BÀI 4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
4. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều
Định nghĩa 3. Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.
Lưu ý.Trong hình chóp đều, chân đường cao trùng với tâm của đáy.
Ví dụ.Hình chóp tứ giác đều:
B
C J S
D
A
O
góc giữa cạnh bên và đáy:SBO’
góc giữa mặt bên và đáy:’SJO đáy: hình vuông ABCD
các cạnh bên:SA =SB=SC =SD chiều cao:SO
Định nghĩa 4. Khi cắt hình chóp đều bởi mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều.
B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
Dạng 12. Xác định góc giữa hai mặt phẳng. Diện tích hình chiếu của một đa giác.
Phương pháp.Để dựng góc φ(với 00 ≤ φ ≤ 900) giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng(Q) ta làm như sau:
Cách 1.
Bước 1:Xác định giao tuyến∆của hai mặt phẳng(P) và(Q).
Bước 2: Dựng mặt phẳng (R) vuông góc với đường thẳng∆tạiO.
Bước 3:
(R)∩(P) =Ox
(R)∩(Q) =Oy ⇒φ= (Ox,Oy). Cách 2.
Bước 1:Xác định giao tuyến∆của hai mặt phẳng(P) và(Q).
Bước 2: Chọn điểmO ∈ ∆. Vẽ đường thẳng Oxnằm trong (P)sao choOx⊥∆. Vẽ đường thẳngOy ⊂ (Q) sao choOy⊥∆.
Bước 3:Khi đóφ= (Ox,Oy).
Trường hợp đặc biệt:Với tứ diệnABCDcó đặc điểmAB⊥CD, nếu muốn tìm góc giữa(DAB) và(CAB)thì ta thực hiện:
Dựng mặt phẳng(P)chứaCDvà(P)⊥AB.
Nếu(P) cắtABtại I thì ta cóCI⊥AB, DI⊥AB.
Do đó góc giữa hai mặt phẳng(ABC)và(ABD) là gócCID.’
Chú ý 7. Ta có thể dùng công thức diện tích hình chiếu của đa giác ở định lí1, trang93để:
Tính diện tích hình chiếu đa giác.
Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng và không cần vẽ hình đó.
Bài 1. Cho tứ diện ABCDvới AB⊥(BCD) và AB = a, ∆BCD đều cạnh2a. Tính góc ϕgiữa hai mặt phẳng(ACD)và(BCD).
LLời giải
Ta có(ACD)∩(BCD) = CD.
Kẻ AH⊥CDtại H. Khi đó:
CD⊥H A
CD⊥AB ⇒CD⊥BH.
Tóm lại:
(ACD)∩(BCD) = CD AH ⊂(ACD), AH⊥CD BH ⊂(BCD), BH⊥CD.
Suy ra ϕ = AHB÷ là góc giữa mặt phẳng (ACD) và mặt phẳng (BCD). Do tam giác ABHvuông tạiBnên:
tanϕ= AB
BH = a 2a
√3 2
=
√3
3 ⇒ ϕ=300.
Lưu ý.Có thể dựng góc giữa hai mặt phẳng(ACD)và(BCD)cách khác như sau:
(ACD)∩(BCD) =CD (ABH)⊥CD
(ABH)∩(ACD) = H A (ABH)∩(BCD) = HB
⇒((ACD¤),(BCD)) = (¤H A,HB) = AHB.÷
Như vậy để dựng góc giữa hai mặt phẳng, việc đầu tiên là ta phải tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
Bài 2. Cho∆ABCđều cạnhavàBCnằm trong một mặt phẳng(P). Chiếu∆ABCtrên mp(P) thành tam giácA0BCvuông tại A0.
a) Tính góc giữa đường thẳngABvới mặt phẳng(P)và góc giữa đường thẳng ACvới mặt phẳng(P).
