1k…
{
k k
… k
Hệ có nghiệm duy nhất (k , k , … , k ) ( , , … , ), cho nên hệ các vector đơn vị , , … , độc lập tuyến tính.
Ví dụ 2: ét hệ vector:
(1,3, 2,5) (3, 2,1,4) ( 1,8, 5,6)
Ta giải phương trình k k k thông qua hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:
{
k 3k k 3k 2k 8k 2k k 5k 5k 4k 6k
45
{k 3k k k k
Hệ phương trình có vô số nghiệm, cho nên hệ vector , , phụ thuộc tuyến tính.
2.3.2.Các định lí cơ bản về sự độc lập tuyến tính – phụ thuộc tuyến tính
Định lí 1: Một hệ vector có từ 2 vector trở lên phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ít nhất một vector của hệ biểu diễn tuyến tính qua các vector còn lại.
Hệ quả:
1. Hệ 2 vector phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi 2 vector đó tỉ lệ.
Do vector không biểu diễn tuyến tính qua mọi hệ vector, nên ta có hệ quả sau:
2. Mọi hệ vector chứa vector không đều phụ thuộc tuyến tính. Nói cách khác, mọi hệ vector độc lập tuyến tính đều không chứa vector không.
Trường hợp đặc biệt: Hệ 1 vector X phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
Định lí 2: Nếu một hệ vector có một hệ con phụ thuộc tuyến tính thì hệ vector đó phụ thuộc tuyến tính.
Hệ quả:
1. Nếu một hệ vector độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của nó đều độc lập tuyến tính.
2. Nếu trong một hệ vector có 2 vector nào đó tỉ lệ thì hệ vector đó phụ thuộc tuyến tính.
Định lí 3: Cho 2 hệ vector n chiều , , … , (H ) và , , … , (H ). Nếu m > p và mọi vector của hệ (H ) biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ) thì hệ vector (H ) phụ thuộc tuyến tính.
Hệ quả:
1. Nếu hệ vector (H ) độc lập tuyến tính và mọi vector của hệ (H ) biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ) thì m p
2. Nếu cả hai hệ vector (H ) và (H ) độc lập tuyến tính, đồng thời mọi vector của hệ (H ) biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ) và ngược lại, mọi vector của hệ (H ) biểu diễn tuyến tính qua hệ (H ), thì hai hệ vector đó có số vector bằng nhau, tức là m p
Định lí 4: Mọi hệ vector n chiều với số vector lớn hơn n đều phụ thuộc tuyến tính.
Hệ quả: Trong không gian , mọi hệ vector độc lập tuyến tính đều có số vector không vượt quá n.
Định lí 5: Giả sử hệ vector , , … , độc lập tuyến tính. Khi đó nếu vector X biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , thì cách biểu diễn đó là duy nhất.
46
Định lí 6: Giả sử hệ vector , , … , độc lập tuyến tính. Khi đó hệ vector , , … , , phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi vector U biểu diễn tuyến tính qua hệ vector , , … , (cách biểu diễn đó là duy nhất theo như định lí 2.7)
2.3.3.Tính chất của hệ con độc lập tuyến tính tối đại
Định lí: Cho H là một hệ vector n chiều (H có thể có hữu hạn hoặc vô hạn các vector).
Hệ con độc lập tuyến tính H' của hệ H được gọi là tối đại (số vector là lớn nhất) khi và chỉ khi nếu thêm bất kì vector nào của hệ H vào hệ H' thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính.
Định lí có thể được phát biểu lại như sau:
Cho H là một hệ vector n chiều (H có thể có hữu hạn hoặc vô hạn các vector). Hệ con độc lập tuyến tính H' của hệ H được gọi là tối đại khi và chỉ khi mọi hệ con của H mà thực sự chứa H' đều phụ thuộc tuyến tính.
Hệ quả: Nếu H' là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ H thì mọi vector của hệ H đều biểu diễn tuyến tính qua hệ H' (cách biểu diễn đó là duy nhất).
3.Không gian vector con
3.1.Định nghĩa về không gian vector con
ét một tập hợp vector n chiều . Các phép toán đặc trưng của không gian vector n chiều (phép cộng 2 vector và phép nhân 1 số với 1 vector) áp dụng cho các vector của tập hợp L sẽ trở thành các phép toán của bản thân nó nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau:
1. kín đối với phép cộng 2 vector, tức là ,
2. kín đối với phép nhân 1 số với 1 vector, tức là , k k
Trong trường hợp này, ta có thể em như một không gian có cấu trúc phép cộng 2 vector và phép nhân 1 số với 1 vector.
Định nghĩa: Một tập hợp không rỗng được gọi là không gian vector con (gọi tắt là không gian con) của không gian nếu nó kín đối với phép cộng 2 vector và phép nhân 1 số với 1 vector.
Như vậy thuật ngữ không gian con bao gồm 2 khía cạnh: thứ nhất, là một tập con không rỗng của ; thứ hai, các phép toán trong chính là các phép toán áp dụng cho mọi vector của