Phương pháp.
Bước 1.Chọn trong mặt phẳng(P)một đường thẳng drồi dựng mặt phẳng(Q)qua Avà vuông góc vớid (xem dạng 9 ở trang 62).
Bước 2.Tìmc= (P)∩(Q).
Bước 3.Trong(Q)dựng AH⊥ctạiH.
• Khi đó AHlà đường thẳng cần tìm.
• Khoảng cách từ A đến (P) bằng độ dài đoạn thẳng AH:d(M,(P)) = AH.
Lưu ý.Giả sử đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng(P) tại M. Trên∆ lấy hai điểmAvàB. Khi đó d(A;(P))
d(B;(P)) = AM BM.
Bài 12. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà vuông cạnha. BiếtSAvuông góc với(ABCD) vàSA =a√
3.
a) Hãy dựng đường thẳng qua trung điểm của cạnh SC và vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
b) Hãy dựng đường thẳng quaAvà vuông góc với mặt phẳng(SBC). Tính khoảng cách từ Ađến mặt phẳng(SBC).
c) Tính khoảng cách từ tâmOcủa hình vuông ABCDđến(SBC). LLời giải
Phân tích.DoSA vuông góc với mặt phẳng(ABCD)nên để giải câua)ta cần phải vẽ đường thẳng qua Mvà song song với đường thẳngSA, khi đó đường thẳng này sẽ qua Mvà vuông
góc với mặt phẳng(ABCD). Đối với câu b) khó hơn nên bạn đọc hãy làm tuần tự theo các bước đã trình bày ở dạng 10 (ở trang 64).
Giải.
a) Gọi M, O lần lượt là trung điểm của SC, AC. Khi đó MO k SA mà SA⊥(ABCD) nên MO⊥(ABCD), vậy O là hình chiếu của M trên (ABCD), hay nói cách khác MO là đường thẳng quaMvà vuông góc với(ABCD).
b)Trong(SBC), chọn đường thẳngBC. Ta có(SAB)là mặt phẳng chứa Avà vuông góc vớiBC, giao tuyến của(SAB) và(SBC)là SB. Trong tam giácSAB kẻ đường caoAH (H thuộcSB). Khi đó:
AH⊥SB ⊂(SBC) AH⊥BC ⊂(SBC) SB∩BC =B
⇒ AH⊥(SBC).
Vậy AH là đường thẳng qua Avà vuông góc với mặt phẳng (SBC). Vì AH là đường cao của tam giác vuôngSABnên
1
AH2 = 1
AS2 + 1
AB2 = 1 3a2 + 1
a2 = 4
3a2 ⇒ AH = a
√3 2 . Vậy khoảng cách từ điểmAđến mặt phẳng(SBC)là AH = a
√3 2 .
c)Trong tam giácCAH, vẽOP k AH, khi đóPlà trung điểm HCvà đường thẳngOPquaO, vuông góc với(SBC). Khoảng cách từOđến(SBC)là
OP= 1
2AH = a
√3 4 .
Lưu ý.Dạng toán 10 (ở trang 64) rất quan trọng, được sử dụng để giải nhiều bài toán hình học không gian liên quan đến hình chiếu, góc, khoảng cách.
Bài 13. Cho hình thoi ABCDtâmO, cạnh bằng avà AC = a. Từ trung điểmH của cạnh AB, dựngSHvuông góc với(ABCD). ChoSH =a.
a) Hãy dựng đường thẳng qua H và vuông góc với (SCD), tính khoảng cách từ H đến (SCD), từ đó suy ra khoảng cách từOđến(SCD).
b) Tính khoảng cách từ Ađến(SBC). LLời giải
Vì tam giácABCđều vàHlà trung điểm đoạn thẳngABnên CH⊥AB, màCD k ABnênCH⊥CD.
a) Ta có SH⊥(ABCD) ⇒ SH⊥CD. Trong mp(SCD) chọn đường thẳngCD. Ta có:
CD⊥CH ⊂(SHC) CD⊥SH ⊂(SHC) CH∩SH =H
⇒CD⊥(SCH).