b) Tính diện tích tam giácA0BCrồi suy ra góc giữa mặt phẳng(P)và mặt phẳng(ABC). LLời giải
a)Gọi ϕ(với 00 ≤ ϕ≤ 900) là góc giữa đường thẳng ABvà mp(P). Khi đó ϕ = ◊ABA0 = ◊ACA0. Vì AB = AC = a nên
∆A0BCvuông cân tạiA0. Do đó BC2 =2A0B2 ⇒ A0B= √BC
2 = √a 2. Trong tam giác vuôngABA0 ta có
cos◊ABA0 = √a
2 : a=
√2
2 , suy ra
ϕ=◊ABA0 =450.Tương tự, góc giữa đường thẳng ACvới mặt phẳng(P)là450. b)GọiSvàS0lần lượt là diện tích của∆ABCvà∆A0BC. Ta có
S = a
2√ 3
4 , S0 = 1
2A0B.A0C = 1
2A0B2 = 1 2.a2
2 = a
2
4. Gọiα(với00 ≤α≤900) là góc giữa mặt phẳng(P)và mp(ABC). Ta có
S0 =S. cosα ⇒cosα = S
0
S = a
2
4 . 4 a2√
3 = √1
3 ⇒α =arccos 1
√3.
Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD, AC = BD, AD = BC và số đo các góc tạo bởi các mặt phẳng(DBC), (DCA), (DAB) với mặt phẳng(ABC) tương ứng làα, β, γ. Giả sử chân đường cao của tứ diện kẻ từDnằm trong∆ABC. Chứng minh rằngcosα+cosβ+cosγ=1.
LLời giải
Ta có∆ABC = ∆DBC = ∆DCA = ∆DAB (c-c-c). Kí hiệu diện tích các tam giác này là S. Gọi H, K, N, M theo thứ tự là hình chiếu vuông góc củaDtrên mặt phẳng(ABC), BC,CA, ABnhư hình vẽ. Khi đó
DKH÷ =α,◊DNH =β, DMH◊ =γ.
Theo định lí hình chiếu:
SHBC =SDBC. cosα =S. cosα.
Tương tự:
SHCA =S. cosβ, SH AB =S. cosγ.
Do điểmHnằm trong tam giácABCnên
SABC =SHBC+SHCA+SH AB. Từ đó ta được
S=S(cosα+cosβ+cosγ) ⇔cosα+cosβ+cosγ =1.
Bài 4. Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC. Kí hiệuα là góc giữaSA và(ABC), βlà góc giữa (SAB)và(ABC). Chứng minh rằng:tanβ=2 tanα.
LLời giải
GọiH là hình chiếu vuông góc của Strên (ABC), khi đó 3 tam giác vuôngSH A, SHB,SHCbằng nhau nênH A = HB = HChayHlà tâm của tam giác đềuABC. Ta có hình chiếu củaSA trên(ABC) là AH, do đóα = SAH. Gọi÷ M là trung điểmAB. Khi đó:
(SAB)∩(ABC) = AB (SMC)⊥AB
(SMC)∩(SAB) = MS (SMC)∩(ABC) = MC.
Suy ra:β=SMC. Ta có:÷ tanα = SH
AH, tanβ = SH MH.
Do tam giácABCđều nênHlà trọng tâm của∆ABC, dẫn tới: MH = 1
2CH = 1
2AH. Như vậy:
tanβ = SH
MH = 2SH
AH =2 tanα.Ta có điều phải chứng minh.
Bài 5. Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình chữ nhật vàAB= a,BC =b(b >a>0). CạnhSA vuông góc với đáy vàSA = c. Kí hiệuαlà góc giữa SCvàBD; βlà góc giữa (SBC) và(ABCD). Chứng minh rằng:
cosα = k
2−1 q
k2+1+tan2β.√ 1+k2
, với k= b a. LLời giải
Dễ thấy rằng β =SBA. Trong tam giác vuông’ SAB, ta có:tanβ = c
a. Ta có:cosα =
SC.# ằ # ằ BD
SC.BD . (*)
Mặt khác, ta có SC.# ằ # ằ
BD=AC# ằ−AS# ằ# ằ BD
= AC.# ằ # ằ
BD−AS.# ằ # ằ BD
= AC.# ằ # ằ BD
= (AB# ằ+BC# ằ)AD# ằ−AB# ằ
=−AB2+BC.# ằ # ằ AD
=−a2+BC.# ằ # ằ BC
=−a2+BC2 =b2−a2.
