Chương III. LỌC SỐ NHIỀU NHỊP
3.2. THAY ĐỔI NHỊP LẤY MẪU
3.2.2. PHÉP PHÂN CHIA THEO HỆ SỐ M
giả sử ta có bộ phân chia theo
Ta thấy rằng tần số lấy mẫu Fs Của tín hiệu rời rạc xâu sau khi đi qua bộ phân chia này sẽ bị giảm đi M lần, tức là:
Để hiểu rõ bản chất của quá trình phân chia này ta sẽ biểu diễn dãy vào và dãy ra của bộ phân chia này ở dạng không chuẩn hóa như trên hình 9.2.2.2 (chuẩn hóa ở đây được hiểu là chuẩn hóa bởi chu kỳ lấy mẫu).
nM: số nguyên Hình 3.2.2.2
Như vậy tín hiệu rời rạc trước khi vào bộ phân chia là x (n Ts ) và Sau khi ra khỏi bộ phân chia là x(n Ts).
Ví dụ 3.2.2.1: Cho tín hiệu rời rạc sau đây
Hãy vẽ xâu bằng đồ thị dưới dạng không chuẩn hoá (theo chu kỳ lấy mẫu ) và chuẩn hoá trước khi vào và sau khi ra khỏi bộ phận chia theo hệ số M = 2.
Giải
Lời giải được cho trên hình 3.2.2.3
chưa chuẩn hóa chuẩn hóa
- T’s 0 T’s 4T’s nT’s -1 0 12 3 4 5 (a) ra không chuẩn hoá
(b) tín hiệu vào không chuẩn
(c) tín hiệu vào chuẩn hoá theo chu kỳ lấy mẫu Ts
(d) tín hiệu tín hiệu ra chuẩn hoá theo chu kỳ lấy mẫu T’s = M Ts
Hình 3.2.2.3
Chú ý:
- Ta thấy rằng tín hiệu ra y↓ M(n) chỉ lấy các giá trị của tín hiệu vào x(n) ở các mẫu nM, bởi vì tần số lấy mẫu bị giảm đi M lần sau khi tín hiệu đi qua bộ phân chia theo hệ số M.
- Chiều dài của x(n) bị co lại M lần, tức là L[x(n)]/L[y↓ M (n)] =M b) Biểu diễn phép phân chia trong miền z.
Chúng ta có thể biểu diễn quá trình phân chia bằng bộ phân chia trong miền z như sơ đồ trên hình 3.2.2.4
Hình 3.2.2.4 Ta biết rằng trong miền biến số độc lập ta có:
Ta đã biết rằng dãy p(m) được định nghĩa như sau:
hoặc có thể viết dưới dạng sau đây:
Ví dụ 3.2.2.2
Một tín hiệu x(n) có biến đổi z là X(z) đi qua bộ phân chia với hệ số M = 2, ở đầu ra của bộ phân chia này ta thu được Y↓ 2(z). Hãy tìm quan hệ giữa X(z) và Y↓ 2(z) nếu xâu có dạng sau đây:
c. Biểu diễn phép phân chia trong miền tần số.
Biểu diễn phép phân chia trong miền tần số chính la việc tìm quan hệ giữa:
Y↓ (ejω) = FT[y↓M(n)]
Và:
X(ejω) = FT[x(n)] ( ) Nếu ta đánh giá trị Y↓ M(z) là X(z) trên vòng tròn đơn vị của mặt phẳng z thì ta sẽ tìm được quan hệ giữa Y↓ M(ejω) và X(ejω), tức là:
Ví dụ 3.2.2.3
Cho tín hiệu rời rạc x(n) được lấy mẫu từ một tín hiệu tương tự xa(t) tần số lấy mẫu băng tần số Nyquist FNy, x(n) có phổ là X(ejω) cho trên hình (3.2.2.5)
Hình 3.2.2.5
Tín hiệu này dược truyền qua một bộ phân chia có hệ số M = 2 và ở đầu ra ta thu được Y ↓ (n). Hãy vẽ phổ của Y↓ 2(n), tức là vẽ Y ↓2 (ejω) theo phổ của X(ejω)
Giải
Thay M= 2 vào biểu thức (3.2.2.7) ta có:
Như vậy phổ Y ↓2(ejω) sẽ là sự xếp chồng phổ của hai thành phần trên kết quả được minh họa như trên hình 3.2.2.6
Hình 3.2.2.6 Nhận xét:
+ Thành phần với L=0 X ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ M jw
e chính là bản ảnh version giãn rộng M lần của X(ejω)
+ M- 1 thành phần với 1 ≤ l ≤ M - 1 X ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
M i jw
e
π 2
là bản ảnh trễ đồng dạng của bản ảnh rộng X ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ M jw
e .