Vậy(SHC)là mặt phẳng chứaHvà vuông góc vớiCD.
Lại có(SCH)∩(SCD) =SC. KẻHKvuông góc vớiSCtạiK.
Khi đó
HK⊥SC ⊂(SCD) HK⊥CD⊂(SCD) SC∩CD =C
⇒HK⊥(SCD).
Vậy HK là đường thẳng qua H và vuông góc với (SCD). Vì HK là đường cao của tam giác vuôngSHC nên 1
HK2 = 1
HS2 + 1
HC2. Ta có HS = a, do HClà đường cao của tam giác đều cạnhanên HC= a
√3 2 . Vì thế: 1
HK2 = 1 a2 + 4
3a2 = 7 3a2. Suy ra:HK = a
√3
√7 ⇒d(H,(SCD)) = HK= a
√21 7 .
Kẻ đường thẳng quaO, song song với HK, cắt KI tại F. Khi đó F là hình chiếu củaO trên (SCD), do đó
d(O,(SCD)) =OF = HK 2 = a
√21 14 .
b) Trước hết ta tính khoảng cách từ H đến (SBC). Ta sẽ tìm hình chiếu của H trên (SBC). Trong(SBC)chọn đường thẳngBC. VẽMlà hình chiếu củaHtrênBC. Ta có
BC⊥MH ⊂(SHM) BC⊥SH ⊂(SHM) HM∩HS =H
⇒BC⊥(SHM).
Vậy (SHM) là mặt phẳng chứa H và vuông góc vớiBC, giao tuyến của (SHM) và(SBC) là SM. VẽElà hình chiếu củaHtrênSM. Khi đó
HE⊥SM ⊂(SBC) HE⊥BC ⊂(SBC) SM∩BC = M
⇒ HE⊥(SBC).
Vậy E là hình chiếu của H trên (SBC), do đó d(H,(SBC)) = HE. Do HE là đường cao của tam giác vuôngSHMnên
1
HE2 = 1
HS2 + 1
HM2 = 1
a2 + 1
HB2 + 1
HC2 = 1 a2 + 4
a2 + 4
3a2 = 19 3a2. Từ đâyHE = a
√3
√19 = a
√57
19 . Vì đường thẳng AHcắt(SBC)tạiBnên d(A,(SBC))
d(H,(SBC)) = AB
HB =2⇒d(A,(SBC)) =2d(H,(SBC)) = 2a
√57 19 .
Khoảng cách từ Ađến(SBC)là:d(A,(SBC)) = 2a
√57 19 .
Bài 14. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình thoi tâmO, cạnh bằnga, ÷ABC =600, SOvuông góc với mặt phẳng(ABCD)vàSO= a
2.
a) Hãy dựng đường thẳng qua O và vuông góc với (SCD), tính khoảng cách từ O đến (SCD).
b) Gọi E là trung điểm cạnh SA. Chứng minh rằng đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng(BDE)và tính khoảng cách từ trung điểmMcủa cạnhBCđến mặt phẳng(BDE). LLời giải
Phân tích.Trong(SCD)chọn đường thẳngCD. Ta cần dựng mặt phẳng quaOvà vuông góc vớiCD. Do đã cóOS⊥CDnên ta chỉ cần vẽOK⊥CDtạiKsẽ được mặt phẳng quaOvà vuông góc vớiCDlà(SOK).
Giải.
a) Vẽ OK vuông góc với CD tại K. Khi đó CD vuông góc với (SOK). Ta có giao tuyến của hai mặt phẳng (SOK) và(SCD) là SK. Vẽ OH vuông góc với giao tuyến SK tại H. Kết hợp với OH vuông góc với CD suy ra OH⊥(SCD). VậyOHlà đường thẳng quaOvà vuông góc với(SCD)tại H. Khoảng cách từO đến (SCD) là: d(O,(SCD)) = OH. Ta cóABCvàACDlà những tam giác đều.
