2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán quan hệ biến phân
2.2.3 Tiêu chuẩn dựa trên điểm bất động
Trong mục này chúng ta sẽ trình bày cách xây dựng tiêu chuẩn theo [5] để bài toán (VR) có nghiệm dựa trên cơ sở Hệ quả (2.2.1) và lý thuyết điểm bất động. Giả sử rằngA =B ⊆X và Y là các không gian véctơ tôpô Hausdorff. Xét ánh xạ đa trị Q:A⇒ A được định nghĩa bởi
Q(a) =
x∈A:R(a, x, y)không đúng với y∈T(a, x)nào đó . Nhận thấy rằng
A\P−1(a) =
S2(a) nếu a /∈S1(a), S2(a)∩Q(a) nếu a∈S1(a).
Thật vậy, giả sử x∈ A\P−1(a). Suy ra, x ∈ A và x /∈P−1(a), tức là x ∈A và a /∈P(x), nêna /∈P1(x) và a /∈P2(x).
Lấy x∈S2(a), nếua ∈S1(a) thì x∈
x∈A:R(a, x, y)không đúng với y∈T(a, x) . Do đó, x∈S2(a)∩Q(a).
Mặt khác, nếu a /∈S1(a) thì với a /∈P1(x) ta có x∈S2(a). Vì vậy, x∈
S2(a) nếu a /∈S1(a), S2(a)∩Q(a) nếu a∈S1(a).
Dưới đây chúng ta sẽ trình bày mối quan hệ giữa R, PR và Q.
Bổ đề 2.2.2. Các khẳng định sau là đúng:
(i) Với mỗi a∈A, quan hệ R(a, a, y) đúng với mọi y ∈T(a, a) nếu và chỉ nếu a không là điểm bất động của Q. Đặc biệt, nếu R là KKM thì Q không có bất động.
(ii) Nếu Q(a) là lồi với mọi a∈A và nếu ánh xạ Q không có điểm bất động thì R là KKM.
(iii) Với mỗi a ∈A, ta có A\Q−1(a) =PR(a). Do đó Q có giá trị nghịch ảnh là mở nếu và chỉ nếu ánh xạ PR có giá trị đóng.
Chứng minh. Trước hết chứng minh khẳng định (i). Giả sử với mỗi a∈A, quan hệ R(a, a, y) đúng với mọi y ∈ T(a, a) mà a là điểm bất động của Q. Do đó, a ∈ Q(a), nên theo cách xác định ánh xạ Q thì R(a, a, y) không thỏa mãn với y∈T(a, a). Mâu thuẫn với giả thiết. Vì vậy, a không là điểm bất động của Q.
Ngược lại, giả sửa không là điểm bất động củaQmà vớia ∈A,quan hệR(a, a, y) không đúng với y ∈T(a, a). Vì thế, theo cách xác định ánh xạ Q ta có a∈Q(a).
Mâu thuẫn với giả thiết. Vì vậy, với mỗi a ∈A, quan hệ R(a, a, y) đúng với mọi y∈T(a, a).
Đặc biệt, nếu R là KKM thì Q không có bất động. Thật vậy, giả sử quan hệ R là KKM và Q có điểm bất động. Suy ra, tồn tại a ∈ A sao cho a ∈ Q(a). Theo cách xác định ánh xạQ ta có quan hệ R(a, a, y) không đúng với y∈T(a, a).Mâu thuẫn với R là KKM. Vì vậy, ánh xạ Q không có điểm bất động.
Tiếp tục ta đi chứng minh khẳng định (ii). Giả sử rằng với mọi a ∈ A, Q(a) lồi và ánh xạ Q không có điểm bất động mà R không là KKM. Do R không là KKM nên tồn tại {a1, ..., ak} ⊂ A và tổ hợp lồi a của {a1, ..., ak} sao cho với mỗi i, quan hệ R(a, ai, yi) không đúng với yi ∈T(a, ai). Do đó ai∈Q(a), với mọi i= 1, ..., k và vì Q(a) lồi nên a∈Q(a), mâu thuẫn với giả thiết Q không có điểm bất động. Vì vậy R là KKM.
Cuối cùng ta sẽ chứng minh khẳng định (iii), A\Q−1(a) = PR(a). Giả sử a∈A\Q−1(a), suy ra a ∈A và a /∈Q−1(a), nên a /∈Q(a). Do đó theo khẳng định (i) với mọi a ∈ A quan hệ R(a, a, y) đúng với mọi y ∈ T(a, a). Vì vậy a ∈ PR(a).
Điều ngược lại chứng minh tương tự.
Dưới đây chúng ta sẽ trình bày điều kiện tồn tại nghiệm dựa trên định lí điểm bất động Fan-Browder.
Định lý 2.2.3. Bài toán (VR) có nghiệm nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) A là tập khác rỗng, lồi, compact;
(ii) E là tập đóng;
(iii)Ánh xạ S2 có giá trị lồi, có giá trị nghịch đảo mở và S2(a)⊆S1(a) với mọi a∈A;
(iv) Ánh xạ Q có giá trị lồi, có giá trị nghịch đảo mở và không có điểm bất động.
Chứng minh. Xét ánh xạ đa trị A\P−1 trên A. Nếu với a ∈ A nào đó mà A\P−1(a) = ∅ thì theo Hệ quả (2.2.1), a∈Sol(VR).
