Trong phần này chúng ta giả thiết A, B, Y là các tập khác rỗng, S1 :A ⇒A, S2:A⇒ B, T :A×B ⇒Y là các ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng và R(a, b, y) là quan hệ giữa các phần tử a∈A, b∈B, y∈Y.
Định nghĩa 2.1.1. Bài toán tìm ¯a∈A sao cho
(1) ¯a là điểm bất động của ánh xạ S1, tức làa¯∈S1(¯a);
(2) Quan hệ R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈S2(¯a) và y∈T(¯a, b);
được gọi là bài toán quan hệ biến phân, kí hiệu là (VR).
Các ánh xạ đa trị S1, S2, T được gọi là ánh xạ ràng buộc và quan hệ R là một quan hệ biến phân. Điểm ¯a thỏa mãn điều kiện 1 và 2 được gọi là nghiệm của bài toán (VR). Tập các nghiệm của bài toán (VR) kí hiệu là Sol(VR).
Sau đây là một số mô hình bài toán đã biết có thể được suy ra từ bài toán quan hệ biến phân.
Ví dụ 2.1.1. Bài toán quy hoạch tuyến tính
Xét bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát được phát biểu như sau Tìm x∈X0 sao cho f(x)→min,
trong đó f :Rn →R,
f(x) =cTx=c1x1+c2x2+...+cnxn, ở đây x= (x1, ..., xn), cT = (c1, ..., cn).
Tập ràng buộc X0 ={x∈Rn :Ax≤b, Cx =d}, với
A=
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n ... ... . . . ... am1 an2 . . . amn
, b=
b1
... bm
,
C=
c11 c12 . . . c1n c21 c22 . . . c2n ... ... . . . ... ck1 ck2 . . . ckn
, d=
d1
... dk
,
Ax ≤b Cx=d ⇔
a11x1+a12x2+ã ã ã+a1nxn ≤b1
. . . .
am1x1+am2x2+ã ã ã+amnxn ≤bm c11x1+c12x2+ã ã ã+c1nxn =d1
. . . .
ck1x1+ck2x2+ã ã ã+cknxn =dk .
Với mọi a∈A, b∈B, đặt
A=B =Y =Rn, S1(a) =Rn, S2(a) ={x∈R:Ax≤b, Cx=d}, T(a, b) ={b}.
Quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau
R(a, b, y) đúng nếu f(a)≤f(y) với mọi y∈T(a, b).
Như vậy, bài toán quy hoạch tuyến tính là bài toán (VR).
Ví dụ 2.1.2. Bài toán quy hoạch phi tuyến
Cho X ⊆Rn, f, g, h là các hàm thực xác định trên X và tập D=
x∈X :g(x)≤0và h(x) = 0 . Bài toán quy hoạch phi tuyến được phát biểu như sau
Tìm x¯∈X sao cho f(¯x)≤f(x) với mọi x∈D.
Đặt A=B =Y =X, S1(a) =X, S2(a) =
x∈Rn :g(x)≤0vàh(x) = 0 , T(a, b) ={b} và quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau
R(a, b, y) đúng nếu f(a)≤f(y) đúng với mọi y ∈T(a, b).
Như vậy, bài toán quy hoạch phi tuyến là (VR).
Ví dụ 2.1.3. Bài toán tối ưu chứa tham số (Optimization Problem)
Cho X, Ω, và Λ là các tập khác rỗng, f là một hàm thực xác định trên X, hai họ hàm thực g(x, ω), ω∈Ω và h(x, λ), λ ∈Λ và tập
D={x∈X :g(x, ω)≤0, h(x, λ) = 0,∀ω ∈Ω,∀λ ∈Λ}. Bài toán tối ưu kí hiệu là (OP) phát biểu như sau:
Tìm x¯ ∈ X sao cho f(x)−f(¯x) ≥ 0 với mọi x ∈ X thỏa mãn g(x, ω) ≤ 0, với mọi ω∈Ω và h(x, λ) = 0 với mọi λ ∈Λ. Đặt
A=B =Y =X, S1(a) =X,
S2(a) = {x∈X :g(x, ω)≤0, h(x, λ) = 0,∀ω ∈Ω,∀λ ∈Λ}, T(a, b) = {b},với mọia, b∈A.
Quan hệ R được xác định như sau
R(a, b, y) đúng nếu f(y)−f(a)≥0 với mọi y∈T(a, b).
Như vậy, (OP) là (VR).
Ví dụ 2.1.4. Bài toán cân bằng (Equilibrium Problem)
Cho tập X 6=∅, φ là một hàm thực trên tập X×X. Bài toán cân bằng được kí hiệu là (EP) phát biểu như sau
Tìm x¯∈X sao cho φ(¯x, y)≥0 với mọi y ∈X.
Đặt A = B = Y = X, S1(a) = X = S2(a), T(a, b) ={b} với mọi a ∈ A, b ∈ B và quan hệ R được xác định như sau
R(a, b, y) đúng nếu φ(a, y)≥0 với mọi y∈T(a, b).