Trong tam giác vuôngOCK, ta có:
OK =OCsin÷OCK
= a
2sin 600 = a
√3 4 .
Trong tam giác vuôngSOK, ta có:
1
OH2 = 1
OS2 + 1
OK2 = 4
a2 + 16
3a2 = 28 3a2. Vậy khoảng cách từOđến(SCD)làOH =a
r 3 28. b)Ta có:
BD⊥AC
BD⊥SO ⇒BD⊥(SAC) ⇒BD⊥SA.
Tam giácSACcó trung tuyến SO = a
2 = AC
2 nên ∆SACvuông tại S. Vì OElà đường trung bình của∆SACnênOEk SC, suy raOE⊥SA. Ta có:
SA⊥BD⊂(BDE) SA⊥OE⊂(BDE) BD∩OE=O
⇒SA⊥(BDE).
Do AE⊥(BDE) nên d(A,(BDE)) = AE. Tam giác vuông SAC có trung tuyến SO⊥AC nên tam giácSACvuông cân tạiS, suy ra:
SA = AC√ 2 = √a
2 ⇒d(A,(BDE)) = AE= 1
2SA = a 2√
2.
GọiG = AM∩BO ⇒G =AM∩(BDE)vàGlà trọng tâm tam giác ABC. Do đó:
d(M,(BDE))
d(A,(BDE)) = GM GA = 1
2 ⇒d(M,(BDE)) = 1
2d(A,(BDE)) = a
√2 8 . Lưu ý.Có thể chứng minhSAvuông góc với mặt phẳng(BDE)cách khác. Ta có
SD =pSO2+OD2 = ra2
4 +3a
2
4 =a,
như vậy tam giácSDAcân tạiD, suy raSA⊥ED. Tương tự ta cũng cóSA⊥BE. Tóm lại:
SA⊥ED⊂(BDE) SA⊥EB⊂(BDE) ED∩EB=E
⇒SA⊥(BDE).
Dạng 11. Xác định gócϕ(với00≤ϕ≤900) giữa đường thẳngavà mặt phẳng(P).
Phương pháp.Sử dụng định nghĩa 4 ở trang 57, cụ thể như sau:
Bước 1.TìmO =a∩(P).
Bước 2.Chọn M∈ a. DựngH là hình chiếu của Mtrên(P). Khi đóϕ= ◊MOH.
Bài 15. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình thoi cạnhatâmO, gọiIlà trung điểmAB. Biết BAD÷ =600,SA =SB=SD= a√
3,
a) Tính góc giữa đường thẳngSA,SB,SC,SDvới đáy(ABCD). b) Tính góc giữaSB,SDvới mặt phẳng(SAC).
c) Tính góc giữaSCvới mặt phẳng(SDI). LLời giải
GọiHlà hình chiếu củaStrên mặt phẳng (BAD). Khi đó ba tam giác vuông SH A, SHB, SHD bằng nhau, suy ra H A = HB = HDhayHlà tâm của tam giác đều ABD, như vậy H là giao điểm của AOvà DI. DoSH⊥(ABCD) nên hình chiếu của SD trên (ABCD) là HD, suy ra góc giữa SDlà(ABCD)là góc giữaDSvàDH, tức là gócSDH. Ta có:÷
DH = 2
3DI = 2 3 ã a
√3 2 = a
√3 3 cosSDH÷ = DH
SD = a
√3 3 : a√
3= 1 3. Suy raSDH÷ ≈700320.