+ Y↓2(ejω) cũng có chu kì là 2π theo ω, là kết quả tổ hợp của M thành phần, bởi vì thực chất nó là tổ hợp biến đổi Fourier của các dãy hợp lại.
+Từ ví dụ với M = 2 ở trên ta thấy rằng thành phần với L = 0 X ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ 2 jw
e là bản ảnh
giãn rộng 2 lần của X(ejω) tức là bề rộng phổ lớn hơn 2 lần nhưng bản thân X ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ 2 jw
e không gây chồng phổ. Nhưng vì còn thành phần L= 1 X ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−ejw2 là bản ảnh trễ đồng dạng
với X ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ 2 jw
e . Chính thành phần l=l sẽ xắp sếp chồng với thành phần l=0 gây hiện tượng chồng phổ và như vậy hiện tượng này sẽ làm mất thông tin chứa trong xâu khi đi qua bộ phân chia.
- Vì lý do làm hư thông tin nên thành phần với 1 ≤ l ≤ M - 1 được gọi là thành phần
hư danh (aliaing).
- Nhưng thành phần hư danh (với 1 ≤ l ≤ M - 1) này cũng có thể không gây hiện tượng chồng phổ nếu tín hiệu vào bộ phân chia xâu có dải tần hữu hạn là
M M
ω π π < <
− .
Tức là xâu được lấy mẫu với tần số lấy mẫu Fs gấp M lần tần số Nyquist (Fs = MF Ny) từ một tín hiệu tương tự xa (t) có bề rộng phổ hữu hạn Fa (FNy= 2 Fa ) tức là Fs = 2MFa (Xem ví dụ 3.2.2.4 )
- Vậy một logic đơn giản là nếu tăng tần số lấy mẫu lên M lần, tức là ta cho xa(t) qua bộ lấy mẫu với Fs = MFNy sau đó ta lại cho qua bộ phân chia hệ số M tức là giảm đi M lần thì ta thu được kết quả như cho xa(t) qua bộ lấy mẫu với Fs = FNy như hình 3.2.2.7
Hình 3.2.2.7
- Phép phân chia làm x(n) co hẹp trong miền thời gian (nếu n la thời gian) thì sẽ dẫn đến hiện tượng giãn rộng trong miền tần số.
Ví dụ 3.2.2.4
Một tín hiệu tương tự xa(t) đi qua bộ lấy mẫu với tần số Fs = 2 FNy = 4 Fa (Fa: bề rộng của phổ xa (t) ta có xâu, xa (t) có phổ là xa (ωa ), x(n) có phổ là X(ejω), x(n) đi qua bộ phân chia với hệ số M = 2 và ở đầu rất a thu được y↓ (n) có phổ là Y↓2(ejω). Hãy tìm quan hệ giữa xa (ωa ), X(ejω) và Y↓2(ejω) bằng đồ thị.
Giải
Kết quả cho trên hình 3.2.2.8
Hình 3.2.2.8 Nhận xét
Từ ví dụ 3.2.2.4 ta thấy rằng phần hư danh X ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−ejw2 (aliasin) tuy có xuất hiện nhưng không gây hiện tượng chồng phổ. Vì vậy nó không làm hư tín hiệu của chúng ta.