7. Cấu trúc của luận án
1.3 Lý thuyết trường trung bình
1.3.4 Trong giới hạn nhiệt độ không
Khi T→0 thì n+→0,n−→θ(E∗
F−E∗)≡θ(pF−p), trong đóθ là hàm bậc thang Heaviside, EF∗=à∗=p
p2F+m∗2 là năng lượng Fermi (năng lượng của một nucleon ở tại mặt Fermi), với pF là xung lượng Fermi. Khi đó các phương trình (1.124), (1.126), (1.130) và (1.134) trở thành
ρB = Nf p3F
3π2 . (1.136)
ρS = Nf π2
Z pF
0
m∗ E∗
F
p2dp,
= m∗ π2
pFEF∗ −m∗2lnpF +E∗
F
m∗
. (1.137)
P = gω2 2m2ωρ2
B − gσ2 2m2σρ2
S+Nf π2
Z pF
0
E∗
F p2dp,
= g2ω
2m2ωρ2B − g2σ
2m2σρ2S + Nf 8π2
2p2
F
3 −m∗2
pFEF∗ +m∗4lnpF +E∗
F
m∗
. (1.138)
E = gω2 2m2ωρ2
B+ gσ2 2m2σρ2
S+Nf π2
Z pF
0
E∗
F p2dp,
= g2ω 2m2ωρ2
B+ gσ2 2m2σρ2
S+Nf 8π2
2p2
F +m∗2 pFE∗
F −m∗4lnpF +E∗
F
m∗
. (1.139) Các giá trị hằng số liên kết của mô hình được xác định từ điều kiện bão hòa của vật chất hạt nhân, đó là năng lượng liên kết (năng lượng trên một nucleon) đạt giá trị cực tiểu tại mật độ bão hòa hữu hạn Ebinρ0 ' −16MeV/hạt, trong đó
Ebin= E
ρB −m, (1.140)
với Ebin và ρ0 là các số liệu thu được từ thực nghiệm. Đây là một đặc điểm cơ bản của chất hạt nhân, phản ánh các tính chất của lực hạt nhân, đặc điểm này phải được tái hiện lại ở bất kỳ một mô hình nào mang ý nghĩa vật lý đầy đủ. Nó nói nên rằng, nếu ta tăng dần các nucleon thành một hệ lớn các nucleon, thì tới một lúc nào đó mật độ nucleon sẽ xê dịch xung quanh một hằng số, bởi vì tồn tại một khoảng cách thích hợp giữa các nucleon mà ứng với khoảng cách đó năng lượng là cực tiểu.
Các biểu thức áp suất (1.138) và mật độ năng lượng (1.139) được viết lại theo mật độ baryon và mật độ vô hướng như sau
P = gω2
2m2ωρ2B − gσ2
2m2σρ2S + Nf
8 EF∗ρB − Nf
8 m∗ρS. (1.141) E = g2ω
2m2ωρ2
B + g2σ 2m2σρ2
S+ 3Nf 8 E∗
FρB +Nf
8 m∗ρS. (1.142) Ta có
ρ2
B
∂(E/ρB)
∂ρB =ρ2
B
1 ρB
∂E
∂ρB − E ρ2
B
, (1.143)
trong đó
∂E
∂ρB = gω2
m2ωρB +gσ2m∗ m2σE∗
F
ρS +EF∗. (1.144)
Biểu thức tường minh ρ2B∂(E/ρB)
∂ρB = gω2
2m2ωρ2B − gσ2
2m2σρ2S +Nf
8 EF∗ρB − Nf
8 m∗ρS+ gσ2m∗ m2σE∗
F
ρBρS.
(1.145)
Từ (1.141), (1.145) và bỏ qua số hạng pha trộn giữa mật độ baryon và mật độ các hạt meson vô hướng ở vế phải của (1.145), chúng ta thu được
P =ρ2
B
∂(E/ρB)
∂ρB . (1.146)
Như vậy, khi E/ρB là hàm của ρB thì áp suất của hệ bằng không tại cực tiểu của hàm đó. Nếu ρB tăng màE/ρB giảm nghĩa là hàm nghịch biến, thì đạo hàm của nó âm nghĩa là P < 0. Nếu ρB tăng mà E/ρB cũng tăng nghĩa là hàm đồng biến, thì đạo hàm của nó dương nghĩa là P >0.