Tương tự , góc giữaSA,SBvới(ABCD)là≈700320. Hình chiếu củaSC trên(ABCD)là HC, do đó góc giữaSC và(ABCD)là góc giữaCSvàCH, tức là÷SCH. Ta có:
SH =pSD2−DH2= r
3a2− a2 3 =
r8a2 3 = 2
√2a
√3
CH =CO+OH = AO+1
3AO= 4
3AO= 4 3 ã a
√3 2 = 2a
√3 3 tan÷SCH = SH
CH = 2
√2a
√3 ã 3 2a√
3 =√
2⇒÷SCH≈540440. Vậy góc giữaSCvà(ABCD)là÷SCH ≈540440.
b)DoABCDlà hình thoi nênBD⊥AC. Ta có:SH⊥(ABCD) ⇒SH⊥BD. Như vậy:
BD⊥SH ⊂(SAC) BD⊥AC ⊂(SAC) SH∩AC =H
⇒ BD⊥(SAC).
Hình chiếu củaSBtrên(SAC) làSO. Góc giữaSBvà(SAC)là góc giữaSBvàSO, tức là góc BSO.’
sinBSO’ = BO
SB = a 2√
3a = 1 2√
3 ⇒ BSO’ ≈160470. Vậy góc giữaSB,SDvới(SAC)bằng nhau và bằngBSO’ ≈160470. c)
ABk CD
DI⊥AB ⇒DI⊥CD. Ta có:
CD⊥DI ⊂(SDI) CD⊥SH ⊂(SDI) DI∩SH = H
⇒CD⊥(SDI).
Như vậy hình chiếu củaSCtrên(SDI)làSD, do đó góc giữaSCvới mặt phẳng(SDI)làCSD.’ tanCSD’ = CD
SD = a a√
3 = √1
3 ⇒CSD’ =300. Vậy góc giữaSCvà mặt phẳng(SDI)bằng300.
Bài 16. Cho lăng trụ tam giácABC.A1B1C1có đáy là tam giácABCvuông cân tạiA, cạnh bên AA1vuông góc với đáy. GọiM, Nlần lượt là trung điểm củaABvàB1C1. Biết MN =avà góc giữaMNvới(ABC)làα.
a) Tính cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ.
b) Xác định gócα biết góc giữa MNvà mặt bên(BCC1B1)là300. LLời giải
a)GọiPlà trung điểm củaBC. Khi đóNP⊥(ABC). Như thế◊PMN =α. Từ đó:
cosα = MP MN sinα = NP
MN Suy ra
MP=acosα NP= asinα.
AB= AC =2MP=2acosα, AA1 =NP =asinα.
BC = AB√
2=2a√
2 cosα.
b)Ta có
AP⊥BC ⊂(BCC1B1) AP⊥NP ⊂(BCC1B1) BC cắt NP.
Suy ra AP⊥(BCC1B1). GọiK là trung điểm của BP thì MK k AP. Vì thế MK vuông góc với (BCC1B1). Thành thử góc giữaMN và mặt phẳng(BCC1B1)là ◊MNK =300. Ta có
sin◊MNK = MK
MN ⇒ MK = MN. sin 300 = a 2. Mặt khác, vìMK = 1
2AP = 1
2BP =KPnên∆MPKvuông cân tạiKnên MP= MK√
2= a
√2
2 ⇒cosα = MP MN =
√2
2 ⇒α =450.
Lưu ý.Có thể dựng hình chiếu vuông góc của M trên (BCC1B1) bằng cách vận dụng dạng toán 10 (ở trang 64) như sau:
Trong(BCC1B1), chọn đường thẳngBC.
Mặt phẳng qua Mvà vuông góc với BClà (MKQR), vớiK, Q, R lần lượt là trung điểm củaBP,B1N, A1B1.
(BCC1B1)∩(MKQR) =KQ.
Hình chiếu củaMtrênKQlàK
Khi đóKlà hình chiếu của Mtrên(BCC1B1), suy ra góc giữa đường thẳng MNvà(BCC1B1) là(¤N M,NK) = ◊MNK.
Bài 17. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật,BC =a,SAvuông góc với(ABCD). Biết rằngSCtạo với(SAB)một gócαvà tạo với mặt đáy gócβ. Chứng minh rằng:
AB= a
pcos(α+β)cos(α−β)
sinα .
