Chương 1. Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị
2.1. Toán tử giả vi phân trên xuyến
2.1.2. Toán tử giả vi phân trên xuyến
Định nghĩa 2.4. (Toán tử giả vi phân hình xuyến). Nếu a ∈
Sρ,δm (Tn ×Zn), ta ký hiệu a(X, D) = Op(a) là toán tử giả vi phân hình xuyến tương ứng xác định bởi
Op(a)f(x) =a(X, D)f(x) := X
ξ∈Zn
eixãξa(x, ξ) ˆf(ξ). (2.5) hay cũng vậy
a(x, D)f(x) = X
ξ∈Zn
Z
Tn
ei(x−y)ãξa(x, ξ)f(y) ˜dy. (2.6) Chuỗi (2.5) hội tụ nếu, chẳng hạn, f ∈ C∞(Tn). Tập hợp các toán tử Op(a) có dạng (2.5) với a ∈ Sρ,δm (Tn×Zn) được ký hiệu bởi Op(Sρ,δm(Tn× Zn)), hay bởi Ψmρ,δ(Tn×Zn). Nếu toán tử A thỏa mãn A ∈ OpSρ,δm(Tn× Zn), ta sẽ viếtbiểu trưng hình xuyến của nó là σA = σA(x, ξ), x ∈ Tn, ξ ∈ Zn. Tất nhiên là, σa(X,D)(x, ξ) = a(x, ξ). Ta ký hiệu
Op(S−∞(Tn×Zn)) := \
m∈R
Op(Sm(Tn×Zn)), OpSρ,δ∞(Tn ×Zn) := [
m∈R
OpSρ,δm (Tn ×Zn).
Nhận xét 2.4. Do tính tương ứng song ánh giữa Op(Sρ,δm (Tn×Zn)) và Sρ,δm (Tn×Zn), tô pô trên lớp các biểu trưngSρ,δm(Tn×Zn) cảm sinh tôpô trên lớp các toán tử Op(Sρ,δm(Tn×Zn)). Tô pô này không khả định chuẩn.
Ví dụ 2.1. Cho a : Tn ×Zn → C là hàm đo được và m ∈ R sao cho
|a(x, ξ)| ≤ Chξim với C > 0 là hằng số. Khi đó toán tử giả vi phân a(x, D)f xác định với f ∈ C∞(Tn).
Mệnh đề 2.1. Cho f ∈ C∞(Tn). Khi đó Op(a)f trong (2.5) hoàn toàn xác định và Op(a)f ∈ C∞(Tn). Ngoài ra, toán tử Op(a) : C∞(Tn) → C∞(Tn) liên tục.
Chứng minh. Vì fˆ ∈ S(Zn), chuỗi (2.5) hội tụ tuyệt đối và Op(a)f ∈ C∞(Tn). Ta có thể viết
Op(a)f(x) = X
ξ∈Zn
eixãξa(x, ξ) ˆf(ξ)
= X
ξ∈Zn
Z
Tn
ei(x−y)ãξa(x, ξ)f(y) ˜dy
= X
ξ∈Zn
hξi−2qa(x, ξ) Z
Tn
ei(x−y)ãξ
I − Ly 4π2
q
f(y) ˜dy,
trong đó Ly là Laplace thông thường theo y. Khi đó, nếu ta lấy q ∈ Z+ đủ lớn, chuỗi hội tụ tuyệt đối. Do đó, nếu ta có sự hội tụ fj → f trong C∞(Tn), ta có thể chuyển qua giới hạn qua chuỗi và qua tích phân dựa theo định lý hội tụ bị trội Lebesgue để thấy rằng Op(a)fj → Op(a)f trong C∞(Tn). Mệnh đề được chứng minh.
Chú ý 2.1. Toán tử giả vi phân (Euclide) tương ứng với biểu trưng Euclide hình xuyến b(x, ξ) ∈ Sρ,δm (Tn ×Rn) được cho bởi
b(X, D)f(x) = Z
Rn
Z
Tn
ei(x−y)ãξb(x, ξ)f(y)dydξ.