Nếu ta giả sử A\P−1(a)6=∅ với mọi a ∈A, ta có A = S
a∈A
A\P−1−1 (a). Hơn nữa, ta có:
A\P−1
(a) = [
a∈A
{x∈A\E :a ∈S2(x)} ∪ {x∈E :a∈S2(x)∩Q(x)}
= [
a∈A
(A\E)∪Q−1(a) ∩
S2−1(a) . Theo (ii), (iii) và (iv) ta có
(A\E)∪Q−1(a) ∩
S2−1(a) là tập mở trongA.Do đó A= S
a∈A
int A\P−1−1
(a). Theo Định lí Fan-Browder (xem Mục (1.2.2)), tồn tại điểm bất động ¯a∈A củaA\P−1. Trong trường hợp đặc biệt ta có ¯a∈S2(¯a)⊆E.
Do đó,a¯∈Q(¯a), mâu thuẫn với điều kiện (iv). Điều giả sử không đúng. Vậy, tồn tại a ∈A sao cho A\P−1(a) =∅, hay bài toán (VR) có nghiệm.
Khi A là tập con của không gian véctơ tôpô lồi địa phương, hệ quả sau đây làm yếu điều kiện đặt lên S2.
Hệ quả 2.2.3. Giả sử X là không gian véctơ tôpô lồi địa phương. Khi đó bài toán (VR) có nghiệm nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(i) A là tập compact, lồi, khác rỗng.
(ii) S1 là đóng.
(iii) S2 có giá trị lồi, nửa liên tục dưới và với mọi a∈A, S2(a)⊆S1(a).
(iv) Q là ánh xạ mở có giá trị lồi và Q không có điểm bất động.
Chứng minh. Giả sử U là một cơ sở lân cận lồi của điểm gốc trong không gian A. Với mỗi U ∈ U xét bài toán quan hệ biến phân (VR) với các ánh xạ ràng buộccl(S1+U)∩A và (S2+U)∩A thay cho S1 và S2. Khi đó (S2+U)∩A là mở trong A và các giả thiết của Định lí (2.2.3) thỏa mãn.
Ta kí hiệu EU là tập các điểm bất động của ánh xạ cl(S1+U)∩A trên A. Vì cl(S1 +U) và A là đóng nên EU là tập đóng. Khi đó tồn tại xU ∈ EU sao cho (S2(xU) +U)∩Q(xU) =∅.
Đặt AU ={x∈EU :S2(x)∩Q(x) =∅} thì AU 6=∅. Hơn nữa, vì S2 là nửa liên tục
dưới và Q là ánh xạ mở nên S2∩Q là nửa liên tục dưới. Kết hợp với điều kiện EU đóng , suy ra AU đóng.
Rõ ràng AU thắt khi U thắt, vì vậy họ các tập compact AU, U ∈ U có điểm chung hay tồn tại ¯a∈ T
U∈U
AU. VìS1 đóng và S2(¯a)∩Q(¯a) =∅ nên ¯a∈S1(¯a). Vậy
¯
a là nghiệm của bài toán (VR).
Chương 3
Tính chất tôpô của tập nghiệm của bài toán quan hệ biến phân
Chương này trình bày một số tính chất tôpô của tập nghiệm như tính duy nhất, tính đóng, tính lồi, tính bị chặn, tính ổn định,... và chứng minh bốn tính chất liên tục của ánh xạ nghiệm của bài toán (VR) có tham số. Ngoài ra, luận văn này trình bày một vài hệ quả về tính liên tục của tập nghiệm áp dụng cho một số bài toán cụ thể của bài toán (VR) có tham số dựa theo tài liệu [4].
Giả sử A, B, Y là các tập khác rỗng, các ánh xạ đa trị S1, S2, T và quan hệ R được xác định như trong Chương 2. Trong chương này ta sẽ sử dụng các kí hiệu sau:
• Σ là tập tất cả các nghiệm của bài toán (VR).
• K là tập tất cả các điểm bất động của ánh xạ S1.
• Γ :=
a∈A:R(a, b, y)đúng với mọib ∈S2(a)vày ∈T(a, b) .
• PR(b) :=
a∈A :R(a, b, y)đúng với mọiy∈T(a, b) với mỗi b ∈B.
• P(b) =
A\S2−1(b) ∪ {K∩PR(b)} với mỗi b ∈B.
Lấy D là tập con của A, kí hiệu DC =A\D. Vì vậy:
• KC là tập tất cả các điểm không phải là điểm bất động của S1.
• ΓC :=
a∈A:R(a, b, y) không đúng với b∈S2(a)và y∈T(a, b) nào đó . Khi đó ta có hai công thức biểu diễn nghiệm sau:
Σ = K∩Γ, (3.1)
Σ = \
b∈B
P(b). (3.2)
Công thức (3.1) là rõ ràng. Thật vậy, giả sử¯a∈Σ,theo định nghĩa ta cóa¯∈S1(¯a) và R(¯a, b, y) đúng với mọi b ∈ S2(¯a) và y ∈ T(¯a, b). Suy ra ¯a ∈ K và ¯a ∈ Γ, hay
¯
a∈K∩Γ. Điều ngược lại tương tự.