CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 2.1. Tính toán động học thuận và ngƣợc rôbốt dƣ dẫn động bằng thuật toán hiệu chỉnh gia lƣợng vectơ tọa độ suy rộng
2.1.2. Giải bài toán động học thuận rôbốt dư dẫn động bằng phương pháp ma trận Denavit – Hartenberg
Để nghiên cứu động học của rôbốt Denavit và Hartenberg đã đề xuất phương án gắn hệ trục tọa độ lên các khâu của rôbốt, để từ đó chuyển đổi tọa độ của điểm thao tác về hệ tọa độ gắn liền với hệ quy chiếu cố định. Hệ tọa độ Denavit – Hartenberg được xây dựng như sau:
Xét 2 khâu kế tiếp nhau của rôbốt là khâu thứ i-1 và khâu thứ i như hình 2.1.
Gốc Oi của hệ trục tọa độ Oixiyizi được gắn liền với khâu thứ i (hệ tọa độ thứ i) và được đặt tại giao điểm khớp động thứ i và thứ i+1 với đường vuông góc chung của các trục khớp động thứ i và thứ i+1. Trường hợp hai trục khớp động giao nhau thì gốc tọa độ là điểm giao nhau đó, còn nếu chúng song song thì gốc tọa độ là điểm bất kỳ trên trục khớp động thứ i+1.
Trục zi của hệ tọa độ thứ i nằm dọc theo trục khớp động thứ i+1.
Trục xi của hệ tọa độ thứ i nằm dọc theo đường vuông góc chung của 2 trục khớp động là khớp thứ i và i+1, có hướng từ khớp động thứ i tới khớp động thứ i+1.
Trong trường hợp 2 trục khớp giao nhau thì hướng của trục xi trùng với hướng tích vectơ zi x zi+1.
Trục yi được chọn sao cho hệ tọa độ Oixiyizi là hệ tọa độ thuận.
Với cách thiết lập các trục tọa độ của hệ tọa độ như đã trình bày ở thì hệ quy chiếu đôi khi không được xác định một cách duy nhất, vì vậy ta cần bổ sung thêm một số điều kiện như sau:
Đối với hệ tọa độ O0x0y0z0 – là hệ tọa độ cố định nằm dọc theo trục của khớp động thứ 1, có trục z0 đã được xác lập theo nguyên tắc trên, còn trục x0 thì do không có khớp động thứ 0 nên ta có thể chọn tùy ý, miễn là nó phải vuông góc với trục z0.
Hình 2.1: Các thông số của khâu , d, a và .
Đối với hệ trục tọa độ Onxnynzn gắn với khâu thứ n, ta thấy do không có khớp động thứ n+1 nên theo quy ước ở trên thì ta không xác định được trục zn. Trục zn không được xác định duy nhất trong khi trục xn lại được chọn theo phương pháp tuyến của trục zn-1. Trong trường hợp này nếu khớp n là khớp quay thì ta có thể chọn trục zn//zn-1. Ngoài ra có thể chọn tùy ý sao cho hợp lý với phép chuyển dịch trục.
Khi khớp thứ i là khớp tịnh tiến, về nguyên tắc ta có thể chọn trục zi-1 một cách tùy ý. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp người ta thường chọn trục zi-1 dọc theo trục của khớp tịnh tiến này.
Các tham số động học và ma trận Denavit – Hartenberg:
Sau khi thiết lập xong các hệ tọa độ, ta thấy vị trí của hệ tọa độ Oixiyizi so với hệ tọa độ Oi-1x i-1y i-1z i-1 được xác định bởi 4 tham số sau đây:
1. là góc quay trục xi-1 xung quanh trục zi-1 theo chiều ngược chiều kim đồng hồ để phương của các trục tọa độ xi-1 và xi trùng nhau.
2. di=O i-1 là khoảng dịch chuyển tịnh tiến dọc theo trục zi-1 để gốc tọa độ Oi-1 chuyển đến - giao điểm của trục xi với zi-1 (hình 2.1).
3. ai là khoảng dịch chuyển dọc theoo trục xi để đưa tới điểm Oi. 4. là góc quay quanh trục xi sao cho trục zi-1 chuyển đến trục zi.
Như vậy với các phép dời trục như đã nêu ở trên, ta có thể đưa hệ quy chiếu Oi-1x i-1y i-1z i-1 về trùng với hệ quy chiếu Oixiyizi. Do vậy 4 tham số , di, ai, nêu trên được gọi là 4 tham số động học Denavit – Hartenberg.
