Mục này trình bày một số tính chất cơ bản của vành các số nguyên Eisen- stein.
Cho ω = −1 +i√ 3
2 là một căn nguyên thủy bậc ba của đơn vị. Đặt Z[ω] = {a+bω| a, b∈Z}.
Vì ω là căn bậc ba của đơn vị nên ω3−1 = (ω −1)(ω2 +ω+ 1) = 0. Mặt khác, do ω6= 1 nênω2+ω+ 1 = 0, nghĩa làω2 =−ω−1. Suy raω là nghiệm của phương trình x2+x+ 1 = 0. Tổng quát mỗi phần tử z =a+bω ∈ Z[ω], khi đó
z =a+b −1 +i√ 3
2 =
a− b 2
+ b√
3 2 i
là nghiệm của phương trình x2−(2a−b)x+ (a2−ab+b2) = 0.
Trong Z[ω] ta trang bị hai phép toán cộng và nhân như sau (a+bω) + (c+dω) = (a+c) + (b+d)ω, (a+bω)(c+dω) = (ac−bd) + (ad+bc−bd)ω, với a+bω, c+dω ∈Z[ω]. Khi đó ta có khẳng định sau:
1.6.1 Mệnh đề. Với các phép toán trên thì Z[ω] là một miền nguyên.
Chứng minh. Rõ ràng Z[ω] là một nhóm Abel với phép toán cộng với phần tử không là 0 = 0 + 0.ω và phần tử đối xứng của a+bω là −a−bω với mọi a+bω ∈Z[ω]. Thực chất phép cộng và nhân trên Z[ω] là phép cộng và nhân các số phức phép nhân phân phối hai phía với phép cộng. Phép nhân có tính chất kết hợp. Phép nhân trênZ[ω] có tính chất giao hoán. Phần tử đơn vị của Z[ω] là 1 = 1 + 0ω. Tiếp theo ta chỉ ra rằng Z[ω] không có ước của không.
Thật vậy, giả sử (a+bω)(c+dω) = 0. Suy ra (ac−bd) + (ad+bc−bd)ω = 0.
Điều này tương đương với ac−bd = 0 và ad+bc−bd= 0. Trước tiên ta xét a 6= 0 khi đó c =bd/a thay vào biểu thức trên ta được ad+b2d/a−bd = 0.
Từ đó suy ra a2d−b2d−abd = 0. Nếu b = 0 thì c = 0. Mặt khác do a 6= 0 nên d= 0. Nếu b6= 0 do a2+b2−ab ≥ab > 0nên d= 0. Từ đó suy ra c= 0.
Hoàn toàn tương tự cho trường hợp b6= 0. Vậy Z[ω] là một miền nguyên.
Ta nhắc lại khái niệm chuẩn của một số phức z =a+bi với a, b∈R. Kí hiệuz =a−bilàsố phức liên hợp của số phứcz. Khi đóN(z) =zz =a2+b2 được gọi là chuẩn của số phức z. Một số tính chất cơ bản là:
(i) N(0) = 0;N(1) =N(i) = 1;
(ii) N(z) ≥0 với mọi số phức z.
(iii) N(z.w) =N(z).N(w) với mọi số phức z, w.
Thật vậy: (i) và (ii) hiển nhiên suy ra từ định nghĩa. Vì zw =z.w nên ta có N(z.w) =zw.zw =z.z.w.w =N(z).N(w).
Với mỗi z =a+bω ∈ Z[ω], vì ω = −1 +i√ 3
2 nên ta có z =a+b −1 +i√
3
2 =
a− b 2
+ b√
3 2 i.
Do đó đặt
v(z) =N(a+bω) = a− b
2 2
+b√ 3 2
2
=a2+b2−ab.
Rõ ràng v(z) là một số nguyên không âm và v(z) = 0 khi và chỉ khi z = 0.
Vì a+bω2 là liên hợp của số phức a+bω, nên ta có v(z) = (a+bω)(a+bω2) =a2+b2−ab.
1.6.2 Định nghĩa. Với mỗi z =a+bω ∈Z[ω], số nguyên v(z) =a2+b2−ab được gọi là chuẩn của z.
Ta suy ra một số tính chất cơ bản của vành Z[ω] như sau.
1.6.3 Định lý. Z[ω] là một miền Euclid với chuẩn định nghĩa như trên. Đặc biệt, Z[ω] là một miền nhân tử hóa và miền iđêan chính.