Chú ý 2.2. Nếu biểu trưnga ∈ Sρ,δ,Nm
1,N2(Tn×Rn)hoặca ∈ Sρ,δ,Nm
1,N2(Tn× Zn) thì lớp các toán tử tương ứng sẽ được ký hiệu bởi OpSρ,δ,Nm
1,N2(Tn× Rn) và OpSρ,δ,Nm 1,N2(Tn ×Zn).
Định lý 2.3. (Đẳng thức giữa các lớp toán tử). Cho 0≤ δ ≤ 1,0<
ρ ≤1 ta có
OpSρ,δm (Tn ×Rn) =OpSρ,δm(Tn×Zn).
Chứng minh. Để chứng minh Định lí 2.3 ta đi chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.2. [Tính tuần hoàn của toán tử] Lấy a = a(x, ξ) ∈ C∞(Rn×Rn) tuần hoàn theo x với mọi ξ ∈ Rn. Giả sử với mọi α, β ∈ Nn0 tồn tại hằng số Cαβ và M(α, β) sao cho ước lượng
|∂xα∂ξβa(x, ξ)| ≤ CαβhξiM(α,β)
xảy ra với mọi x, ξ ∈ Rn. Đặt ˜a = a|Tn×Zn. Khi đó
P ◦ a(X, D)f = ˜a(X, D)◦ Pf (2.7) với mọi f ∈ S(Rn).
Chứng minh Bổ đề 2.2 Lấy f ∈ S(Rn). Khi đó ta có
P(a(X, D)f)(x) = X
k∈Zn
(a(X, D)f)(x+ 2πk)
= X
k∈Zn
Z
Rn
ei(x+2πk)ãξa(x+ 2πk, ξ)(FRnf)(ξ)dξ
= Z
Rn
X
k∈Zn
eikãξ
!
eixãξa(x, ξ)(FRnf)(ξ)dξ
= Z
Rn
δZn(ξ)eixãξa(x, ξ)(FRnf)(ξ)dξ
= X
ξ∈Zn
eixãξa(x, ξ)(FRnf)(ξ)
= X
ξ∈Zn
eixãξa(x, ξ)FTn(Pf)(ξ) = ˜a(X, D)(Pf)(ξ),
trong đó δZn là hàm răng lược Dirac δ. Như thông thường, các tính toán này có thể được căn chỉnh theo nghĩa hàm phân phối. Kết hợp Định lí 2.2 và Bổ đề 2.2 ta có được kết quả Định lí 2.3 .
Ta cũng có thể thu được một dạng của Định lý 2.3 cho các biểu trưng có tính chính quy hữu hạn:
Định lý 2.4. Với 0≤ δ ≤ 1,0< ρ ≤1 ta có
OpSρ,δ,Nm 1,N2(Tn ×Rn) =OpSρ,δ,Nm 1,N2(Tn×Zn).
2.2. Tính Lp bị chặn của toán tử giả vi phân trên xuyến
Để thu được tính Lp(Tn) bị chặn ta sẽ nội suy giữa tính L2 bị chặn và tính L∞−BM O bị chặn. Mệnh đề bên dưới (xem [12], Định lí 4.8.1) không yêu cầu bất kỳ điều kiện chính quy nào của biểu trưng so với kết quả tương tự trên Rn, tác giả đưa ra điều kiện đủ cho tính L2(Tn) bị chặn.
Định lý 2.5. Cho k ∈ N và k > n2. Cho a : Tn ×Zn → C là một biểu trưng thỏa mãn
|∂xβa(x, ξ)| ≤Cβ,|β| ≤ k. (2.8) Khi đó
a(x, D) : L2(Tn) → L2(Tn).