Như vậy, (EP) là (VR).
Ví dụ 2.1.5. Bài toán bao hàm thức biến phân (Variational Inclusion Problem) Cho F, G là hai ánh xạ đa trị xác định trên A×B ×Y lấy giá trị trên không gian Z. Bài toán bao hàm thức biến phân được kí hiệu là (VIP) phát biểu như sau: Tìm a¯ ∈ A sao cho ¯a ∈ S1(a) và F(¯a, b, y) ⊆ G(¯a, b, y) với mọi b ∈ S2(¯a) và y∈ T(¯a, b). Đặt A =B =Y =X, S1(a) =X =S2(a), T(a, b) ={b} với mọi a∈A, b∈B và quan hệ R được xác định như sau
R(a, b, y) đúng nếu F(a, b, y)⊆G(a, b, y) với mọi b ∈S2(a), y∈T(a, b).
Như vậy, (VIP) là (VR).
Ví dụ 2.1.6. Bài toán tựa cân bằng (Quasi-Equilibrium Problem )
Cho X là không gian tôpô,C là một tập con đóng của không gian véctơ tôpô Z với intC khác rỗng, các ánh xạ đa trị S, G:X ⇒X và F :X×X ⇒Z. Bài toán tựa cân bằng kí hiệu là (QEP) được phát biểu như sau:
Tìm a¯∈X sao cho
(1) ¯a là điểm bất động của clS,tức là ¯a∈clS(¯a);
(2) F(b, y)⊆Z\ −intC với mọi b∈S(¯a) và y∈G(¯a).
Đặt A=B =Y =X, S1(a) = clS(a), S2(a) =S(a), T(a, b) =G(a)với mọi a, b∈X, F :X×X ⇒ Z. Quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau
R(a, b, y) đúng nếu F(b, y)⊆Z\ −intC với mọi b ∈S2(a), y ∈T(a, b).
Như vậy, (QEP) là (VR).
Cho X là không gian tôpô, A ⊆X, ánh xạ S :X ⇒X và f :X×X →Z. Với mỗi a ∈ A, C(a) là tập con của không gian véctơ tôpô Z. Một dạng khác của (QEP) là (QEP’) được phát biểu như sau:
Tìm a¯∈A sao cho (1) ¯a∈S(¯a);
(2) f(¯a, b)∈Z\ −intC(¯a) với mọi b ∈S(¯a).
Đặt A = B = Y = X, S1(a) = S2(a) = S(a), T(a, b) = {b} với mọi a ∈ A và F(x, b, y) ={f(x, b)} và G(x, b, y) ={Z\ −intC(x)}. Bài toán (QEP’) là (VIP).
Ta xét bài toán(QEP0∗)là bài toán bổ trợ cho bài toán (QEP’), ở đây−intC(¯a) được thay thế bởi −clC(¯a), cụ thể:
Tìm a¯∈A sao cho (1) ¯a∈S(¯a);
(2) f(¯a, b)∈Z\ −clC(¯a) với mọi b∈S(¯a).
Tương tự cách đặt như trên ta có bài toán (QEP0∗) là (VIP).
Ví dụ 2.1.7. Bài toán cân bằng véctơ tổng quát mạnh (Generalized strong vector equilibrium problem)
Cho X là không gian metric, Z là không gian véctơ metric và C ⊂ Y là nón lồi đóng. Giả sử tập con K ⊂ X khác rỗng và F : K×K ⇒ Z\ {∅}. Bài toán cân bằng véctơ tổng quát mạnh kí hiệu là (GSVEP) phát biểu như sau
Tìm x∈K sao cho F(x, y)∩(−C\ {0Z}) =∅ với mọi y∈K.
Đặt A=B =K =Y, C ⊂ Z là nón lồi đóng, S1(a) =K =S2(a), T(a, b) ={b} với mọi a∈A, b∈B và quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau
R(a, b, y) đúng nếu F(a, y)∩(−C\ {0Z}) = ∅, với mọi y ∈T(a, b).
Như vậy, (GSVEP) là (VR).
Ví dụ 2.1.8. Bài toán bất đẳng thức véctơ Ky Fan yếu (Weak vector Ky Fan inequality problem)
Cho X là không gian tôpô, Z là không gian véctơ tôpô, tập K ⊂X là tập khác rỗng, C ⊂ Z là nón lồi đóng với intC 6=∅ và ánh xạ đa trị F : K×K ⇒ Z. Bài toán bất đẳng thức véctơ Ky Fan yếu kí hiệu là (P) được phát biểu như sau
Tìm x∈K sao cho F(x, η)6⊂ −intC với mọi η∈K.
Đặt A =K = B = Y, S1(a) =K =S2(a), T(a, b) = {b} và quan hệ R(a, b, y) được xác định như sau
R(a, b, y) đúng nếu F(a, b)6⊂ −intC, với mọi b ∈S2(a).
Như vây, (P) là (VR).