Chương 1. Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị
1.7. Toán tử giả vi phân trong R n
1.7.1. Biểu trưng của toán tử giả vi phân
Trước hết ta xét toán tử đạo hàm riêng P(x, D) được cho bởi công thức
P(x, D) = X
|α|≤m
aα(x)Dα (1.18)
Trong đó α là đa chỉ số, aα là các hàm xác định trên Rn.
Nếu thay thế Dα trong công thức (1.18) bởi đơn thức ξα trên Rn thì ta được
P(x, ξ) = X
|α|≤m
aα(x)ξα (1.19)
hàm số này được gọi là biểu trưng của toán tử P(x, D). Để có những biểu diễn khác của toán tử P(x, D) ta lấy hàm ϕ ∈ S(Rn) và biến đổi
như sau:
(P(x, D)ϕ)(x) = X
|α|≤m
aα(x)(Dαϕ)(x)
= X
|α|≤m
aα(x)(D\αϕ)
v
(x)
= X
|α|≤m
aα(x)(2π)−n2 Z
Rn
eixξ[Dαϕ(ξ)dξ
= (2π)−n2 X
|α|≤m
aα(x) Z
Rn
eixξξαϕ(ξ)dξb
= (2π)−n2 Z
Rn
eixξ
X
|α|≤m
aα(x)ξα
bϕ(ξ)dξ
= (2π)−n2 Z
Rn
eixξP(x, ξ)ϕ(ξ)dξ.b
Biểu diễn này gợi ý về việc mở rộng các toán tử, nếu ta thay thế biểu trưng P(x, ξ) với σ(x, ξ) không là đa thức của ξ nữa. Khi đó ta có toán tử dạng:
Aϕ(x) = (2π)−n Z
Rn
eixξσ(x, ξ)ϕ(ξ)dξ, ϕb ∈ S(Rn). (1.20) Những toán tử dạng trên gọi là toán tử giả vi phân trên S(Rn). Toán tử giả vi phân phụ thuộc chủ yếu vào biểu trưng σ(x, ξ) của nó. Do đó trước hết ta nghiên cứu về khái niệm biểu trưng.
Định nghĩa 1.25 (Biểu trưng). Cho m ∈ (−∞;∞) ta định nghĩa không gian Sm là tập hợp tất cả các hàm σ ∈ C∞(Rn×Rn) thỏa mãn điều kiện với hai đa chỉ số α, β bất kì tồn tại số nguyên dương Cα,β phụ thuộc vào
α, β sao cho
∂xα∂ξβσ(x, ξ)
≤ Cα,β(1 +|ξ|)m−|β|,∀x, ξ ∈ Rn (1.21) Mỗi α ∈ Sm ta gọi là một biểu trưng bậc m.
Ví dụ 1.1. Cho P(x, ξ) = P
|α|≤m
aα(x)ξα trong đó aα(x) ∈ C∞(Rn) và bị chặn với tất cả các đạo hàm của nó. Khi đó P(x, ξ) ∈ Sm.
Thật vậy, cho γ, β là các đa chỉ số bất kì ta có ∂xα∂ξσP(x, ξ)
≤ X
|α|≤m
∂xαaα(x)∂ξσξα
≤ X
|α|≤m
Cα,β
∂ξσξα
rong đó Cα,β = sup
x∈Rn
|∂xγaα(x)|.
Ta lại có với mọi ξ ∈ Rn
∂ξδξα =
δ!Cαδξα−δ , δ ≤ α 0 , δ > α
(1.22)
Do đó
(∂xγ∂ξδP)(x, ξ)
≤ P
|α|≤m
Cα,βδ!Cαδ |ξ||α|−|δ| ≤Cγ,δ (1 +|ξ|)m−|δ|
trong đó Cγ,δ = P
|α|≤m
Cα,βδ!Cαδ.
Như vậy P(x, ξ) thỏa mãn (1.22) từ đó suy ra P(x, ξ) ∈ Sm. Nhận xét 1.5. Cho m1, m2 ∈ R, khi đó
a) Sm ⊂ Sm0 khi m < m0.
b) Với mọi σ ∈ Sm thì ξβ1∂xα∂ξβ2σ ∈ Sm−|β2|+|β1|. Định nghĩa 1.26. Ta kí hiệu S+∞ = S
m∈R
Sm, S−∞ = T
m∈R
Sm. Khi đó, mỗi σ ∈ S+∞ được gọi là một biểu trưng.
