B. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
II. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ TRONG ĐƯỜNG TRÒN
Phương pháp:
Trước tiên chúng ta thiết lập đơn vị đo góc là độ (Deg) bằng cách ấn:
MODE MODE MODE MODE 1
Việc khai báo các hàm số lượng giác được thực hiện như sau:
Để khai báo sinA (tương tự cosA, tanA), ta ấn:
sin A (tương tự cos A, tan A).
x = 1 x = 1 y = 2
Để khai báo cotanA, ta ấn:
sin A ÷ cos A hoặc 1 ÷ tan A.
Ngoài ra còn có thể sử dụng theo hàm số nghịch đảo.
Để khai báo số đo của góc A có sinA = x (tương tự với cosA, tanA), ta ấn : SHIFT sin−1 x ( tương tự SHIFT cos−1 x, SHIFT tan−1 x) Ví dụ 1: Tính các giá trị sau:
a. sin300. b. cos45 30'0 . c. tan 25 30'48''0 . d. cotan 300. Giải.
Trước tiên chúng ta thiết lập đơn vị đo góc là độ (Deg) bằng cách ấn:
MODE MODE MODE MODE 1 a. Ta ấn:
sin 30 = b. Ta ấn:
cos 45 o,,, 30 o,,, = c. Ta ấn:
tan 25 o,,, 30 o,,, 48 o,,, = d. Ta ấn:
1 ÷ tan 30 o,,, =
Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức:
a. A 4 sin 45= − 2 0+2cos 602 0−3cot an 453 0 b. B tan 45 .cos39 .cot an30= 0 0 0
Giải.
Trước tiên chúng ta thiết lập đơn vị đo góc là độ (Deg) bằng cách ấn:
MODE MODE MODE MODE 1 a. Ta ấn:
4 − ( sin 45 ) x2 + 2 x ( cos 60 ) x2 − 3 x ( 1 ÷ tan 45 ) SHIFT x3 =
b. Ta ấn:
tan 45 x cos 30 ÷ tan 30 =
Ví dụ 3. Tìm góc nhọn x (làm tròn kết quả đến độ), biết:
x = 1 0,700909264
0,477261218
1,732050808
1
1,5
a. cosx = 0,9589; b. cotanx = 3 ; c. sinx = 2 2 Giải.
Trước tiên chúng ta thiết lập đơn vị đo góc là độ (Deg) bằng cách ấn:
MODE MODE MODE MODE 1 a. Ta ấn:
SHIFT cos−1 0,9589 = SHIFT o,,, = Vậy, ta được x≈160 b. Ta ấn:
SHIFT tan−1 1 ab/c 3 = Vậy, ta được x=300
c. Ta ấn:
SHIFT sin−1 ( 2 ÷ 2 ) =
Vậy, ta được x=450 và x=1800 −450 =1350 Ví dụ 4. So sánh :
a. sin200 và sin700 b. cot an20 và cot an37 40'0 Giải.
a. Ta ấn: sin 20 o,,, − sin 70 o,,, = tức là sin200 < sin700.
b. Ta ấn: 1 ÷ tan 2 o,,, − 1 ÷ tan 37 o,,, 40 o,,, = tức là cot an20 > cot an37 40'0 .
Ví dụ 5: Tính giá trị biểu thức sau:
A 2sin x cos2x= + tại x bằng 60 ,45 ,300 0 0. Giải.
Nhập biểu thức A vào máy tính bằng cách ấn :
2 x sin ALPHA X + cos ( 2 x ALPHA X )
Để tính giá trị của biểu thức tại x = 600, ta ấn:
16,4838 1602901.68
30
45
- 0,5976724 45
27,3408476 45
CALC 60 =
Vậy, với x = 600 ta được A≈1,232.
Để tính giá trị của biểu thức tại x = 450, ta ấn:
CALC 45 =
Vậy, với x = 600 ta được A≈1,414.
Để tính giá trị của biểu thức tại x = 300, ta ấn:
CALC 30 =
Vậy, với x = 300 ta được A=1,5. Bài tập luyện tập :
1. Tính các giá trị sau:
a. sin680. b. cos65 39'0 . c. tan 32 10'24''0 . d. cotan 45 13'48''0 . 2. Tìm góc nhọn x (làm tròn kết quả đến độ), biết:
a. sin x 0,3495= . b. cos x 0,5427= c. tan x 1,5142= . d. cotan x 3,163= . 3. Tính giá trị của các biểu thức:
a. A 8 cos 30= − 2 0+2sin 452 0− 3 tan 603 0. b. B (162 11 .sin 80 13 28''2) 3 0 ' 4cos 89 33'18''4 0
= + +5
4. So sánh:
a. sin 320 và sin 650 b. cos290 và cos65 15'0
c. tan 72 39'0 và tan 45 22'30''0 d. tan 72 39'0 và tan 45 22'30''0 Bài toán 3 : Tích vô hướng của hai vectơ.
