CHƯƠNG II: NGUYÊN LÝ TÁC DỤNG TỐI THIỂU TRONG CƠ HỌC CỔ ĐIỂN
2.1 Nguyên lý tác dụng tối thiểu trong cơ học cổ điển
Trong thực tế một vật có thể di chuyển từ vị trí này sang vị trí khác theo hàng triệu con đường khác nhau. Tuy nhiên, hình như chúng ta chỉ thấy vật lựa chọn cho mình một con đường duy nhất giữa điểm khởi đầu và điểm kết thúc. Theo Feynman, con đường đó chính là con đường quan trọng đối với sự chuyển động của các vật vĩ mô trong vô số con đường. Và đây cũng chính là quỹ đạo chuyển động xuất hiện từ các định luật cổ điển của Newton.
Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu về mối quan hệ giữa nguyên lý tác dụng tối thiểu và các định luật Newton.
Xét đại lượng:
2
1
, ,
t
t
S L x x t dt, (2.1)
S được gọi là hàm tác dụng. Đó là một đại lượng có đơn vị là (Năng lượng)(Thời gian). S phụ thuộc vào L, L lại phụ thuộc vào x t thông qua phương trình L T V. Cho trước hàm bất kỳ x t , chúng ta có thể tính trước đại lượng S. Bây giờ chúng ta sẽ chỉ xét trường hợp chỉ có một tọa độ, x.
Các tích phân giống như trong phương trình (2.1) được gọi là các phiếm hàm, và S đôi khi được kí hiệu bởi S x t . Nó phụ thuộc vào toàn bộ hàm x t , và
không chỉ phụ thuộc vào một số đầu vào như là một hàm f x thông thường. S có thể xem như là một hàm của một số vô hạn các biến, gọi là các giá trị của x t đối
với t biến thiên từ t1 đến t2.
Bây giờ đặt câu hỏi như sau: Xét một hàm x t , với t1 t t2,có điểm đầu và điểm cuối là cố định (nghĩa là x t 1 x1 và x t 2 x2trong đó x1 và x2 được cho
15
trước), và có giá trị bất kì tại các điểm khác. Hỏi với giá trị nào của hàm x t thì S
sẽ có một điểm dừng? [4]
Ví dụ như ta xét một quả bóng rơi từ trạng thái nằm yên và xét hàm y(t) với 0
t 1. Giả sử rằng bằng cách nào đó chúng ta biết rằng y 0 0 và 1
2 y g . Có một số khả năng đối với y(t) được chỉ ra trong Hình 4 và trong mỗi khả năng đối với y(t) này có thể được thay vào trong phương trình (2.1) và phương trình L T V để tính toán ra S. Với khả năng nào chúng ta có thể nhận được điểm dừng của S? Định lý sau đây sẽ cho chúng ta câu trả lời.
Hình 4
Nội dung định lý: Nếu hàm x t0 làm cho biến phân S đạt giá trị dừng, thì
0 0
d L L
dt x x
. (2.2)
Chứng minh: Chúng ta sẽ sử dụng thực tế là nếu một hàm x t0 nào đó làm cho phiếm hàm S đạt giá trị dừng, thì bất kì hàm nào rất gần với x t0 (với cùng các điểm đầu và điểm cuối) về cơ bản sẽ cho giá trị của phiếm hàm S là giống nhau, với sai khác tới bậc nhất của bất cứ độ lệch nào của x t0 . Sự tương đối đối với các điểm thông thường nếu là f(b) là một giá trị dừng của f, thì f b có giá trị sai khác đối với f(b) chỉ là một đại lượng vô cùng bé bậc hai của . Điều này là đúng bởi vì f b 0,vì vậy không có số hạng bậc nhất trong khai triển của chuỗi Taylor trong lân cận xung quanh b.
16
Giả sử hàm x t0 làm cho phiếm hàm S đạt giá trị dừng, và xét hàm
0
x ta x t a t , (2.3)
trong đó a là một số, t thỏa mãn t1 t2 0, và có giá trị tùy ý tại các điểm khác. Khi tính toán hàm tác dụng S x t a trong (2.1), biến t sẽ được lấy tích phân lên, vì vậy S chỉ là một số. Nó phụ thuộc vào a cùng với t1 và t2. Yêu cầu của chúng ta là đạo hàm bậc nhất của S theo biến a bằng 0 khi đó S sẽ phụ thuộc vào a như thế nào?
Sử dụng quy tắc đạo hàm hợp, ta có:
2 2
1 1
t t
a
t t
S x t Ldt Ldt
a a a
2
1
t
a a
t a a
x x
L L
x a x a dt
. (2.4)
Nói cách khác a ảnh hưởng đến S thông qua ảnh hưởng của nó đến x và cũng thông qua ảnh hưởng của nó vào x. Từ phương trình (2.3), ta có :
xa
a
và xa
a
, thay vào (2.4) ta được:
2
1
t a
t a a
L L
S x t dt
a x x
. (2.5)
Sử dụng
a a a
L L d L
dt dt
x x dt x
,
Phương trình (2.5) trở thành:
2
1
2 1 t
a
t a a a
L d L L t
S x t dt
a x dt x x t
. (2.6)
17
Nhưng t1 t2 0, do đó số hạng cuối cùng sẽ bị triệt tiêu. Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng thực tế là S x ta
a
phải bằng 0 đối với bất cứ t nào, bởi vì chúng ta đang giả thiết rằng x t0 là điểm dừng. Để thỏa mãn S x ta 0
a
thì:
0 0
d L L
dt x x
. (2.7)
Ta đặt 0
0
L mx x
và 0
0
L kx
x
,
khi đó phương trình (2.7) trở thành:
0 0
mx kx hay F ma. Đây chính là biểu thứ của định luật II Newton.