Mệnh đề 1.12. Nếu σ ∈ Sm1 và τ ∈ Sm2 thì στ ∈ Sm1+m2.
Mệnh đề 1.13. Cho σ ∈ S+∞, ϕ ∈ S(Rn). Khi đó hàm τ(x, ξ) =σ(x, ξ)ϕ(ξ) ∈ S−∞,(x, ξ ∈ Rn).
Định nghĩa 1.27. Cho σ ∈ Sm, giả sử tìm được σj ∈ Sjm trong đó m = m0 > m1 > m2 > ... > mj → −∞
khi j → ∞, sao cho σ−
N−1
P
j=0
σj ∈ Sm−N, với mọi N nguyên dương. Khi đó ta gọi
∞
P
j=0
σj là một khai triển tiệm cận của σ và ta viết σ ∼
∞
X
j=0
σj. (1.23)
Định lý 1.29. Cho m = m0 > m1 > m2 > ... > mj → −∞ khi j → ∞. Giả sử σj ∈ Smj, khi đó tồn tại một biểu trưng σ ∈ Sm0 sao cho σ ∼
∞
P
j=0
σj. Hơn nữa τ là một biểu trưng khác có cùng khai triển tiệm cận τ ∼
∞
P
j=0
σj thì σ −τ ∈ S−∞.
Định nghĩa 1.28 (Toán tử giả vi phân). Cho σ là một biểu trưng. toán tử giả vi phân Tσ liên kết với σ được định nghĩa bởi công thức sau
(Tσϕ)(x) = (2π)−n2 Z
Rn
eixξσ(x, ξ)ϕ(ξ)dξ, ϕb ∈ S(Rn)
Nếu σ ∈ Sm thì ta nói Tσ là toán tử giả vi phân bậc m.
Ví dụ 1.2. Theo Ví dụ 1.1 thì ta có P(x, ξ) = P
|α|≤m
aα(x)ξα nếu aα(x) ∈ C∞(Rn) và aα bị chặn cùng với tất cả các đạo hàm của nó. Do đó P(x, ξ) ∈ Sm. Bởi vậy toán tử
(Tpϕ)(x) = (2π)−n2 Z
Rn
eixξP(x, ξ)ϕ(ξb )dξ, ϕ ∈ S(Rn)
là toán tử giả vi phân bậc m và ta có toán tử Tp = P(x, D) là toán tử đạo hàm riêng tuyến tính.
Định nghĩa 1.29. Toán tử giả vi phân Tσ được gọi là toán tử elliptic hay đơn giản là elliptic, nếu biểu trưng σ là elliptic, nghĩa là tồn tại các hằng số dương C, R không phụ thuộc vào x sao cho
|σ(x, ξ)| >C(1 +|ξ|)m,∀ |ξ| > R (1.24) Ví dụ 1.3. Giả sử σ(ξ) =
1 +|ξ|2m2
, m ∈ (−∞; +∞). Khi đó σ ∈ Sm và Tσ là toán tử giả vi phân elliptic.
Thật vậy, trước hết ta chứng minh rằng σ ∈ Sm .
Ta cần phải chỉ ra rằng với mỗi m ∈ (−∞; +∞) và với mọi đa chỉ số β tồn tại hằng số Cm,β sao cho
∂βσ(ξ)
≤Cm,β(1 +|ξ|)m−|ξ|,∀ξ ∈ Rn (1.25) Ta chứng minh khẳng định này bằng quy nạp. Rõ ràng bất đẳng thức (1.25) đúng mọi đa chỉ số 0 với mọi m.
Giả sử (1.25) đúng những đa chỉ số có độ dài không quá p. Lấy γ là một đa chỉ số có độ dài p+ 1. Khi đó γ = ∂β∂j với j = 1,2, ..., n nào đó và β là một đa chỉ số có độ dài p. khi đó
|∂γσ(ξ)| =
∂β∂jσ(ξ) =
∂βτ(ξ)
trong đó τ(ξ) = mξj
1 +|xi|2m2−1
. Áp dụng công thức Leibniz, ta có
σβτ(ξ) = mX
σ≤β
Cβδ ∂δξj
∂β−δ
1 +|ξ|2m2−1
,∀ξ ∈ Rn
Áp dụng công thức (1.22), giả thiết quy nạp, tồn tại hằng số dương Cm,β sao cho
σβτ(ξ) ≤ Cm,βX
σ≤β
Cβδ(1 +|ξ|)1−δ(1 +|ξ|)m−2−|β|+|δ|
= Cm,β0 (1 +|ξ|)m−|γ|
Trong đó Cm,β0 = Cm,β P
σ≤β
Cβδ.