Phương pháp :
a. Nếu sử dụng hệ thức a.brr= a . b cos(a,b)r r r r
thì chúng ta dùng các phép toán số học thông thường.
b. Nếu biết tọa độ của các vectơ ar và br thì để tính ar.br chúng ta sử dụng toán tử
• trong máy tính bằng cách ấn:
SHIFT VCT > 1 (Dot)
1,23205080
1,41421356
1,5
Ví dụ 1: Cho tam giác đều có cạnh bằng 2
5 và trọng tâm G. Tính các tích vô hướng AB.ACuuur uuur
, AC.CBuuur uuur,AB.AGuuur uuur, GB.GCuuur uuur. Giải.
Gán giá trị 2
5 cho biến nhớ X, ta ấn : 2 ab/c 5SHIFT STO X
Ta lần lượt có:
2 2 0
AB.AC . .cos60 0,8
= 5 5 = uuur uuur
Bằng cách ấn:
ALPHA X x2 x cos 60 = 2 2 0
AC.CB . .cos120 0,8
= 5 5 = − uuur uuur
bằng cách ấn:
X x2 x cos 120 = 2 2 3 0
AB.AG . . cos30 0,08 5 5 3
= =
uuur uuur
bằng cách sửa dòng lệnh trên thành X x2 x cos 30 ÷ 3 =
2 3 2 3 0 2
GB.GC . . . cos120
5 3 5 3 75
= = −
uuur uuur
bằng cách sửa dòng lệnh trên thành X x2 x cos 120 ÷ 3 =
ab/c
Ví dụ 2: Cho ba điểm A(1;1), B(2; 4) và C(10; -2).
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.
b. Tính tích vô hướng BA.BCuuur uuur và cosB.
Giải.
Chúng ta sẽ đặt tương ứng các vectơ BAuuur, CAuuur, BCuuur cho A, B, C.
0,08
- 0,08
0,08
- 0,0266666 −2 75
Ta thực hiện:
MODE MODE MODE 3
Để nhập tọa độ cho vectơ BAuuur ta ấn:
SHIFT VCT 1 1 2 = 1 − 2 = 1 − 4 =
Để nhập tọa độ cho vectơ CAuuur ta ấn:
SHIFT VCT 1 2 2 = 1 − 10 = 1 − ( )− 2 =
Để nhập tọa độ cho vectơ BCuuur ta ấn:
SHIFT VCT 1 3 2 = 10 − 2 = ( )− 2 = − 2 = a. Khi đó, ta có:
BA.CA 0= uuur uuur
BA CA ABC
⇔ ⊥ ⇔ ∆ vuông tại A
bằng cách ấn:
SHIFT VCT 3 1SHIFT VCT > 1 SHIFT VCT 3 2
= b. Ta có:
BA.BC 10= uuur uuur bằng cách ấn:
SHIFT VCT 3 1SHIFT VCT > 1 SHIFT VCT 3 3
= BA.BC
cos B 0,316
BA . BC
= ≈
uuur uuur uuur uuur
bằng cách ấn:
÷ ( SHIFT Abs SHIFT VCT 3 1 x SHIFT VCT 3 3 )
= Bài tập luyện tập:
1. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 1
3 và trọng tâm G. Tính các tích vô hướng AB.ACuuur uuur
, AC.CBuuur uuur, AB.AGuuur uuur, GB.GCuuur uuur,BG.GAuuur uuur 2. Cho tam giác ABC có các cạnh bằng 2, 3, 4.
0
10
0,31622776
Tính AB.ACuuur uuur và AB.BC BC.CA CA.ABuuur uuur uuur uuur uuur uuur+ + . 3. Cho ba điểm A(4; 6), B(1; 4) và C( 7;
3 2 ).
a. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.
b. Tính tích vô hướng BA.BCuuur uuur và cosB.
Bài toán 4: Các hệ thức lượng trong tam giác.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC, biết a= 6,b=2,c= 3 1+ . a. Tính số đo các góc A, B, C của tam giác ABC.
b. Tính diện tích tam giác ABC và đường cao ha của tam giác đó.
Giải.