LLời giải
Vì SA⊥(ABCD) nên hình chiếu của SC trên (ABCD) là AC, do đóβ =SCA. Ta có’ BC⊥BA,BC⊥SAmàBAvàSA là hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong (SAB) nên suy raBC⊥(SAB), do đó hình chiếu củaSC trên(SAB)là SB, bởi vậy α = BSC. Trong tam giác vuông’ SBC, ta có:
sinα = a
SC ⇒ a
sinα = SC. Mặt khác:AB = √
AC2−BC2. Màcosβ= AC
SC nên:
AB=pAC2−BC2= q
SC2cos2β−a2 = s
a2cos2β sin2α
−a2
= s
a2 cos2β−sin2α sin2α
= a sinα
q
cos2β−sin2α
= a sinα
r1+cos 2β
2 −1−cos 2α
2 == a
sinα r1
2(cos 2α+cos 2β)
= a
pcos(α+β)cos(α−β)
sinα .
Ta có điều phải chứng minh.
Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, cạnh a, SO⊥(ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SAvàBC. Cho biết góc giữa đường thẳng MN và(ABCD) bằng600. Tính góc giữa đường thẳngMN và(SBD).
LLời giải
Cách 1.Kẻ MH⊥(ABCD), dễ thấy H là trung điểm cạnh AO. Khi đóMNH◊ =600. Xét tam giácNCH, ta có:
NH2 =HC2+NC2−2HC.NC. cosNCH÷
= 3
4a√ 2
2
+a 2
2
−2.3 4.a√
2.a
2. cos 450
= 9a
2
8 + a
2
4 −3a
2
4 = 5a
2
8 . Suy ra NH= a
√5 2√
2.
Xét tam giác vuôngMNH, ta có: HN
MN =cos 600 = 1
2 ⇒ MN = a
√5
√2 . Vậy MH = HNtan 600 = a
√15 2√
2 . Gọi I,J lần lượt là trung điểm củaOB,SO. Khi đó MJ k I N vàMJ = I N, MN cắt I J tại Kthì JK = 1
2I J. Vì I N⊥(SBD) nên MJ⊥(SBD). Vậy hình chiếu củaMNtrên(SBD)là J I, do đó góc giữa MNvà(SBD)là÷MK J. Ta có
I J2 = JO2+OI2 =MH2+OI2= 15a
2
8 + a
√2 4
!2
= 16a
2
8 =2a2. Từ đóI J =a√
2vàIK = a
√2
2 . Suy ra tan÷MK J = MJ
JK = a
√2 4 : a√
2 2 = 1
2 ⇒÷MK J =arctan1 2. Cỏch 2.Ta cú # ằ
MN = MS# ằ+SC# ằ+CN,# ằ # ằ
MN = MA# ằ+AB# ằ+BN.# ằ Suy ra:
# ằ MN = 1
2 # ằ
SC+AB# ằ
= 1 2
# ằ
SO+OC# ằ+AO# ằ+OB# ằ
= 1 2
# ằ
SO+AC# ằ+OB# ằ . Từ đú và do # ằ
SO, # ằ AC,# ằ
OBđôi một vuông góc nên MN2= MN# ằ2 = 1
4 # ằ
SO2+AC# ằ2+OB# ằ2
= 1 4
SO2+5a
2
2
.
Suy raMN = 1 2
r
SO2+5a
2
2 . Ta cú # ằ
AClà vectơ pháp tuyến của(SBD). Gọiαlà góc giữaMN và(SBD). Khi đó:
sinα =
# ằ MN.# ằ
AC
# ằ MN
.
# ằ AC
= 1 2
# ằ
SO+AC# ằ+OB# ằ# ằ AC
1
2 r
SO2+5a
2
2 .a√ 2
= AC
2
r
SO2+5a
2
2 .a√ 2
= √ 2a
2SO2+5a2. (1)
Ta cú # ằ
SOlà vectơ pháp tuyến của (ABCD). Do góc giữa đường thẳng MN và(ABCD) bằng 600nên:
sin 600=
# ằ MN.# ằ
SO
# ằ MN
.