Vậy δ ∈ Sm, do đó Tσ là toán tử giả vi phân.
Cuối cùng, do
1 +|ξ|2m2
∼ (1 +|ξ|)m khi ξ → ∞ nên tồn tại hằng số dương C, R sao cho bất đẳng thức (1.24) được thỏa mãn, nên Tσ là toán tử giả vi phân elliptic bậc m.
Nhận xét 1.6. Do tính chất tuyến tính của tích phân và biến đổi Fourier nên toán tử giả vi phân là toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.30. (Toán tử giả vi phân đối xứng) Toán tử giả vi phân Tσ được gọi là toán tử đối xứng trên không gian S nếu thỏa mãn
(Tσϕ, ψ) = (ϕ, Tσψ),∀ϕ, ψ ∈ S trong đó tích vô hướng trên được xác định như sau
(ϕ, ψ) = Z
R
ϕ(x)ψ(x)dx (1.26)
với mọi ϕ, ψ ∈ S.
Mệnh đề 1.14. Cho σ và τ là hai biểu trưng sao cho Tσ = Tτ thì σ = τ. Định nghĩa 1.31 (Liên hợp hình thức của toán tử giả vi phân). Với một cặp hàm ϕ và ψ thuộc S, ta xác định tích vô hướng (ϕ, ψ) bởi (1.26).
Giả sử σ là một biểu trưng trong Sm và Tσ liên kết với σ là một toán tử giả vi phân. Khi đó nếu tồn tại toán tử tuyến tính Tσ∗ : S → S thỏa mãn
(Tσϕ, ψ) = (ϕ, Tσ∗ψ),∀ϕ, ψ ∈ S Thì ta gọi Tσ∗ là liên hợp hình thức của toán tử Tσ.
Nhận xét 1.7. Dễ dàng nhận thấy mỗi toán tử giả vi phân có nhiều nhất một liên hợp hình thức. Vấn đề được đặt ra là:
i) Liên hợp hình thức của một toán tử giả vi phân có tồn tại không ? ii) Nếu tồn tại nó có toán tử giả vi phân hay không ?
iii) Nếu nó là một toán tử giả vi phân, ta có thể tìm một khai triển tiệm cận của biểu trưng của nó không ?
Định lý sau đây sẽ trả lời các câu hỏi trên.
Định lý 1.30. Cho σ là một biểu trưng trong Sm. Thì liên hợp hình thức của một toán tử giả vi phân Tσ là một toán tử giả vi phân Tτ, trong đó τ là một biểu trưng trong Sm và
τ(x, ξ) ∼X
à
(−i)à à!
∂xà∂ξàσ
(x, ξ) (1.27)
Ở đây (1.27) nghĩa là
τ(x, ξ)− X
|à|<N
(−i)à à!
∂xà∂ξàσ
(x, ξ)
là một biểu trưng trong Sm−N với mỗi N là số nguyên dương.
Từ định nghĩa của liên hợp hình thức của toán tử giả vi phân, ta có thể mở rộng miềm xác định của toán tử giả vi phân từ S lên S0 bởi:
(Tσu)(ϕ) =u(Tσ∗ϕ),¯ ϕ∈ S, (1.28) trong đó Tϕ∗ là liên hợp hình thức của Tσ.
Mệnh đề 1.15. Cho σ là một biểu trưng trong Sm. khi đó Tσ là một ánh xạ liên tục từ không gian S(Rn) (không gian S0(Rn)) vào chính nó.
Định lý 1.31 (Tích và biểu trưng của tích hai toán tử giả vi phân). Giả sử σ ∈ Sm1, τ ∈ Sm2. Thì tích TσTτ của hai toán tử giả vi phân Tσ và Tτ là một toán tử giả vi phân Tλ, trong đó λ ∈ Sm1+m2 và có khai triển tiệm cận như sau
λ ∼ X
à
(−i)à à!
∂ξàσ
(∂xàτ) (1.29)
Công thức (1.29) nghĩa là λ−X
à
(−i)à à!
∂ξàσ
(∂xàτ)
là một biểu trưng thuộc Sm1+m2−N với mọi số nguyên dương N.