B. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Thiết lập chế độ làm việc chuẩn cho máy tính bằng cách ấn:
MODE 1 Bài toán 1: Dãy số.
Phương pháp
Để thực hiện những đòi hỏi của bài toán về dãy số chúng ta có thể chọn lựa theo 2 cách sau:
Cách 1: Dựa theo công thức của dãy số.
Cách 2: Dựa theo phương pháp lặp, cụ thể chúng ta biết rằng:
n n 1 n
S =S − +u và Pn =P .un 1− n
30 60
từ đó dẫn tới việc sử dụng 4 biến (tối thiểu) A, B, C, D của máy tính để gán cho:
A = 0 : khởi tạo biến đếm ( để biết chúng ta đang xét tới uA) B = 0: khởi tạo giá trị của uA.
C = 0: khởi tạo giá trị của tổng A số hạng đầu tiên.
D = 1: khởi tạo giá trị của tích A số hạnh đầu tiên.
Nhận xét: Cách 2 luôn tỏ ra hiệu quả với những yêu cầu tính tổng, tích của n số hạng đầu tiên của dãy số.
Ví dụ 1: Cho dãy số ( )un với
2 1
2 1
n
u n
n
= +
− . a. Viết 6 số hạng đầu của dãy.
b. Tìm xem 1 2
17 là số hạng thứ mấy của dãy số ? Giải.
Cách 1: Trước tiên, nhập dãy số vào máy:
ALPHA Y ALPHA = ( 2 ALPHA X + 1 ) ÷ ( 2 ALPHA X − 1 )
a. Ta nhận được 6 số hạng đầu của dãy là 3, 12
3 , 1.4, 12
9 , 12
11 bằng cách ấn:
CALC 1 = CALC 2 = ab/c CALC 3 = CALC 4 = ab/c
CALC 5 = ab/c
CALC 6 = ab/c
3 1.66666666 1 2 3 1.4 1.28571428 1 2 7 1.22222222 1 2 9 1.18181818 1 2 11
b. Ta có 9 19 u =17
bằng cách ấn:
SHIFT SOLVE 19 ab/c 17 = SHIFT SOLVE Cách 2: Thực hiện như sau:
Gán A = 0 và B = 0 bằng cách ấn:
0 SHIFT STO A - biến đếm 0 SHIFT STO B - giá trị của uA
Ghi vào máy dòng lệnh A = A + 1:
2 1
2 1
B A A
= +
− bằng cách ấn:
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = ( 2 ALPHA A + 1 ) ÷ ( 2 ALPHA A − 1 )
a. Bắt đầu thực hiện tính bằng cách ấn liên tiếp phím = như sau:
Với u1 thì:
= - tức đang xét u1
= - tức u1 = 3
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u2
= - tức u2 ≈1.667
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u3
= - tức u3 =1.4
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u4
= - tức u4 ≈1.286
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u5
19 17
A = 1 B = 1
B =1.66666 A = 2
B = 1.4 A = 3
B =1.285714 A = 4
A = 5
= - tức u5 ≈1.222
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u6
= - tức u6 ≈1.182
b. Tiếp tục với phím = chúng ta nhận thấy khi A = 9 thì giá trị của 1 2 B= 17
, tức là
9
1 2 u = 17
.
Ví dụ 2: Cho dãy số ( )un với
2 1
2
n
n n
u = −
.
a. Tính giá trị của u2, u4, u8.
b. Tìm xem
2047
n 2048 u =
là số hạng thứ mấy của dãy số ? Giải.
Trước tiên, nhập dãy số vào máy:
ALPHA Y ALPHA = ( 2 ^ ALPHA X − 1 ) ÷ 2 ^ ALPHA X
Ta nhận được 2 3 u = 4
, 4 15 u =16
, 8
255 u =156
bằng cách ấn:
CALC 2 = ab/c
CALC 4 = ab/c
CALC 8 = ab/c
b. Ta có 11
2047 u = 2048
bằng cách ấn:
SHIFT SOLVE 2047 ab/c 2048 = SHIFT B =1.222222
B =1.181818 A = 6
0.75 3 4
15 16 0.9375
255 256 0.99609375
11
Ví dụ 3 : Cho dãy số ( )un với un =3 .nn. Viết 4 số hạng đầu của dãy và tính tổng S4 và tích P4 của 4 số hạng đó.
Giải.