Ngoài ra, tồn tại hằng số C sao cho
ka(x, D)fkL2(Tn) ≤C max{Cβ :|β| ≤k}kfkL2(Tn). (2.9) Chứng minh. Theo Định nghĩa 2.4
A(x, D)f(x) := X
ξ∈Zn
Z
Tn
ei(x−y)ãξa(x, ξ)f(y) ˜dy,
do đó A(x, D)f(x) =Op(a)f(x). Lúc này kOp(a)fk2L2(Tn) =
Z
Tn
|Axf(x)|2dx ≤ Z
Tn
sup
y∈Tn
|Ayf(x)|2dx,
và áp dụng định lý nhúng Sobolev ta được sup
y∈Tn
|Ayf(x)|2 ≤ C X
|α|≤k
Z
Tn
|∂yαAyf(x)|2dy.
Do đó, sử dụng định lý Fubini để đảo thứ tự lấy tích phân, ta thu được kOp(a)fk2L2(Tn) ≤ C X
|α|≤k
Z
Tn
Z
Tn
|∂yαAyf(x)|2dxdy
≤ C X
|α|≤k
sup
y∈Tn
Z
Tn
|∂yαAyf(x)|2dx
= Ck X
|α|≤k
sup
y∈Tn
k∂yαAyfk2L2(Tn)
≤ C X
|α|≤k
sup
y∈Tn
sup
ξ∈Zn
k∂yαa(y, ξ)k2L2(Tn)kfk2L2(Tn),
Suy ra định lí được chứng minh.
Để thu được tính chất bị chặn trong Lp, ta cần một số kiến thức chuẩn bị.
Bổ đề 2.3. Cho b(x, ξ), c(ξ) là các biểu trưng trên Tn×Zn. Khi đó tích b(x, D)c(D) là một toỏn tử cú biểu trưng là b(x, ξ)ãc(ξ).
Chứng minh. Đây là hệ quả trực tiếp của định nghĩa toán tử giả vi phân mà có
FTn(c(D)f)(ξ) = c(ξ)FTn(f)(ξ).
Bổ đề sau là một hệ quả của Định lý 2.5.
Bổ đề 2.4. Cho k ∈ N và k > n2. Cho b : Tn ×Zn → C là một biểu trưng và m ∈ R, nếu tồn tại một hằng số Cβ > 0 sao cho với |β| ≤k
|∂xβb(x, ξ)| ≤ Cβhξin, (2.10) thì
b(x, D)J−m : L2(Tn) →L2(Tn),
trong đó Jm ký hiệu thế vị Bessel với biểu trưng hξim. Ngoài ra tồn tại hằng số C sao cho
kb(x, D)J−mfkL2(Tn) ≤ Cmax
|β|≤k sup
(x,ξ)
|∂xβb(x, ξ)hξi−m|kfkL2(Tn).
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.3 ta thấy rằng biểu trưng của b(x, D)J−m là b(x, ξ)hξi−m, kết luận được suy ra từ Định lý 2.5 vì
|∂xβ(b(x, ξ)hξi−m)| ≤ |∂xβb(x, ξ)|hξi−m ≤ CCβhξimhξi−m, với |β| ≤k. Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 2.5. Cho φ là hàm thuộc C∞(Tn) và b : Tn×Zn →C là một biểu trưng, khi đó giao hoán tử [φ, b(x, D)] là một toán tử giả vi phân với biểu trưng
θ(x, ξ) = X
η∈Zn
eixãηφ(η)[b(x, ξ)ˆ −b(x, ξ+η)].
Chứng minh. Ta đồng nhất φ với toán tử nhân (bởi φ) mà sẽ được ký hiệu bởi Mφ. Khi đó
Mφf(y) =φ(y)f(y) = X
ξ∈Zn
eiξãyφ(y) ˆf(ξ) = Z
Tn
eiξã(y−z)φ(y)f(z) ˜dz.
Bây giờ,
b(x, D)◦Mφf(x)
= Z
Rn
X
η∈Zn
eiξã(x−y)b(x, η)Tφf(y) ˜dy
= Z
Tn
X
ξ∈Zn
Z
Tn
X
η∈Rn
eiξã(x−y)eiξ(y−z)b(x, η)φ(y)f(z) ˜dzdy.˜
Sử dụng đẳng thức
eiξã(x−y)eiξã(y−z) = ei(x−y)ã(η−ξ)ei(x−z)ãξ, ta thu được
b(x, D)◦Mφf(x)
= Z
Tn
X
ξ∈Zn
Z
Tn
X
η∈Rn
ei(x−y)ã(η−ξ)ei(x−z)ãξb(x, η)φ(y)f(z) ˜dzdy.˜
= Z
c(x, ξ)ei(x−z)ãξφ(η)b(x, ξˆ +η).
