Trong suốt mục này ta luôn xétz =a+bilà một số phức. Kí hiệu N là tập các số tự nhiên khác không.
1.5.1 Định nghĩa. Một số phức ε được gọi là căn bậc n của đơn vị nếu εn = 1.
Chú ý rằng có đúng n căn bậc n của đơn vị, đó là k = cos2kπ
n +isin 2kπ
n , k = 0,1, . . . , n−1.
1.5.2 Định nghĩa. Một số phức ε được gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu εn = 1 và εm 6= 1 với mọi m < n.
1.5.3 Ví dụ. (i) Rõ ràng ω0 = 1 luôn là một căn bậc 3 của đơn vị. Ta thấy ω1 = −1 +i√
3
2 và ω2 = −1−i√ 3
2 là các căn nguyên thủy bậc ba của đơn
vị. Thật vậy, 1 không là căn bậc 3 nguyên thủy của đơn vị vì ω01 = 1. Mặt khác, ω1 6= 1, ω12 =ω2 và ω13 = 1. Vì thếω1 là căn nguyên thủy bậc 3của đơn vị. Tương tự, ta cũng kiểm tra được ω2 là căn nguyên thủy bậc 3của đơn vị.
(ii) Các căn bậc 4 của đơn vị là 1, i,−1,−i. Tuy nhiên chỉ có i,−i là căn nguyên thủy bậc 4 của đơn vị.
1.5.4 Mệnh đề. (Tiêu chuẩn của căn nguyên thủy) Cho n là một số nguyên dương. Kí hiệu
k = cos2kπ
n +isin 2kπ
n , k = 0,1, . . . , n−1.
Khi đó k là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu và chỉ nếu k và n là nguyên tố cùng nhau.
Chứng minh. Giả sử k là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị. Khi đó, n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn nk = 1.Giả sử rằng gcd(k, n) =d >1.
Khi đó n
d là một số nguyên dương nhỏ hơn n. Mặt khác,
n d
k = (cos2kπ
n +isin 2kπ
n )nd = cos2kπ
d +isin2kπ d = 1.
Điều này là mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của n. Vậy gcd(k, n) = 1.
Ngược lại, cho gcd(k, n) = 1. Vìk là một căn bậcn của đơn vị nênnk = 1.
Gọi t là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn tk = 1. Khi đó ta có tk = cos2ktπ
n +isin2ktπ n = 1.
Suy ra 2ktπ
n = m2π với m là một số nguyên nào đó. Do đó kt = mn, tức là kt là bội của n. Theo giả thiết, gcd(k, n) = 1. Ta suy ra t là bội của n. Do tính nhỏ nhất của t suy ra t=n.
Vậy k là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.
Từ đây cho đến hết luận văn, ta kí hiệu k = cos2kπ
n +isin 2kπ
n , k = 0,1, . . . , n−1.
Kí hiệu ϕ : N∗ −→ N là hàm Euler, nghĩa là ϕ(1) = 1 và ϕ(n) là số các số nguyên dương nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n.
1.5.5 Chú ý. (i) Vì gcd(1, n) = 1 nên theo Mệnh đề 1.5.4 thì 1 luôn là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.
(ii) Từ định nghĩa của hàm Euler, nếu n là số nguyên dương thì có đúng ϕ(n) căn nguyên thủy bậc n của đơn vị.
1.5.6 Mệnh đề. Cho là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị và a, b∈Z là các số nguyên. Khi đó, a =b nếu và chỉ nếu a≡ b (mod n).
Chứng minh. Vìlà một căn nguyên thủy bậcncủa đơn vị nênnlà số nguyên dương nhỏ nhất sao cho n = 1. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a > b.Tiếp theo giả sửa = b.Suy ra, a−b = 1.Khi đó, tồn tại các số nguyên q, r sao cho a−b =qn+r, với 0≤ r < n. Từ đó dẫn đến
1 =a−b =qn+r =r.
Vì là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nên suy ra r = 0 hay a ≡ b (mod n).
Ngược lại, giả sử a ≡b (mod n). Khi đó tồn tại t ∈Z sao cho a−b= tn.
Do đó, a−b = tn = (n)t = 1. Suy ra a = b.
Chú ý rằng nếu là căn bậc n của đơn vị thì a ≡ b (mod n) kéo theo a = b. Tuy nhiên điều ngược lại là không đúng. Thật vậy, với n = 4 và = −1 ta có 2 =0 = 1 nhưng 2 không đồng dư với 0 theo môđun 4.
1.5.7 Bổ đề. Nếu là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị thì tập các căn bậc n của đơn vị là {1, , 2, . . . , n−1}.
Chứng minh. Với mọi số nguyên dương k ta có (k)n = 1. Vì thế k là một căn bậc n của đơn vị. Ta sẽ đi chứng minh nếu0≤i < j ≤n là hai số nguyên dương phân biệt thì i 6= j. Thật vậy, giả sử i = j thì j−i = 1. Vì j − i là số nguyên dương và n là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn n = 1 nên
j−i≥ n, điều này là vô lí. Vậy các phần tử 1, , 2, . . . , n−1 là các căn bậc n của đơn vị và đôi một khác nhau. Chú ý rằng có đúng căn bậc n của đơn vị.
Vì thế bổ đề được chứng minh.
Nhắc lại rằng một nhóm G được gọi là nhóm xyclic nếu tồn tại phần tử a ∈G sao cho G={an|n∈ Z}. Trong trường hợp này ta cũng nói G là nhóm xyclic sinh bởi phần tử a.
1.5.8 Hệ quả. Với mỗi số nguyên dương n, tập Gn các căn bậc n của đơn vị là một nhóm xyclic với phép nhân các số phức.
Chứng minh. Cho a, b ∈ Gn thì an = bn = 1. Suy ra (ab)n = 1. Vì thế ab ∈Gn. Do đó phép nhân là đóng trong Gn. Rõ ràng phép nhân các số phức có tính chất kết hợp nên phép nhân trong G cũng có tính chất kết hợp. Ta có 1∈ Gn là phần tử đơn vị của Gn. Với mỗi a ∈ Gn sao cho a 6= 1 khi đó a là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, ta có 1 = an = a.an−1 do đó phần tử nghịch đảo của a là an−1. Theo Bổ đề 1.5.7 ta có Gn = {1, a, a2, . . . , an−1}.
Vậy Gn là nhóm xyclic sinh bởi phần tử a.