Lại có:BD2 =AB2+AD2 =a2+b2. Do tam giácSACvuông tạiAnên:
SC2 =SA2+CA2=c2+a2+b2. Thay vào (*), ta được:
cosα = b
2−a2
√a2+b2.√
a2+b2+c2 =
b2 a2 −1 r
1+ b
2
a2. r
1+b
2
a2 + c
2
a2
= k
2−1
√1+k2. q
1+k2+tan2β .
Ta có điều phải chứng minh.
Dạng 13. Chứng minh hai mặt phẳng(P)và(P0)vuông góc với nhau.
Phương pháp.
Cách 1.Chứng minh góc giữa hai mặt phẳng bằng900. Cách 2.Vận dụng định lí 2 ở trang 93 : Chứng minh trong mặt phẳng này có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia, tức là
∆ ⊂(P)
∆⊥(Q) ⇒(P)⊥(Q).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình chữ nhật, SA⊥(ABCD). Chứng minh rằng(SCD)⊥(SAD).
LLời giải
Ta cóSA⊥(ABCD) ⇒SA⊥CD. Vậy
CD⊥DA ⊂(SAD) CD⊥SA ⊂(SAD) DA∩SA= A
⇒ CD⊥(SAD). MàCD ⊂(SCD)nên(SCD)⊥(SAD).
Bài 7. Cho hình chópS.ABCDcó các mặt phẳng(SAB)và(SAD)cùng vuông góc với(ABCD), đáy ABCD là hình vuông tâmO. Gọi H vàK lần lượt hình chiếu của Atrên các cạnh SB và SD. Chứng minh rằng
(SAC)⊥(SBD);
1 2 (SAC)⊥(AHK).
LLời giải Ta có
(SAB)⊥(ABCD) (SAD)⊥(ABCD) (SAB)∩(SAD) = SA
⇒SA⊥(ABCD). Suy raSA⊥BD.
1
BD⊥SA ⊂(SAC) BD⊥AC ⊂(SAC) SA∩AC = A
⇒BD⊥(SAC). MàBD ⊂(SBD)nên suy ra(SBD)⊥(SAC). 2
BC⊥SA
BC⊥AB ⇒BC⊥(SAB) ⇒BC⊥AH.
Vậy
AH⊥SB
AH⊥BC ⇒ AH⊥(SBC)⇒ AH⊥SC. (1) Ta có
DC⊥DA
DC⊥SA ⇒ DC⊥(SDA) ⇒DC⊥AK.
Vậy:
AK⊥DC
AK⊥SD ⇒ AH⊥(SDC) ⇒ AK⊥SC. (2) Từ (1) và (2) suy raSC⊥(AHK) ⇒(SAC)⊥(AHK).
Lưu ý.Có thể giải câub)cách khác như sau: ta chứng minh được:
HK k BD
BD⊥(SAC) ⇒ HK⊥(SAC) ⇒(AHK)⊥(SAC).
Bài 8. Cho hai tam giác ACD vàBCD có AC = AD = BC = BD = a, CD = 2x và hai tam giác này nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. GọiI, J lần lượt là trung điểm của AB vàCD.
a) Tính ABvàI J theoavàx.
b) Với giá trị nào của xthì hai mặt phẳng(ABC)và(ABD)vuông góc với nhau?
LLời giải
a) Vì J là trung điểm của đoạn thẳngCDvà AC = AD nên AJ⊥CD. Do (ACD)⊥(BCD) nên AJ⊥(BCD). Mặt khác AC = AD = BC = BDnên tam giác AJB vuông cân, suy raAB= AJ√
2và AJ2 =a2−x2. Do đó:AJ =√
a2−x2.
Vậy AB=p2(a2−x2), vớia> x.
DoIlà trung điểm AB, tam giác AJBvuông tại Jnên J I = 1
2AB, tức là I J =
p2(a2−x2)
2 .
b) Rõ ràng là CI và DI vuông góc với AB. Vậy (ABC)⊥(ABD)khi và chỉ khi
CID’ =900 ⇔ I J = CD
2 ⇔
p2(a2−x2)
2 =x
⇔x = a
√3 3 .