Chứng minh. Đặt E =Z[ω]\ {0}. Khi đó tồn tại ánh xạδ :E −→ Nxác định như sau: Với mỗi z = a+bω ∈ E, đặt δ(z) = v(z). Trước tiên ta sẽ chứng minh với mọi z1 =a+bω, z2 =c+dω ∈ E thì δ(z1z2) ≥δ(z1). Thật vậy, đặt z = z1.z2. Khi đó ta có δ(z) =v(z) = (a2+b2−ab)(c2+d2 −cd). Nếu c= 0 do c+dω ∈ E nên ta suy ra d6= 0. Vì thế
v(z) = (a2+b2−ab)d2 ≥ (a2+b2−ab) =v(z1).
Hoàn toàn tương tự cho trường hợp d= 0. Xét c, d6= 0 khi đó
v(z) = (a2+b2−ab)[(c−d)2+cd] ≥ (a2+b2−ab)cd≥ (a2+b2−ab) =v(z1).
Do đó δ(z1z2) ≥δ(z1) với mọi z1 =a+bω, z2 =c+dω ∈E.
Tiếp theo ta sẽ chứng minh E có tính chất phép chia với dư; Với mọi z1 =a+bω, z2 =c+dω ∈Z[ω], z2 6= 0tồn tại q, r ∈Z[ω] sao choz1 = z2q+r trong đó r = 0 hoặc (r6= 0 và δ(r) < δ(z2)).
Ta có z1
z2 =α+βi√
3,vớiα, β ∈Q.Vìβlà số hữu tỷ nên ta luôn chọn được một số nguyên bsao cho |β− b
2| < 1
2. Tương tự, vì α+b
2 là một số hữu tỷ nên tồn tại một số nguyên a sao cho |α+b
2−a| ≤ 1
2. Đặt q = a− b
2
+bi√ 3
2 ∈ Z[ω].
Khi đó ta có
z1 z2−q
2
=
z1−z2q z2
2
=
α−a+ b 2
+
β− b 2
i√
3
2
=
α−a+ b 2
2 + 3
β− b 2
2
< 1 4+ 3.1
4= 1.
Vậy
z1 −z2q
2
<
z2
2
. Đặt r = z1 −z2q ∈ Z[ω] ta được z1 = z2q +r với δ(r) < δ(z2) nếu r6= 0. Vậy Z[ω] là một miền Euclid.
Theo Hệ quả 1.2.13 và Mệnh đề 1.2.14, ta cóZ[ω]là một miền iđêan chính và là miền nhân tử hóa.
Từ định lý trên ta có hệ quả sau.
1.6.4 Hệ quả. z =a+bω là khả nghịch khi và chỉ v(z) = 1.
Chứng minh. Thật vậy, ta thấy rằng z là khả nghịch khi và chỉ khi tồn tại u ∈ Z[ω] sao cho zu= 1. Khi đó ta có v(z) ≤ v(zw) = v(1) = 1 (vì v(z) 6= 0 nên v(z) ≥ 1với mọi z). Do đó z là khả nghịch khi và chỉ khi v(z) = 1.
Mệnh đề tiếp theo sẽ chỉ ra tập tất cả các phần tử khả nghịch của Z[ω]
1.6.5 Mệnh đề. Tập tất cả các phần tử khả nghịch củaZ[ω]là{±1,±ω,±ω2}.
Chứng minh. Theo Hệ quả 1.6.4, phần tử z =a+bω ∈ Z[ω] là khả nghịch khi và chỉ khiv(z) =a2+b2−ab= 1.Giả sử z là khả nghịch. Nếuab = 0thì hoặc
z = ±1 hoặc z = ±ω. Nếu ab 6= 0 thì a2+b2 ≥ 2, cùng với a2 +b2 = 1 +ab suy ra ab ≥ 1. Mặt khác, (a−b)2 = 1−ab nên ab ≤ 1. Do đó ab = 1, điều này dẫn đến a=b =±1. Suy ra z = ±(1 +ω) =±ω2. Ngược lại, rõ ràng ±1 là khả nghịch trong Z[ω]. Ta có ω.ω2 = (−ω)(−ω2) = 1. Do đó, các phần tử
±ω,±ω2 là khả nghịch.
Số nguyên tố Eisenstein, vành thương của Z [ω]
và sự phân tích
Chương này, chúng tôi trình bày lại các kết quả trong bài báo [Mi] về xác định các số nguyên tố Eisenstein thông qua cấu trúc của một số vành thương của vành các số nguyên Eisenstein. Đồng thời, chúng tôi tập trung trình bày sự phân tích trong vành thương của vành các số nguyên Eisenstein Z[ω]. Trước tiên chúng tôi trình bày một số tính chất cơ bản về số nguyên tố Eisenstein và vành thương của vành Z[ω].