Gán các giá trị 6, 2, 3 1+ cho các biến nhớ A, B, C của máy, ta ấn:
6 SHIFT STO A 2 SHIFT STO B 1 + 3 SHIFT STO C a. Trong tam giác ABC, ta có:
2 2 2
b c a cos A
2bc
= + −
⇔
2 2 2
1b c a 0
A cos 60
2bc
− + −
= =
bằng cách ấn :
SHIFT cos−1 ( ( ALPHA B x2 + ALPHA C x2 − ALPHA A x2 )
÷ ( 2 x ALPHA B x ALPHA C ) ) =
2 2 2
a c b 2
cos B
2ac 2
= + − =
⇔ B 45= 0 bằng cách ấn :
SHIFT cos−1 ( ( ALPHA A x2 + ALPHA C x2 − ALPHA B x2 )
÷ ( 2 x ALPHA A x ALPHA C ) ) = Mặt khác, trong tam giác ABC, ta có:
1800
A B C+ + = ⇔ =C 1800− − =A B 1050 Bằng cách ấn:
60
45
180 − 60 − 45 = b. Ta có:
1 . .sin 2,366 S= 2a b C ≈
Bằng cách ấn :
1 ab/c 2 x ALPHA A x ALPHA B x sin 105 =
1 2
. 1,932
2 a a
S h a h S
= ⇔ = a ≈
Bằng cách ấn :
x 2 ÷ ALPHA A =
Ví dụ 2: Tính diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh a = 13, b = 14, c = 15.
Giải.
Ta có:
a b c
p 21
2
= + + =
Bằng cách ấn:
( 13 + 14 + 15 ) ÷ 2 = S= p(p a)(p b)(p c) 84− − − = bằng cách ấn:
( 21 x ( 21 − 13 ) x ( 21 − 14 ) x ( 21 − 15 ) )
= S pr r S 4
= ⇔ = =p bằng cách ấn:
÷ 21 =
abc abc
S R 8,125
4R 4S
= ⇔ = =
Bằng cách ấn:
2,36602540
1,931 85165
21
84
4
( 13 x 14 x 15 ) ÷ ( 4 x 84 ) = Bài tập luyện tập:
1. Cho tam giác ABC, biết a = 8, b = 7, c =3.
a. Tính số đo các góc A, B, C của tam giác ABC.
b. Tính diện tích tam giác ABC và đường cao ha của tam giác đó.
c. Lấy điểm D trên cạnh BC sao cho BD = 5. Tính độ dài đoạn thẳng AD.
2. Tính diện tích, bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC có ba cạnh a = 6, b = 7, c = 8.
Bài toán 5: Giải tam giác - Ứng dụng thực tế.
Ví dụ 1: Giải tam giác ABC, biết c = 14, A=60 ,0 B=40 .0 Giải.
Ta lần lượt có:
C = 1800 − − =A B 800 Bằng cách ấn:
180 − 60 − 40 =
sin sin sin
a b c
A= B = C
.sin 12,311 sin
c A
a C
⇒ = ≈
và
.sin 9,138 sin
c B
b= C ≈
bằng cách ấn:
14 x sin 60 ÷ sin 80 =
Tiếp đến dùng con trỏ để sửa dòng lệnh thành:
14 x sin 40 ÷ sin 80 =
Ví dụ2 : Giải tam giác ABC, biết a = 14, b= 10,A=1450. Giải.
Ta lần lượt có :
2 2 2 2 cos
c =a + −b ab C ⇔ c= a2 + −b2 2 .cosab C ≈22,921 bằng cách ấn :
( 14 x2 + 10 x2 − 2 x 14 x 10 x cos 145 ) = SHIFT ST0 C
8.125
80
12,3113933
9,13785102
22,9207890
2 2 2 2 2 2
1 0
b c a b c a
cos A A cos 20 30'
2bc 2bc
+ − − + −
= ⇔ = = ≈
bằng cách ấn :
SHIFT cos−1 ( ( 10 x2 + ALPHA C x2 − 14 x2 )
÷ ( 2 x 10 x ALPHA C ) ) = o,,,
0 0
180 14 30'
B= − − ≈A C Bằng cách ấn :
180 o,,, − 20 o,,, 30 o,,, − 145 o,,, = Bài tập luyện tập:
1. Giải tam giác ABC, biết:
a. a = 137, B=830, C=570 b. b = 4,5 , A=300, C =750 2. Giải tam giác ABC, biết:
a. a = 11, c= 10, B=1050 b. b = 9 , c = 18, A=540 3. Giải tam giác ABC, biết:
a. a = 2, b = 3, c = 4 b.
3 a= 4
, 7 b=4
,
11 c= 4 PHẦN III.