Trong 4 tham số nêu trên thì các tham số ai và luôn là các hằng số, độ lớn của chúng phụ thuộc vào hình dáng và sự ghép nối của các khâu thứ i và i-1. Hai tham số còn lại và di thì một sẽ là hằng số còn tham số kia sẽ là biến số phụ thuộc vào loại khớp của khớp động thứ i+1. Nếu khớp thứ i+1 là khớp quay thì là biến, di là hằng số. Còn khi khớp là khớp tịnh tiến thì ngược lại.
Như vậy ta có thể dùng 4 phép biến đổi cơ bản sau đây để chuyển tọa độ từ hệ tọa độ Oi-1x i-1y i-1z i-1 về tọa độ Oixiyizi:
Quay xung quanh trục zi-1 một góc .
Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục zi-1 một đoạn di.
Dịch chuyển tịnh tiến dọc trục xi một đoạn ai.
Quay xung quanh trục xi một góc .
Ta ký hiệu ma trận của phép biến đổi tọa độ từ hệ tọa độ Oi-1x i-1y i-1z i-1 sang hệ tọa độ Oixiyizi là i-1Hi. Sử dụng các tọa độ thuần nhất, ta suy ra ma trận của phép biến đổi này sẽ là tích của 4 ma trận tích của 4 ma trận và có dạng như sau:
Nếu quay hệ tọa độ xung quanh trục zi-1 một góc thì ma trận biến đổi các tọa độ sẽ là:
Còn khi dịch chuyển tịnh tiến theo trục zi-1 một đoạn di thì ma trận biến đổi sẽ là:
Ở bước dịch chuyển tịnh tiến theo trục xi một đoạn ai thì ma trận chuyển đổi tọa độ sẽ là:
Và ở bước quay xung quanh trục xi một góc , ma trận chuyển đổi là:
Như vậy nếu dùng hệ tọa độ Denavit – Hartenberg thì ma trận chuyển đổi tọa độ
i-1Hi từ hệ Oi-1x i-1y i-1z i-1 sang hệ tọa độ Oixiyizi là:
i-1Hi =
Lấy tích của 4 ma trận trên, ta được một ma trận được gọi là ma trận Denavit – Hartenberg và ta có kết quả như sau:
i-1Hi =
(2.3)
Với việc sử dụng công thức (2.3) ta sẽ thực hiện được việc chuyển đổi tọa độ từ hệ tọa độ này qua hệ tọa độ khác (từ khâu động học này qua khâu động học khác). Khi đó, công thức để chuyển tọa độ từ hệ tọa độ {Oi-1x i-1y i-1z i-1} sang hệ tọa độ {Oixiyizi} là:
[i-1Hi]
(2.4)
Phương trình xác định vị trí và hướng của khâu thao tác:
Xét một mô hình tổng quát của một rôbốt có n khâu như trên hình vẽ 2.2. như đã trình bày ở trên, ma trận i-1Hi cho ta biết:
Vị trí của điểm Oi trong hệ quy chiếu Ri-1 {Oi-1x i-1y i-1z i-1}.
Hướng của vật rắn Bi trong hệ quy chiếu Ri-1 {Oi-1x i-1y i-1z i-1}.
Như vậy bằng cách chuyển dần hệ quy chiếu Rn {Onxnynzn} từ On về On-1, On-2,..., và cuối cùng là về hệ quy chiếu cố định R0 {O0x0y0z0} ta sẽ xác định được vị trí của điểm gốc O0 và hướng của khâu động thứ n trong hệ quy chiếu cố định R0 {O0x0y0z0}.
Áp dụng liên tiếp các phép biến đổi đối với rôbốt n khâu ta có:
Dn=0Hn=0H1.1H2,,,n-1Hn=H1H2...Hn (2.5) Hình 2.2: Mô hình hóa các khâu của rôbốt
O0
Oi
On-1
O1
On P O2
(2.6)
Ma trận Dn cho ta biết vị trí của điểm P và hướng của khâu thao tác (bàn kẹp) của rôbốt đối với hệ quy chiếu cố định R0.
Như vậy, khi biết được các đặc tính hình học của các khâu và các quy luật chuyển động của các khớp là ta hoàn toàn có thể xác định được vị trí và hướng của khâu thao tác (bàn kẹp).