Thực hiện như sau :
Gán A = 0, B = 0, C = 0 và D = 1 bằng cách ấn : 0SHIFT STO A - biến đếm
0SHIFT STO B - giá trị của uA 0SHIFT STO C - giá trị của tổng SA 1SHIFT STO D - giá trị của tích PA
Ghi vào máy dòng lệnh:
1: 3A : :
A A= + B= ×A C C B D D B= + = × bằng cách ấn:
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA :
ALPHA B ALPHA = 3 ^ ALPHA A × ALPHA A ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA B ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA D × ALPHA B
Bắt đầu thực hiện tính bằng cách ấn liên tiếp phím = như sau:
= - tức đang xét u1
= - - tức u1 =3
= - giá trị của S1
= - giá trị của P1
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u2
= - tức u2 =18
= - giá trị của S2
= - giá trị của P2
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u3 A = 1
B = 3 11
C = 3 11 D = 3 11
C = 21 11 D = 54 11
A = 2 B = 18 11
A = 3
= - tức u3 =81
= - giá trị của S3
= - giá trị của P3
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u4
= - tức u4 =324
= - giá trị của S4
= - giá trị của P4
Ví dụ 4: Cho dãy số ( )un thỏa mãn:
1 1
3
2 , 1
n n
u
u + u n
=
= ≥
Viết 4 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S4 và tích P4 của 4 số hạng đó.
Giải.
Thực hiện như sau :
Gán A = 1, B = 3, C = 3 và D = 3 bằng cách ấn : 1SHIFT STO A - biến đếm
3SHIFT STO B - giá trị của uA 3SHIFT STO C - giá trị của tổng SA 3SHIFT STO D - giá trị của tích PA
Ghi vào máy dòng lệnh:
1: 2 : :
A A= + B= ×B C C B D D B= + = × bằng cách ấn:
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA : ALPHA B ALPHA = 2 × ALPHA B ALPHA :
ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA B ALPHA : ALPHA D ALPHA = ALPHA D × ALPHA B
Bắt đầu thực hiện tính bằng cách ấn liên tiếp phím = như sau:
C = 102 11 D = 4374 11
B = 81 11
C = 426 11 D = 417176 11
A = 4 B = 324 11
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u2
= - tức u2 =6
= - giá trị của S2
= - giá trị của P2
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u3
= - tức u3 =12
= - giá trị của S3
= - giá trị của P3
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u4
= - tức u4 =324
= - giá trị của S4
= - giá trị của P4 Ví dụ 5: Cho dãy số ( )un thỏa mãn:
1 2
2 1
3, 2
3 2 , 3
n n n
u u
u u − u − n
= =
= − ≥
Viết 7 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S7 và tích P7 của 7 số hạng đó.
Giải.
Thực hiện như sau :
Gán A = 2, B = 3, X = 2, C = 5 và D = 6 bằng cách ấn : 2SHIFT STO A - biến đếm
3SHIFT STO B - giá trị của u1 2SHIFT STO X - giá trị của u2 5SHIFT STO C - giá trị của tổng SA 6SHIFT STO D - giá trị của tích PA
C = 9 11 D = 18 11
A = 2 B = 6 11
C = 21 11 D = 216 A = 3 B = 12 11
C = 45 11 D = 5184 A = 4 B = 24 11
Ghi vào máy dòng lệnh:
1: 3 2 : : :
A A= + B= × − ×B X C C B D D B= + = ×
1: 3 2 : :
A A= + X = × − ×X B C C X D D X= + = × bằng cách ấn:
ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA :
ALPHA B ALPHA = 3 × ALPHA B − 2× ALPHA X ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA B ALPHA :
ALPHA D ALPHA = ALPHA D × ALPHA B ALPHA : ALPHA A ALPHA = ALPHA A + 1 ALPHA :
ALPHA X ALPHA = 3× ALPHA X − 2× ALPHA B ALPHA : ALPHA C ALPHA = ALPHA C + ALPHA X ALPHA :
ALPHA D ALPHA = ALPHA D × ALPHA X
Bắt đầu thực hiện tính bằng cách ấn liên tiếp phím = như sau:
= - tức đang xét u3
= - tức u3 =5
= - giá trị của S3
= - giá trị của P3
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u4
= - tức u4 = −4
= - giá trị của S4
= - giá trị của P4
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u5
= - tức u5 =23
= - giá trị của S5 C = 10
11 D = 30 A = 3 B = 5 11
C = 6 11 D = -120 A = 4 X = - 4 11
C = 29 11
A = 5 B = 23 11
= - giá trị của P5
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u6
= - tức u6 = −58
= - giá trị của S6
= - giá trị của P6
Ấn tiếp:
= - tức đang xét u7
= - tức u7 =185
= - giá trị của S7
= - giá trị của P7 Bài tập luyện tập:
1. Cho dãy số ( )un với
1
2 1
n
u n
n
= −
− . a.Viết 4 số hạng đầu của dãy.
b. Tìm xem 2
5 là số hạng thứ mấy của dãy số ?