Do đó, c(x, ξ) là biểu trưng củab(x, D)◦Mφ. Mặt khác biểu trưng của Mφ ◦b(x, D) là φ(x)ãb(x, ξ). Bổ đề được chứng minh
Bổ đề sau được áp dụng để phân tích tính L∞(Tn)−L∞(Tn) bị chặn địa phương.
Bổ đề 2.6. Cho σ là một biểu trưng trên Tn×Zn, nếu η :Z →C là một hàm giá trong R ≤ |z| ≤ 3R với R > 1. Khi đó, với mọi α tồn tại hằng số A và Cαβ sao cho với mọi λ ∈ R, s ∈ N và với mọi (x, ξ) ∈ Tn ×Zn ta có
|∆αξ(σ(x, ξ)η(s|ξ|))| ≤Cαmax
β≤α |∆βξσ(x, ξ)|A|λ|hξiλsλ. (2.11)
Chứng minh.
∆αξ(σ(x, ξ)η(s|ξ|))
= X
β≤α
α β
∆αξσ(x, ξ)
∆α−βξ η(s|ξ|)
= X
β≤α
α β
∆αξσ(x, ξ) X
γ≤α−β
(−1)|α−β−γ|
α−β γ
|η(s|ξ +γ|)|.
Chỳ ý rằng η(s| ã |) cú giỏ trong R ≤ | ã |3R tồn tại hằng số A > 1 sao cho
A−1s−1 ≤ hξi ≤ As−1, nên với mọi λ ∈ R
1 ≤A|λ|hξiλsλ. Do đó
|∆αξ(σ(x, ξ)η(s|ξ|))| ≤Cαmax
β≤α |∆βξσ(x, ξ)|A|λ|hξiλsλ. Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề tiếp theo là dạng tuần hoàn của dạng cổ điển của Charles Fefferman ([7], trang 415). Nó cung cấp tính L∞(Tn) → L∞(Tn) bị chặn địa phương, tính bị chặn này cùng với ứng dụng của phép phân hoạch đơn vị thích hợp là rất cần thiết trong phân tích của chúng ta theo tinh thần của lý thuyết Littlewood-Paley.
Bổ đề 2.7. Cho 0 < ε < 1 và k ∈ N với k > n2, cho a : Tn ×Zn → C là một biểu trưng giá trong |ξ| ≤ 1 hay R ≤ |ξ| ≤ 3R với R > 0 và thỏa mãn ∆αξa(x, ξ) ≤ Cαhξi−n2ε−(1−ε)|α|, với |α| ≤ k. Khi đó, a(x, D) bị chặn
từ L∞(Tn) vào L∞(Tn), ngoài ra tồn tại hằng số C độc lập với a và f sao cho
ka(x, D)fk∞ ≤ CC(a)kfkL∞,
trong đó C(a) = max{C0, Cα : |α| = k}.
của Bổ đề 2.7. Cho biểu trưng a(x, ξ) có giá trong {(x, ξ) ∈ Tn ×Zn/R ≤ |ξ| ≤ 3R},
với R > 1 và thỏa mãn |∆αξa(x, ξ)| ≤ Cαhξi−n2ε−(1−ε)|α|, với |α| ≤ k. Áp dụng Hệ quả 2.1 vào biểu trưng a ta thu được ˜a ∈ S−
n 2
ρ,δ,k,0(Tn ×Rn) sao cho a và a˜ trùng với nhau trên Tn×Zn. Khi đó ˜a có chung giá với a và ta thấy rằng
a(x, D)f(x) = ˜a(x, D)f(x) = Z
Rn
Z
Tn
ei(x−y)ãξa(x, ξ)f˜ (y)dydξ˜
= Z
Tn
FRn˜a(x, y −x)f(y) ˜dy = (FRn˜a(x,ã)∗f)(x).
