Chương II. MÃ HOÁ BĂNG CON VÀ LÝ THUYẾT WAVELET
2.4. XÂY DỰNG WAVELET BẰNG PHÂN TÍCH ĐA PHÂN GIẢI
2.4.2. Các tiền đề của phân tích đa phân giải (MRA)
Kỹ thuật phân giải trực giao phân tích một tín hiệu sai hành các thành phần tỷ lệ tần số khác nhau 2m (với m nguyên). Tương ứng với mỗi tỷ lệ (dải tần) là một khoảng không gian con kín Vm, m ∈ Z, các không gian còn này là các hàm thời gian thoả mãn các tiền đề sau:
1. Tính bao hàm (containment)
Kết hợp với tình toàn vẹn (completeness) và tính rỗng (emptiness)
Mỗi không gian con tỷ lệ Vm được chứa trong không gian con kề cận Vm-1. Nghĩa là nếu một hàm ở trong không gian con đó thì nó cũng ở trong ở trong tất cả các không gian con mức cao hơn. Các không gian con này bắt đầu với không gian rỗng {0} và khai triển thao tỷ lệ 2 để đạt tới không gian của tất cả các hàm khả tích bình phương L2(R).
Tính rỗng nghĩa là ||fm(t)||→ 0 khi m → +∞ và tính toàn vẹn nghĩa là fm(t) → f(t) khi m → -∞.
{0} → … Vm ⊂Vm-1 ⊂...⊂V0 ⊂ V-1 ⊂ V-2 ⊂... → L2(R).
Một hàm f(t) nghĩa trong không gian toàn vẹn sẽ có một ảnh fm(t) trong mỗi không gian con Vm. Đây chính là chiếu của f(t) lên không gian con Vm:
Các hàm eikl trực giao nhau nên năng lượng trong (fm(t) bằng ∑
≥m k
ck
|
|
|2
| một tổng trong miền tần số thấp trong miền tần số thấp |k| ≥ m, và năng lượng trong f(t) - fm(t) bằng một tổng trấn miền tần số cao |k| < m, nó sẽ bằng 0 khi m →∞ . Vì vậy chuỗi Vm
trọn vẹn trong toàn bộ không gian L2 (R) tuần hoàn 2π.
Tiếp theo xác định họ không gian con thứ hai là không gian Wavelet Wm chứa chi tiết tại mức m: ∆fm(t) = fm-1(t) - fm (t). Nếu xét về khía cạnh không gian thì:
Khi trong đó mỗi hàm trong Vm-1 là tổng của 2 thành phần trực giao fm(t) trong Vm
và Wm. Khai triển công thức cho đến giá trị tối đa m = M, ta có:
Và đối với hàm trong các không gian con đó, phương trình trở thành:
FM(t) = ∆FM(t) - ∆ FM-1(t)+…+ ∆ Fm(t) = ∆Fm-1(t) Ta rút ra được nhận xét quan trọng:
- Không gian Wm là hiệu số giữa các không gian Vm
- Không gian Vm chính là tổng của các Wm.
- Từ tính trực giao của mỗi mảnh fm(t) với chi tiết ∆fm(t) dẫn đến những không gian con này là trực giao nhau. Nếu Wm trực giao với Vm thì Wm sẽ tự động trực giao với tất cả Vk (k > m). Điều kiện toàn vẹn có thể được phát triển lại như sau:
Tuy nhiên điều kiện trực giao là không cần thiết, Giả sử với một cơ sở không trực giao binh) thì ta vẫn có được không gian con Vm-1 là tổng trực tiếp của Vm và Wm giao nhau tại véc tơ không và khi đó góc giữa các không gian nhỏ hơn 900.
Hình 2.14: Phổ của các không gian con 2. Tính bất biến tỷ lệ
2.8
Hình 2.15: Tính bất biến tỷ lệ của hàm hằng từng mẫu f(t)
Nếu một hàm f(t) nằm trong không gian con Vm thì f(2t) nằm trong không gian Vm- 1. Điều này xuất phát từ điều kiện giãn: Vm-1 chứa tất cả các hàm tỷ lệ trong Vm. Đồ thị của f(2t) thay đổi nhanh gấp 2 lần so với đồ thị của f(t). Ví dụ minh hoạ điều kiện giãn của một hàm hằng mẫu f(t) trên hình 2.15.
3. Tính bất biến dịch chuyển.
F(t) ∈Vm ⇔f(t – n) ∈Vm
(2.9)
Là yêu cầu cơ bản về tính bất biến thời gian trong xử lý tín hiệu. Gọi f(t) nằm trong V1 thì f(2t) và cả f(2t-n) cũng nằm trong V0 (với n ∈ Z). Đây chính là tính bất biến dịch chuyển của các không gian con, nghĩa là các hàm trong các không gian con đó không thay đổi trên từng khoảng tịnh tiến. Nhờ sự dịch chuyển mà ta có thể làm việc trên toàn bộ trục thời gian -∞ < t < + ∞.
4. Sự tồn tại của các hàm tỷ lệ trực chuẩn
Yêu cầu tồn tại một hàm tỷ lệ φ(t) ∈ V0, nó thuộc tập
(2.10)
Là một hàm cơ sở trực chuẩn để bao không gian Vm. Ví dụ gọi Vm là không gian con của các hàm hằng từng mẫu, khi đó hàm tỷ lề có dạng.
Hình 2.16.Các hàm cơ sở trực chuẩn
Từ đồ thị ta dễ dàng thấy hàm φmn(t) hình thành nên một cơ sở trực chuẩn trong không gian con Vm để cho ∫φmn(t)φmk(t) = δn-k
lại một cách chính xác như là một tổ hợp tuyến tính của φmn(t).
5. V0 có một cơ sở ổn định (cơ sở Riesz)
Điều kiện 4 và 5 có thể hoán đổi cho nhau. Một cơ sở ổn định có thể được trực giao hoá trong một đoạn có sự dịch chuyển bất biến. Ta định nghĩa: ổn định = Riesz = độc lập đồng dạng. Thực tế, ta chọn một cơ sở thích hợp, trực giao hoặc không. Khi đó Vm có một cơ sở φmn(t) = 2−m2φ(2−mt−m) và f (t) a mn(t).
mn
m =∑∞ φ
Trong trường hợp trực giao năng lượng của mảnh này là:
Nhận xét
- Nếu chúng ta ký hiệu ProjVm[f(t)] là hình chiếu trực giao của f(t) lên Vm thì (4.6) có thể được phát biểu lại như sau: ProjVm[ ]f( )t f(t).
limn→−∞ = .
- Khái niệm đa phân giải có hiệu lực chỉ với (4.8) vì tất cả các không gian đều là bản ảnh tỷ lệ của không gian trung tâm V0.
- Hàm φ(t) trong (2.10) được gọi là hàm tỷ lệ
- Khi dùng công thức Poisson, tính trực giao trong (2.10) của
⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ (t)=2−2 (2mt−n)
m
mn φ
φ là một cơ sở của khả năng V-m, nó chỉ thu được nếu sử dụng các điều kiện (2.5 - 2.10).
- Tính trực giao của φ(t) là không cần thiết vì một cơ sở không trực giao (với tính chất dịch) luôn luôn có thể được trực giao hoá.