# ằ SO
⇔
√3
2 =
1 2
# ằ
SO+AC# ằ+OB# ằ# ằ SO
1
2 r
SO2+5a
2
2 .SO
⇔
√3
2 = SO
2
1 2
r
SO2+5a
2
2 .SO
⇔
√3
2 = SO
1 2
r
SO2+5a
2
2
⇔8SO2 =3(2SO2+5a2) ⇔2SO2 =15a2. (2) Từ (1) và (2) suy rasinα = √ 2a
15a2+5a2 = √1
5 ⇒α =arcsin√1 5.
C. BÀI TẬP ÔN LUYỆN 1. Đề bài
Bài 19. Cho tứ diệnOABCcóOA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi Hlà hình chiếu vuông góc củaOtrênmp(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC⊥(OAH).
b) Hlà trực tâm của tam giác ABCvà 1
OH2 = 1
OA2 + 1
OB2 + 1 OC2. c) Các góc của tam giác ABCđều nhọn.
d) Tìm tập hợp các điểmMtrong không gian sao cho
MA2+MB2+MC2 =3MO2.
Bài 20. Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình chữ nhật. Các tam giác SAB, SADvuông tại A. Trên cạnh ABta lấy điểm M, trên cạnh ADta lấy điểm N và trênSBlấy điểm Esao cho MN⊥ACvàME⊥SB. Chứng minh rằngSC⊥(MNE).
Bài 21. Trong mặt phẳng(P)cho∆ABCvuông tạiBvới AB=a√
2,BC=2a.
ĐiểmOnằm ngoài mặt phẳng(P)sao choOA⊥(P)vàOA= a√ 2.
a) Tính góc tạo bởi các đường thẳngOB,OCvới (P). b) Tính góc giữa đường thẳngOAvới(OBC).
Bài 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâmO và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng(ABCD). GọiH, I,Klần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm Atrên các cạnhSB,SC,SD.
a) Chứng minhBC⊥(SAB),CD⊥(SAD)vàBD⊥(SAC). b) Chứng minhSC⊥(AHK)và điểmI thuộc(AHK). c) Chứng minh HK⊥(SAC), từ đó suy ra HK⊥AI.
d) Chứng minh rằng tứ giácAH IKnội tiếp một đường tròn.
Bài 23. Cho hình chóp S.ABC cóSA⊥(ABC) và∆ABC không vuông. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của tam giácABC, SBC. Chứng minh rằng:
a) AH,SK,BCđồng quy.
b) SC⊥(BHK). c) HK⊥(SBC).
Bài 24. Cho tam giác ABCcân đỉnh Acó÷BAC = 1200, cạnh BC = a√
3. Lấy điểmSở ngoài mặt phẳng chứa tam giácABC sao choSA = a. GọiOlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC.
a) Chứng minh rằng:AO⊥(SBC).
b) TínhAOkhi tam giácSBCvuông tạiS.
Bài 25. Cho hình lăng trụ ABC.A0B0C0 có cạnh bên vuông góc với mặt đáy và tất cả các cạnh đều bằng nhau. GọiMlà trung điểmCC0. Chứng minh rằng A0B⊥B0M.
Bài 26. Cho tứ diện S.ABC có SA⊥(ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABCvàSBC.
a) Chứng minh rằng ba đường thẳng AH,SKvàBCđồng quy.
b) Chứng minh rằngSC⊥(BHK), HK⊥(SBC).
c) Kéo dài SA cắt HK tại R. Chứng minh rằng tứ diện SBCR có các cặp cạnh đối vuông góc.
Bài 27 (Đề thi ĐH khối D năm 2010).