Ta thu được
|˜a(x, D)f(x)| ≤ kFRn˜a(x,ã)kL1(Rn)kfkL∞(Rn), x ∈ Tn. Ta chỉ cần chứng minh với mọi x ∈ Rn
kFRn˜a(x,ã)kL1 ≤ CC(˜a).
Đặt b = Rε−1. Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwartz ta có Z
|y|<b
|FRn˜a(x, y)|dy ≤Cbn2 Z
|y|<b
|FRn˜a(x, y)|2dy 12
≤Cbn2 Z
|˜a(x, ξ)|2dξ 12
≤CC0bn2 Z
|ξ|≤3R
hξi−nεdξ 12
≤CC0R(ε−1)n2 Z
|ξ|≤3R
hξi−nεdξ 12
≤CC0, với mọi R >1.
Bây giờ, vì k > n2 ta có Z
|y|≥b
|FRn˜a(x, y)|dy ≤Cbn2−k Z
|y|≥b
|y|2k|FRn˜a(x, y)|2dy 12
≤Cbn2−k Z
Rn
|∆kξ˜a(x, y)|2dξ 12
≤C max
|α|=kCαR(ε−1)(n2−k) Z
R≤|xi|
hξi−nε02k(1−ε)
dξ 12
≤C max
|α|=kCαR(ε−1)(n2−k)O(R(1−ε)(n2−k))
≤C max
|α|=kCα. Do đó
kFRn˜a(x,ã)kL1 ≤ CC(˜a), với mọi x ∈ Tn.
Việc chứng minh tương tự cho các biểu trưng với giá có kiểu khác.
Bây giờ ta đã sẵn sàng thiết lập kết quả chính mà có thể coi như sự tổng quát hóa tính bị chặn Fefferman về tính chất bị chặn của toán tử giả vi phân Euclide từ L∞ vào BMO (xem [7]), nhưng cải tiến ước lượng với chỉ số thích hợp trong trường hợp trên hình xuyến.
Định lý 2.6. Cho 0 < ε < 1 và k ∈ N với k > n2, cho a : Tn × Zn → C là một biểu trưng sao cho |∆αξa(x, ξ)| ≤ Cαhξi−n2ε−(1−ε)|α|,
|∂xβa(x, ξ)| ≤ Cβhξin2ε với |α|,|β| ≤ k. Khi đó, a(x, D) bị chặn từ L∞(Tn) vào BM O(Tn). Hơn nữa, tồn tại hằng số C độc lập với a và f sao cho
ka(x, D)fkBM O ≤Cp−
n 2ε
k,k (a)kfkL∞. Ta cần sau cho các biểu trưng có giá trên miền |ξ| > R.
Bổ đề 2.8. Cho 0 < ε < 1 và k ∈ N với k > n2, cho a : Tn × Zn → C là một biểu trưng có giá trong |ξ| > R với |R| > 1 sao cho
|∆αξa(x, ξ)| ≤ Cαhξi−n2ε−(1−ε)|α| và |∂xβa(x, ξ)| ≤ Cβhξin2ε với |α|,|β| ≤ k.
Khi đó, a(x, D) bị chặn từ L∞(Tn) vào BM O(Tn). Ngoài ra tồn tại hằng số C độc lập với a và f sao cho
ka(x, D)fkBM O ≤C max{p−0,0n2ε(a), p−
n 2ε
k,0 (a)}kfkL∞.
