CHƯƠNG 2 THỦY ĐỘNG LỰC HỌC VỀ CÁNH CHÂN VỊT
2.2. Lý thuyết các mặt cắt phẳng (Strip theory) của cánh
Ngƣợc với lý thuyết trên của Rankine, cuối thế kỷ XIX các nhà khoa học giải quyết vấn đề thực tế gắn liền hơn với lực đẩy các cánh. Trong cánh làm này, hình học cánh chân vịt, mà thực chất là từ mô hình cánh máy bay đƣợc xem xét kỹ lƣỡng thay vì nghiên cứu động lượng khối lượng nước chảy qua mặt đĩa. Mới nhìn qua, trong cách làm này có những điều hình nhƣ chƣa ổn lắm nếu xét từ mặt cơ học cổ điển mà lý thuyết Rankine là một điển hình. Tuy nhiên nhờ sự lột mình của lý thuyết cánh chân vịt mới có những bước tiến lớn. Theo cách giải quyết của W.
Froude, cánh chân vịt đƣợc xét nhƣ tập hợp của vô số các đoạn cánh trụ, liên kết với nhau qua các mặt cắt. Mỗi mặt cắt ngang này có hình profil cánh tương tự hình ảnh trình bày tại Hình 2.2. Mỗi một đoạn ngắn trích từ cánh nhƣ vậy đƣợc gọi là đoạn, còn thuật ngữ chuyên môn dung trong toán và cơ học người ta gọi là strip. Cách giải bài toán theo cách hạ bậc nhƣ trên ngày nay đƣợc gọi là strip theory.
10
Hình 2.2. Tam giác vận tốc trên phần tử cánh
Mô hình cánh đầu tiên đƣợc đƣa ra là cánh có profil mặt cắt dạng khí động học, chiều dài cánh vô tận. Những năm đầu thế kỷ Lanchester và Prandtl đƣa ra cơ sở lý luận cho việc tạo lực nâng và lực cản của cánh. Trong cùng thời gian Juokovski (1906) đưa ra công thức tính lưu chuyển quanh cánh và lực nâng tính từ lưu chuyển đó:
Trong đó: vận tốc dòng tại vị trí xa vô cùng, trước cánh.
dl – đơn vị chiều dài phần tử cánh.
Mô hình toán xây dựng cho các dòng trên cánh là mô hình lực nâng hình thành do có đường xoáy, là đường thẳng, tâm đường xoắn đi qua tâm dọc cánh dài vô tận, mật độ dòng xoáy chính là . Dưới tác động của dòng xoáy, phần trên của profil có vận tốc V lớn hơn vận tốc còn vận tốc dòng tại phần dưới nhỏ hơn . Do vậy, theo định luật Bernoulli áp lực mặt trên profil sẽ nhỏ hơn áp lực mặt dưới. Chính sự khác biệt về áp lực đã tạo ra lực nâng: .
Bằng lý thuyết có thể tính mật độ của dòng xoáy nhƣ sau:
Trong đó: K – hệ số tính đến hình dáng profil.
góc tấn hình học, l – sải hình học của cánh.
– góc giữa hướng của và trục O của profil, gọi là góc tấn lý thuyết.
Thay công thức cuối vào lại công thức Joukovski có thể thấy:
Nếu ký hiệu hệ số lực nâng bằng biểu thức:
11
Lực nâng thường được viết dưới dạng:
Hệ số có thể mang nhiều dạng khác nhau, tùy thuộc hình dáng profil và vị trí của nó trong dòng. Ví dụ, với profil mỏng, công thức tính hệ số lực nâng sẽ là:
Với profil cắt từ cung tròn, chiều dầy cung f, chiều rộng cung l, công thức tính sẽ là:
⁄ Hệ thống xoáy sau mép thoát của cánh cũng đƣợc mô hình toán trong thời kỳ này. Trong dòng chất lỏng lý tưởng, theo định lý Thomson, chuyển động dòng từ trạng thái đứng yên sẽ không có xoáy. Tuy nhiên trong thực tế xoáy có thể xuất hiện do hậu quả của việc thay đổi vận tốc dòng phía trên và phía dưới profil cánh. Hai dòng chảy vận tốc khác nhau, trượt từ mép trên và mép dưới của profil sẽ gặp nhau tại một giao tuyến và tạo nên mặt chất lỏng phân chia hai miền trong dòng chảy.
Mặt phân chia này khi thoát khỏi profil, trong giai đoạn đầu của hành trình đã xuất hiện các xoáy có chiều quay ngƣợc với xoáy nguyên thủy trên profil, theo thời gian xoáy sau này bức khỏi cánh và di chuyển theo dòng chất lỏng. Vì rằng, theo Thomson giá trị của trong dòng đến profil là 0. giá trị này không đổi trong cả vòng kín bao chất lỏng gồm cả profil cánh và các xoáy mới tạo. Từ đó có thể thấy:
trong trường hợp chúng ta có thể viết:
Quay trở lại mô hình cánh tại Hình 2.3, có thể mô hình hóa tác động của dòng chảy đến việc tạo lực đẩy của chân vịt theo cách sau: Phần tử cánh khi đặt trong dòng chảy với vận tốc dọc trục dưới góc nghiêng và vận tốc quay 2 r.n
Trong đó: r – bán kính tính từ trục quay cánh đến mặt cánh đang xét.
n – vòng quay cánh trong đơn vị thời gian của dòng nước.
12
Hình 2.3. Mô hình cánh
Điều đó đồng nghĩa, phần tử cánh đang được đặt dưới góc tấn trong dòng chảy.
Trong trường hợp này sẽ xuất hiện:
- Các lực thủy động tác động lên phần tử cánh.
- Lực nâng L vuông góc với vận tốc tổng cộng.
- Lực cản D ngƣợc chiều với vận tốc tổng cộng.
Với dạng profil cánh nhất định, thành phần lực đẩy của phần tử cánh và thành phần momen quay cánh tính theo công thức như đã trình bày phần trước:
Trong đó: Z – số cánh; c – chiều dài cung cánh của mặt cắt đang xét.
Hiệu suất tính tại mặt cắt có dạng:
Nếu ký hiệu tỉ lệ giữa và bằng ký hiệu ⁄ hiệu suất trên đây có thể viết thành:
Theo lý thuyết cánh dạng này, lực đẩy T và momen quay chân vịt đƣợc tính bằng hai công thức cuối, trong đó các hệ số lực nâng và hệ số cản đƣợc coi đã xác định. Tại thời điểm xuất hiện thuyết này (1878) thực ra cách xác định các hệ số và chưa được hoàn chỉnh, tuy nhiên đây là bước tiến đáng kể trong sự nghiệp thiết kế chân vịt. Ngày nay với thành tựu đã có trong lĩnh vực nghiên cứu cánh, các hệ số này dễ dàng xác định bằng lý thuyết và thực nghiệm.
13
Cần nói rõ thêm lý thuyết cánh tuy đã có cơ sở từ cuối thế kỷ XIX song thời kỳ phát triển nhanh và vững chắc của nó bắt đầu từ năm đầu của thế kỷ XX.