2. Cho dãy số ( )un với 2 1
n 36 u n
n
= −
+ . a.Viết 5 số hạng đầu của dãy.
b. Tìm xem 7
10 là số hạng thứ mấy của dãy số ? 3. Cho dãy số ( )un với un =3.22n−1.
a.Viết 6 số hạng đầu của dãy.
b. Tìm xem 393216 là số hạng thứ mấy của dãy số ? 4. Cho dãy số ( )un thỏa mãn:
1 1
3
2 1, 1
n n
u
u + u n
=
= + ≥
D = -2760
C = -29 11 D =160080 A = 6 X = -58 11
C = 156 11D=29614800 A = 7 B = 185 11
Viết 9 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S9 và tích P9 của 9 số đó.
5. Cho dãy số ( )un thỏa mãn:
1 2
1 2
2, 3
3 2 , 3
n n n
u u
u u − u − n
= =
= − ≥
Viết 8 số hạng đầu của dãy rồi tính tổng S9 và tích P9 của 8 số đó.
Bài toán 2: Cấp số cộng, cấp số nhân
Ví dụ 6: Cho cấp số cộng ( )un thỏa mãn u2 − + =u3 u5 10 và u1+ =u6 17. a. Tìm số hạng đầu và công sai.
b. Tính tổng số của 20 số hạng đầu.
c. Tính tổng S u= + + +5 u6 ... u24. Giải.
a. Gọi d là công sai của cấp số cộng ( )un , ta có:
2 3 5
1 6
10 17
u u u
u u
− + =
+ =
⇔
1 1 1
1 1
( ) ( 2 ) ( 4 ) 10
( 5 ) 17
u d u d u d
u u d
+ − + + + =
+ + =
⇔
1 1
3 10
2 5 17
u d
u d
+ =
+ =
⇔
1 1
3 u d
=
= bằng cách ấn:
MODE MODE MODE 1 2
1 = 3 = 10 = 2 = 5 = 17 = ∇
Vậy, cấp số cộng ( )un có u1=1 và d = 3.
b. Ta có S20 =590 bằng cách ấn:
MODE 1
20 × ( 2× 1 + ( 20 − 1 ) × 3 ) ÷ 2 =
c. Ta có un = +1 3(n−1) do đó sẽ đi tính u3 và u24 rồi áp dụng công thức tính tổng thứ 2 để nhận được S20 =847như sau:
x = 1 11 y = 3
11
590 11
1 + 3 × ( ALPHA X − 1 ) CALC 3 =
CALC 24 =
22 × ( 7 + 70 ) ÷ 2 =
Ví dụ 7: Cho cấp số nhân ( )un thỏa mãn u4 − =u2 72 và u5 − =u3 144. a. Tìm số hạng đầu và công bội.
b. Tính tổng số của 10 số hạng đầu.
c. Tính tổng S'= + + +u3 u6 ... u12. Giải.
a. Gọi q là công bội của cấp số nhân ( )un , ta có:
4 2
5 3
72 144
u u
u u
− =
− =
⇔
3
1 1
4 2
1 1
. . 72
. . 144
u q u q u q u q
− =
− =
⇔
3 1
4 2
1
.( ) 72
.( ) 144
u q q
u q q
− =
− =
⇒
3
4 2
1 2
q q
q − =q
− ⇔ q = 2 ⇒ u1 =12. Vậy, cấp số nhân ( )un có u1=12 và q = 2.
b. Ta có:
10 10
20 1 2 10 1
1 2 1
... . 12. 12276
1 2 1
S u u u u q
q
− −
= + + + = = =
− −
bằng cách ấn:
12 × ( 2 ^ 10 − 1 ) ÷ ( 2 − 1 ) = c. Ta có:
3 6 12
' ...
S = + + +u u u =
10 10
2 3
1 2 1
. 12.2 49104
1 2 1
u q q
− = − =
− −
Bằng cách ấn:
12 × 2 x2 × ( 2 ^ 10 − 1 ) ÷ ( 2 − 1 ) = Bài tập luyện tập:
1. Cho cấp số cộng ( )un thỏa mãn u2 − + =u3 u5 10 và u4 + =u6 26. 7 11 70 847 11 11
12276
49104
a.Tìm số hạng đầu và công sai.
b.Tính tổng số của 20 số hạng đầu.
c.Tính tổng S'= + + +u4 u6 ... u44.
2. Cho cấp số nhân ( )un thỏa mãn u4 − =u2 12 và u5 − =u3 24. a.Tìm số hạng đầu và công bội.
b.Tính tổng số của 10 số hạng đầu.
c.Tính tổng S'= + + +u3 u6 ... u12.