Chứng minh. Ta bắt đầu bằng việc xét hàm φ trên Tn, với 0 ≤ φ ≤ 10, φ ≥ 1 trên B(x0, r) ⊂ Tn và biến đổi Fourier φˆ kiểm tra supp( ˆφ) ⊂ {ξ ∈ Zn : |ξ| ≤ (C−1r)1−ε1 }. Ta viết
φ(x)a(x, D)f(x) =a(x, D)(φf)(x) + [φ, a(x, D)]f(x) = I +II. (2.12) Để giải I ta xét thế vị Bessel Jm, khi đó J−m : H−m(Tn) → L2(Tn) là đẳng cấu. Ta tách
a(x, D)(φf) = (a(x, D)ãjm)(J−m ã(φf)). (2.13) Bõy giờ, vỡ biểu trưng của a(x, D)ãJm thỏa món giả thiết của Bổ đề 2.4 với m = n2ε, nên tồn tại hằng số C > 0
ka(x, D)(φf)k2L2 ≤ CMa2 ã kJ−m(φf)k2L2, (2.14)
trong đó Ma = max
|β|≤k sup
(x,ξ)
|∂xβa(x, ξ)hξim|.
Bây giờ
kJ−m(φf)k2L2 = kφfk2H−m,
vì thế vị Bessel J−m là toán tử dương (bảo toàn tính dương của hàm số) và một phép nhân với biểu trưng J(ξ) =hξi−m, ta thu được
kJ−m(φf)k2L2 ≤ kfk2L∞kJ−m(φf)k2L2 ≤ C1kfk2L∞kφk2H−m
≤C1kfk2L∞(C−1r)n ≤ Ckfk2L∞|B(x0, r)|.
Do đó
ka(x, D)(φf)k2L2 ≤CMaαkfk2L∞|B(x0, r)|. (2.15) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwartz, ta có
1
|B(x0, δ)|
Z
B
|a(x, D)(φf)(x)|dx ≤ 1
|B|
Z
B
|a(x, D)(φf)(x)|2dx 12
≤ CMakfkL∞ (2.16)
Điều này chứng minh ước lượng của I.
Theo Bổ đề 2.5 giao hoán tử [φ, a(x, D)] xuất hiện trong II là toán tử giả vi phân θ(x, D) với dấu hiệu
θ(x, D) = X
η∈Zn
eixãθφ(ηˆ )[a(x, ξ)−a(x, ξ +η)].
Ta viết
θ(x, ξ) =
∞
X
j=0
θj(x, ξ), với θj(x, ξ) có giá thuộc |ξ| ∼ 2jr−1. Bây giờ
θ(x, ξ) = X
|η|≤(C−1r)2(ε−1)
eixãθφ(η)[a(x, ξ)ˆ −a(x, ξ +η)].
Do đó theo Bổ đề 2.7 ta thu được k[φ, a(x, D)f]kL∞ ≤
∞
X
j=0
kθj(x, D)fkL∞ ≤
∞
X
j=0
C2−j2C(a)kfkL∞
≤ CC(a)kfkL∞, (2.17)
trong đó C(a) như trong Bổ đề 2.7.
Bởi vì φ ≥1 trên B(x0, r), sử dụng (2.16) và (2.17) trong (2.12) ta có 1
|B(x0, r)|
Z
B
|a(x, D)f(x)|dx ≤ 1
|B(x0, r)|
Z
B
|φ(x)ãa(x, D)f(x)|dx
≤ CC(a)kfkL∞.
Chứng minh. (Chứng minh Định lý 2.6). Lấy f ∈ L∞(Tn), x0 ∈ Tn, và B = B(x0, r) ⊂ Tn. Ta sẽ chứng minh tồn tại một số nguyên j và hằng số C > 0 độc lập với f và B sao cho
1
|B(x0, δ)|
Z
B
|σ(x, D)f(x)−gB|dx ≤ Ckσkj;Shh()kfkL∞, (2.18) trong đó ta ký hiệu g = σ(x, D)f.
Ta tách σ(x, ξ) thành hai phần, σ = σ0 + σ1, với σ0 có giá trong
|ξ| ≤ 2r−1, σ1 có giá trong |ξ| ≥ 12r−1. Ta có thể thu được phép tách này bằng cách sau. Đặt β = 1A là hàm đặc trưng của A = {z ∈ Z : |z| ≤ 1}
và khi đó
σ0(x, ξ) = σ(x, ξ)β(r|ξ|), và đặt σ1 = σ −σ0.