Trong giới hạn chất hạt nhân đối xứng vô hạn và bỏ qua lực tương tác Coulomb, tại mật độ bão hòa ρ0 chất hạt nhân tự liên kết, nghĩa là nó bền tại P = 0. Cực tiểu của năng lượng liên kết phân cách trạng thái bền với P >0 ra khỏi trạng thái không bền với P < 0. Có những trạng thái ứng với ρB rất nhỏ, khi ρB tăng thì E cũng tăng, dẫn đến P >0. Với những trạng thái đó, khoảng cách giữa các nucleon còn khá lớn, có thể bỏ qua lực tương tác giữa chúng, khi đó sự tăng năng lượng đồng nghĩa với sự tăng động năng.
Trong nghiên cứu các sao compact, trạng thái tự liên kết của chất hạt nhân có thể tồn tại ở bề mặt các sao, tại đóP = 0. Bên trong của các sao, áp suất gây ra bởi lực hấp dẫn nén vật chất tới mật độ cao hơn ρ0. Vật chất bị nén ở bên trong ngôi sao tự nó có áp suất dương để cân bằng với áp suất của lực hấp dẫn. Đây chính là lý do để chúng ta nói rằng, kết quả khảo sát ứng với miền có mật độ cao có liên quan tới các ứng dụng trong vật lý học thiên thể. Người ta cũng đã nghiên cứu một cách khái quát và chỉ ra rằng, ở mật độ cao, phép ngoại suy không còn được sử dụng và vì vậy mô hình Walecka với dạng thức đơn giản như trên chưa được ứng dụng để nghiên cứu hệ vật chất có mật độ lớn hơn nhiều so với ρ0. Mô hình phải được cải tiến để có thể sử dụng trong nghiên cứu hệ vật chất ở các trạng thái có mật độ cao và phải được hoàn thiện bằng tác động qua lại với các quan sát thực nghiệm, chẳng hạn như các dữ liệu trong vật lý học thiên thể.
Để đặc trưng cho độ cứng của vật chất, người ta đưa vào hệ số không chịu nén K của chất hạt nhân, nó được sinh ra từ khai triển Taylor của năng lượng liên kết
xung quanh điểm bão hòa như sau Ebin = (Ebin)ρ
B=ρ0 +L 3
ρB −ρ0 ρ0
+ K
18
ρB −ρ0 ρ0
2
+..., (1.147) trong đó L là độ dốc của năng lượng liên kết tại mật độ bão hòa
L= 3ρ0
∂(E/ρB)
∂ρB
ρB=ρ0
, (1.148)
K là độ cong của năng lượng liên kết tại mật độ bão hòa và là hệ số không chịu nén của chất hạt nhân
K = (3ρ0)2
∂2(E/ρB)
∂ρ2
B
ρB=ρ0
, (1.149)
đại lượng này là thước đo độ cứng của chất hạt nhân, hệ số K lớn tương ứng với vật chất cứng. Từ (1.146), (1.149) và sử dụng tính chất áp suất bằng không tại mật độ bão hòa Pρ0 = 0, ta thấy K chính là độ dốc của áp suất tại mật độ bão hòa
K = 9∂P
∂ρB ρB=ρ0
. (1.150)
Hệ số nén κ của chất hạt nhân được định nghĩa 1
κ =ρB ∂P
∂ρB ρB=ρ0
. (1.151)
Nó chỉ ra rằng, ứng với một ρB nào đó, khi ∂P/∂ρB nhỏ thì κ tương ứng là lớn.
Nghĩa là vật chất được gọi là mềm, có thể nén được dễ dàng khi áp suất chỉ thay đổi nhỏ theo sự thay đổi của mật độ.
Kết hợp (1.150) và (1.151), ta thu được biểu thức biểu diễn mối liên hệ giữa hệ số không chịu nénK và hệ số nén κ như sau
1 κ = ρB
9 K. (1.152)
Biểu thức này cho thấy, với một hệ có mật độρB xác định, nếu hệ số nén κlớn, thì hệ số không chịu nén K nhỏ và ngược lại.