Cho hình chópS.ABCDcó đáy là hình vuông cạnha, cạnh bênSA= a, hình chiếu củaStrên (ABCD)là điểmHthuộc đoạnACmàAH = 1
4AC. GọiMlà chân đường cao kẻ từCcủa tam giácSAC. Chứng minh Mlà trung điểm của đoạn thẳngSA.
Bài 28. Cho tứ diện ABCD, có DA⊥(ABC), AB = AC = a, BC = 6
5a. Gọi M là trung điểm BC. VẽAH vuông góc vớiMDtạiH.
a) Chứng minh rằng AH⊥(BCD). b) Cho AD= 4
5a. Tính góc giữa hai đường thẳng ACvàDM.
c) Gọi G1, G2 lần lượt là các trọng tâm của tam giác ABCvà tam giác DBC. Chứng minh rằngG1G2⊥(ABC).
Bài 29. Cho hình chópS.ABCcóSA⊥(ABC), đáy là tam giácABCvuông ởB. BiếtBSC’ =300. Đặt÷ACB = α. Gọi I là hình chiếu củaB lênSC. Xác địnhαđểBI hợp với mặt phẳng(SAC) góc600.
Bài 30. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AD = 2a, AB = a√ 3.
SH⊥(ABCD) (H là trung điểm của AD). Biết góc giữa SBvà(ABCD)là600. a) Tính độ dài SH.
b) Tính góc giữa SCvới(SAD). c) Tính góc giữa CHvới(SAB).
Bài 31. Cho lăng trụ ABC.A0B0C0có độ dài cạnh bên bằng2a, đáy ABClà tam giác vuông tại A, AB=a, AC =a√
3. Hình chiếu của A0trên(ABC)là trung điểm củaBC. Tínhcosα, ở đây αlà góc giữa AA0 vàB0C0.
Bài 32. Cho hình chópS.ABCcó đáy là tam giác vuông tạiB, AB =a, AC =2a,SA⊥(ABC), SA=2a. Gọi(P)là mặt phẳng quaAvà vuông góc vớiSC. Xác định thiết diện của hình chóp với(P), tính diện tích thiết diện.
Bài 33. Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang vuông tạiAvàBvới AB=BC =a,AD=2a,SA⊥(ABCD),SA=2a.
GọiMlà một điểm trên cạnh AB, đặtAM= x(0<x <a). Mặt phẳng(α)đi quaMvà vuông góc vớiAB.
a) Tìm giao tuyến của(α)và(SAB).
b) Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi(α). Thiết diện là hình gì?
c) Tính diện tích thiết diện theoavàx.
Bài 34. Cho hình thang ABCD vuông tại AvàD với AB = AD = a, DC = 2a. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng(ABCD)tạiDlấy điểmSvớiSD= a√
3. GọiMlà điểm trên cạnhABvới AM= x(0< x<a). Gọi(P)là mặt phẳng quaMvà vuông góc vớiBD,(P)cắt các cạnhDC,SC,SBlần lượt tại N, L, K.
a) Chứng minh rằngBC⊥(SBD).
b) Tứ giácMNLKlà hình gì? Tính diện tích tứ giác đó.
2. Lời giải, hướng dẫn
Câu 19.
a) Ta có
OA⊥OB⊂(OBC) OA⊥OC⊂(OBC) OB∩OC =O
⇒OA⊥(OBC)⇒OA⊥BC. (1) Ta cóOH⊥(ABC), suy raOH⊥BC.
Kết hợp với (1) suy raBC⊥(AOH).
b) VìBC⊥(AOH)nênAH⊥BC. Tương tự ta chứng minh được BH⊥AC. VậyH là trực tâm của tam giác ABC.
GọiI = AH∩BC. VìOHlà đường cao của tam giác vuông AOInên 1
OH2 = 1
OA2 + 1
OI2. (2)
VìOI là đường cao của tam giác vuôngOBCnên 1
OI2 = 1
OB2 + 1
OC2. (3)
Từ (2), (3) suy ra 1
OH2 = 1
OA2 + 1