Để thu được (2.18) ta chỉ cần xét σ0, ước lượng tương ứng cho σ−1 là
hệ quả của Bổ đề 2.8. Ta có thể viết
∂xkσ0(x, D)f(x) =σx0(x, D)f(x),
trong đó σx0 là biểu trưng
σx0(x, ξ) = ∂xkσ0(x, ξ) +iξkσ0(x, ξ).
Ta sẽ sử dụng phân hoạch của đơn vị để nghiên cứu σx0 σx0(x, ξ) =
∞
X
j=1
ρj(x, ξ),
với ρj có có giá trong |xi| ∼ 2−jr−1. Phép phân hoạch của đơn vị như thế này thu được từ hàm η : R→ R xác định bởi
η(s) =
0, nếu |s| ≤ 1 1, nếu |s| ≥ 2.
Đặt ρ(s) = η(s) − η(2−1s). Khi đó suppρ = {1 ≤ |s| ≤ 4}. Ta có thể kiểm tra rằng
1 = η(s) +
∞
X
j=1
ρ(2js), s ∈ R.
Bây giờ, đặt s = r|ξ| thì
1 = η(r|ξ|) +
∞
X
j=1
ρ(r2j|ξ|).
Giá của η là {|s| > 1} và r|ξ| ≤ 1, ta thu được 1 =
∞
X
j=1
ρ(r2j|ξ|)
với {|ξ| ≤r−1}.
Vì suppσ0 = suppσ0 ta có σx0(x, ξ) =
∞
X
j=0
ρ(r2j|ξ|)ãσ0x(x, ξ).
Khi đó ta có thể chọn
ρj(x, ξ) = ρ(r2j|ξ|)ãσx0(x, ξ).
Ta sẽ áp dụng Bổ đề 2.7 cho mỗi số hạng ρj(x, ξ) và đối với ước lượng đạo hàm của Bổ đề 2.6, vì σx0 = ∂xkσ0 + iξσ0 đầu tiên ta xét ∂xkσ0 và chọn λ = −1 ta thu được
|∆αξ(∂xkσ0(x, ξ)ρ(r2j|ξ|))| ≤ Cαmax
β≤α |∆βξ∂xkσ0(x, ξ)|A|λ|hξiλ(r2j)λ
≤ Cαmax
β≤αhξi−n2ε−(1−ε)|β|hξiAhξi−1(r2j)λ
≤ Cαmax
β≤αhξi−n2ε−(1−ε)|β|r−12−j. Do đó tồn tại một hằng số C thỏa mãn
k∂xkσ0(x, D)fkL∞ ≤
∞
X
j=0
kρj(x, D)fkL∞ ≤Cr−1
∞
X
j=0
2−jkfkL∞
≤ Cr−1kfkL∞.
Bây giờ, theo định lý giá trị trung bình ta có
|σ0(x, D)f(x)−gB| ≤ CkfkL∞. Vì vậy
1
|B(x0, r)|
Z
B
|σ0(x, D)f(x)−gB|dx ≤ Ckσkl;SkfkL∞. (2.19) Điều này chứng minh (2.18) cho σ0.
Phép nội suy giữa ước lượng L2(Tn) và ước lượng BM O(Tn) cho phép ta thu được tính Lp(Tn) bị chặn sau.
Định lý 2.7. Cho 0 < ε <1 và k ∈ N với k > n2, cho a : Tn×Zn → C là một biểu trưng thỏa mãn |∆αξa(x, ξ)| ≤ Cαhξi−n2ε−(1−ε)|α|, |∂xβa(x, ξ)| ≤ Cβhξi−n2ε, với |α|,|β| ≤ k. Khi đó σ(x, D) là toán tử bị chặn từ Lp(Tn) tới Lp(Tn) với 2≤ p < ∞.
Chứng minh. Tính bị chặn trên L2(Tn) là hệ quả của giả thiết về đạo hàm theo x và Định lý 2.5. Tính bị chặn L∞(Tn) − BM O(Tn) là hệ quả của Định lý 2.6. Định lý được rút ra từ phép nội suy thực (Định lý 1.13).